WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.920
-

00:00:00.920 --> 00:00:03.820
W ostatnim nagraniu wzięliśmy 
ten prostokąt i użyliśmy całki

00:00:03.820 --> 00:00:05.170
potrójnej do znalezienia jego objętości.

00:00:05.170 --> 00:00:08.000
Wiem, że prawdopodobnie 
pomyślałeś sobie: przecież mogłem

00:00:08.000 --> 00:00:12.100
po prostu użyć elementarnej geometrii 
i pomnożyć wysokość razy

00:00:12.100 --> 00:00:12.940
szerokość razy głębokość.

00:00:12.940 --> 00:00:15.720
I masz rację, ponieważ była to 
funkcja o wartości stałej.

00:00:15.720 --> 00:00:18.320
Następnie jeszcze raz liczyliśmy, 
całkowaliśmy

00:00:18.320 --> 00:00:20.630
względem z i skończyliśmy 
z całką podwójną, co

00:00:20.630 --> 00:00:23.840
jest dokładnie tym co robiliśmy 
w kilku ostatnich nagraniach,

00:00:23.840 --> 00:00:26.580
kiedy to uczyliśmy się o 
objętości pod powierzchnią.

00:00:26.580 --> 00:00:28.560
Jednakże później nastąpił moment 
zwrotny na końcu nagrania.

00:00:28.560 --> 00:00:33.000
W porządku, byłeś w stanie obliczyć objętość

00:00:33.000 --> 00:00:38.160
prostokątnego obszaru bezpośrednio,

00:00:38.160 --> 00:00:39.000
wykorzystując rzeczy, które już znasz.

00:00:39.000 --> 00:00:42.080
Ale co jeśli naszym celem nie jest 
wyliczenie objętości?

00:00:42.080 --> 00:00:46.790
Naszym celem było wyliczenie 
masy tej objętości, a nawet

00:00:46.790 --> 00:00:50.240
więcej, masy substancji, 
której używamy. Czy to

00:00:50.240 --> 00:00:53.060
objętość gazu czy ciała stałego.

00:00:53.060 --> 00:00:55.050
Jego gęstość nie jest stała.

00:00:55.050 --> 00:00:58.080
Więc teraz masa staje się poniekąd... 
jakby to powiedzieć...

00:00:58.080 --> 00:00:59.550
czymś interesującym do obliczenia.

00:00:59.550 --> 00:01:03.740
I tak, to co zdefiniowaliśmy 
to funkcja gęstości.

00:01:03.740 --> 00:01:07.770
No i ro, przypominające literkę p 
z wygiętym dołem,

00:01:07.770 --> 00:01:09.855
która określa nam gęstość 
w danym punkcie.

00:01:09.855 --> 00:01:11.370
Na końcu ostatniego nagrania 
wspomnieliśmy o tym

00:01:11.370 --> 00:01:12.830
czym jest masa.

00:01:12.830 --> 00:01:16.050
Masa to po prostu gęstość razy objętość.

00:01:16.050 --> 00:01:16.750
Można patrzeć na to w inny sposób.

00:01:16.750 --> 00:01:21.170
Gęstość to to samo co masa 
dzielona przez objętość.

00:01:21.170 --> 00:01:26.630
Zatem masa wokół bardzo 
małego punktu, który zwiemy

00:01:26.630 --> 00:01:29.750
d masą, różniczka masy, równa się

00:01:29.750 --> 00:01:33.450
gęstości w tym punkcie lub przybliżonej 
gęstości dokładnie w tym

00:01:33.450 --> 00:01:36.790
punkcie, razy różniczka objętości 
wokół tego punktu,

00:01:36.790 --> 00:01:40.100
razy objętość tego małego sześcianu.

00:01:40.100 --> 00:01:43.140
Później, tak jak to było w ostatnim 
nagraniu, jeśli używasz

00:01:43.140 --> 00:01:46.240
współrzędnych prostokątnych, to tę 
różniczkę objętości można by

00:01:46.240 --> 00:01:50.390
obliczyć wzorem odległość x razy 
odległość y razy odległość z.

00:01:50.390 --> 00:01:55.690
Zatem gęstość zdefiniowana jest

00:01:55.690 --> 00:01:57.730
jako x, y i z, a my chcieliśmy znaleźć

00:01:57.730 --> 00:02:01.560
masę tej objętości.

00:02:01.560 --> 00:02:04.140
Powiedzmy, że nasze współrzędne 
x, y i z – ich

00:02:04.140 --> 00:02:05.990
wartości, powiedzmy, że są w metrach,

00:02:05.990 --> 00:02:09.340
a gęstość w kilogramach na metr sześcienny.

00:02:09.340 --> 00:02:12.270
Więc w tym przypadku nasz wynik 
będzie w kilogramach.

00:02:12.270 --> 00:02:14.480
A to są tradycyjne jednostki układu Si.

00:02:14.480 --> 00:02:21.210
Obliczmy zatem masę tej 
objętości o zmiennej gęstości.

00:02:21.210 --> 00:02:24.150
Więc wszystko co musimy 
zrobić to całkowanie.

00:02:24.150 --> 00:02:26.720
-

00:02:26.720 --> 00:02:29.860
Różniczka masy będzie 
miała tę wartość,

00:02:29.860 --> 00:02:30.996
zatem zapiszmy to.

00:02:30.996 --> 00:02:34.850
-

00:02:34.850 --> 00:02:38.920
To jest x... Upewnię się, że 
wystarczy mi miejsca.

00:02:38.920 --> 00:02:43.390
xyz razy... scałkuję to

00:02:43.390 --> 00:02:45.890
najpierw względem dz.

00:02:45.890 --> 00:02:47.910
Ale sam możesz zamienić kolejność.

00:02:47.910 --> 00:02:49.750
Zrobimy to może w następnym nagraniu.

00:02:49.750 --> 00:02:55.810
Najpierw zrobimy dz, później dy, 
a na końcu dx.

00:02:55.810 --> 00:03:00.120
-

00:03:00.120 --> 00:03:02.490
Raz jeszcze, to jest po prostu
masa w każdej małej

00:03:02.490 --> 00:03:04.310
różniczce objętości.

00:03:04.310 --> 00:03:07.760
Jeśli scałkujemy najpierw z, 
z będzie skąd?

00:03:07.760 --> 00:03:10.770
Granice dla z oznaczone od 0 do 2.

00:03:10.770 --> 00:03:14.050
-

00:03:14.050 --> 00:03:18.255
Granice dla y oznaczone od 0 do 4.

00:03:18.255 --> 00:03:21.110
-

00:03:21.110 --> 00:03:23.890
A granice dla x, 
x przebiega od 0 do 3.

00:03:23.890 --> 00:03:26.750
-

00:03:26.750 --> 00:03:27.910
Jak to obliczamy?

00:03:27.910 --> 00:03:29.900
Cóż, jaka jest funkcja pierwotna?

00:03:29.900 --> 00:03:31.370
Najpierw całkujemy względem z.

00:03:31.370 --> 00:03:35.660
Więc co jest funkcją pierwotną 
xyz względem z?

00:03:35.660 --> 00:03:37.080
Zobaczmy.

00:03:37.080 --> 00:03:45.080
To jest tylko stała, więc to 
będzie xyz^2 dzielone przez 2.

00:03:45.080 --> 00:03:46.040
Dobrze?

00:03:46.040 --> 00:03:46.810
Tak, jest dobrze.

00:03:46.810 --> 00:03:52.690
Teraz obliczymy to od 2 do 0.

00:03:52.690 --> 00:03:54.870
Otrzymamy... Wiem, 
kończy mi się miejsce.

00:03:54.870 --> 00:03:59.420
Otrzymamy 2 do kwadratu co daje 4,

00:03:59.420 --> 00:04:00.990
podzielić przez 2, co daje 2.

00:04:00.990 --> 00:04:05.460
Więc to będzie 2xy odjąć 0

00:04:05.460 --> 00:04:09.070
Więc kiedy to obliczysz, otrzymasz 2xy

00:04:09.070 --> 00:04:11.410
i teraz zostają Ci jeszcze dwie całki.

00:04:11.410 --> 00:04:13.260
Nie zapisałem pozostałych dwóch całek.

00:04:13.260 --> 00:04:13.820
Może je zapiszę.

00:04:13.820 --> 00:04:16.680
Zostały Ci dwie całki.

00:04:16.680 --> 00:04:20.660
Zostało Ci dy i dx.

00:04:20.660 --> 00:04:28.710
y idzie od 0 do 4, a x od 0 do 3.

00:04:28.710 --> 00:04:30.480
Na pewno nie starczy mi miejsca.

00:04:30.480 --> 00:04:32.200
Teraz bierzesz funkcję pierwotną

00:04:32.200 --> 00:04:34.110
względem y.

00:04:34.110 --> 00:04:36.640
Więc jaka będzie funkcja 
pierwotna względem y?

00:04:36.640 --> 00:04:40.240
Pozwól, że wytrę trochę, 
żebym się nie pogubił.

00:04:40.240 --> 00:04:44.230
-

00:04:44.230 --> 00:04:46.040
Doradzano mi żebym to przewijał,

00:04:46.040 --> 00:04:48.340
no ale niestety za dużo tym razem

00:04:48.340 --> 00:04:50.090
nie przewijałem.

00:04:50.090 --> 00:04:54.160
Mogę to usunąć, tak myślę.

00:04:54.160 --> 00:04:55.220
Ups, usunąłem trochę tego.

00:04:55.220 --> 00:04:56.860
Ale wiesz co dokładnie wymazałem.

00:04:56.860 --> 00:04:58.290
Dobra, weźmy funkcję pierwotną

00:04:58.290 --> 00:04:59.290
względem y.

00:04:59.290 --> 00:05:02.640
Zacznę tu gdzie mam wolne miejsce.

00:05:02.640 --> 00:05:06.545
Dobra, więc funkcja pierwotna 
2xy względem y to

00:05:06.545 --> 00:05:08.430
y^2 dzielone przez 2, 
dwójki wykreślamy.

00:05:08.430 --> 00:05:09.870
Wychodzi xy^2.

00:05:09.870 --> 00:05:13.100
-

00:05:13.100 --> 00:05:15.270
A y idzie od 0 do 4.

00:05:15.270 --> 00:05:18.000
Później mamy jeszcze do 
obliczenia zewnętrzną całkę.

00:05:18.000 --> 00:05:22.395
x oznaczone od 0 do 3 dx.

00:05:22.395 --> 00:05:24.215
Jeśli y równa się 4, to 
otrzymujesz 16x.

00:05:24.215 --> 00:05:27.050
-

00:05:27.050 --> 00:05:29.050
Później jeśli y równe jest 0, 
to całość równa się 0.

00:05:29.050 --> 00:05:34.300
Otrzymujesz całkę z 16x 
od 0 do 3 dx.

00:05:34.300 --> 00:05:36.210
A to równa się czemu?

00:05:36.210 --> 00:05:39.215
8x^2.

00:05:39.215 --> 00:05:42.700
Obliczasz to od 0 do 3.

00:05:42.700 --> 00:05:46.560
Kiedy x równa się 3, to 
dostajemy 8 razy 9, czyli 72.

00:05:46.560 --> 00:05:49.040
A 0 razy 8 równa się 0.

00:05:49.040 --> 00:05:51.810
Więc masa naszej figury... 
Objętość jaką obliczyliśmy

00:05:51.810 --> 00:05:53.230
ostatnim razem wynosiła 
24 metry sześcienne.

00:05:53.230 --> 00:05:55.160
Wytarłem to, ale jeśli 
oglądałeś ostatnie nagranie,

00:05:55.160 --> 00:05:56.210
to było to czego się nauczyliśmy.

00:05:56.210 --> 00:06:00.570
Ale jego masa wynosi 72 kg.

00:06:00.570 --> 00:06:06.420
Dokonaliśmy tego poprzez scałkowanie 
tej trójwymiarowej funkcji

00:06:06.420 --> 00:06:08.090
gęstości, tej funkcji o trzech zmiennych.

00:06:08.090 --> 00:06:10.230
Lub w trzech wymiarach 
możesz oglądać to jako

00:06:10.230 --> 00:06:11.440
pole skalarne, prawda?

00:06:11.440 --> 00:06:13.910
W dowolnym punkcie 
mamy wartość, ale

00:06:13.910 --> 00:06:14.420
nie mamy kierunku.

00:06:14.420 --> 00:06:16.020
A tą wartością jest gęstość.

00:06:16.020 --> 00:06:20.540
Lecz my wprowadziliśmy 
pole skalarne w tę objętość.

00:06:20.540 --> 00:06:22.650
Więc to jest pewna nowa 
umiejętność, którą nabyliśmy

00:06:22.650 --> 00:06:23.620
dzięki całce potrójnej.

00:06:23.620 --> 00:06:26.280
W następnym nagraniu zaprezentuję 
jak poradzić sobie z bardziej

00:06:26.280 --> 00:06:27.460
skomplikowaną całką potrójną.

00:06:27.460 --> 00:06:29.820
Prawdziwy problem z potrójną całką to...

00:06:29.820 --> 00:06:32.180
I myślę, że zobaczysz, że Twój 
nauczyciel często będzie to robił.

00:06:32.180 --> 00:06:34.630
kiedy rozwiązujesz potrójną 
całkę, jeśli nie masz

00:06:34.630 --> 00:06:38.290
prostych figur jak ta, obliczenie – 
– jeśli rzeczywiście

00:06:38.290 --> 00:06:41.500
chciałeś obliczyć analitycznie 
potrójną całkę, która ma bardziej

00:06:41.500 --> 00:06:44.910
skomplikowane granice lub 
bardziej skomplikowane np.

00:06:44.910 --> 00:06:46.280
funkcje gęstości.

00:06:46.280 --> 00:06:48.850
Całka staję się bardzo 
szybko przerażająca.

00:06:48.850 --> 00:06:52.610
Często jest również bardzo 
trudna lub czasochłonna do

00:06:52.610 --> 00:06:55.760
obliczenia analitycznego 
przy użyciu zwykłych

00:06:55.760 --> 00:06:56.270
umiejętności rachunkowych.

00:06:56.270 --> 00:06:59.790
Dostrzeżesz to na wielu egzaminach 
z analizy, kiedy zaczynają

00:06:59.790 --> 00:07:02.500
robić potrójne całki, chcą 
abyś je tylko przygotował.

00:07:02.500 --> 00:07:05.520
Biorąc na słowo, że do tej 
pory zrobiłeś tak wiele całek,

00:07:05.520 --> 00:07:07.490
możesz spróbować znaleźć 
funkcję pierwotną.

00:07:07.490 --> 00:07:09.820
Czasami, jeśli naprawdę chcą ci dać coś

00:07:09.820 --> 00:07:12.530
trudniejszego, powiedzą, 
cóż, zmień kolejność.

00:07:12.530 --> 00:07:14.930
Wiesz, to jest całka, w której 
mamy do czynienia

00:07:14.930 --> 00:07:16.700
z z, później z y, a następnie z x.

00:07:16.700 --> 00:07:18.510
Chcemy abyś przepisał tę całkę, kiedy

00:07:18.510 --> 00:07:19.730
zmienisz kolejność.

00:07:19.730 --> 00:07:22.700
I zrobimy to w następnym nagraniu.

00:07:22.700 --> 00:07:24.270
Do zobaczenia wkrótce.

00:07:24.270 --> 00:07:25.500
-