No último vídeo, tínhamos este retângulo
e usamos uma integral tripla
para achar seu volume.
Sei que provavelmente pensou:
"eu poderia ter usado a minha geometria
básica e multiplicado a largura
pela altura e pela profundidade".
Isso é verdade porque esta
é uma função constante.
Uma vez que integramos em relação a z,
ficamos com uma integral dupla
que é exatamente o que teria feito
nos últimos vídeos quando aprendemos
a calcular o volume embaixo
de uma superfície.
Mas fizemos uma mudança
no final do vídeo.
Dissemos: "você poderia ter calculado
o volume deste domínio retangular
de forma direta. Mas e se o nosso objetivo
não fosse calcular o volume?"
O nosso objetivo era calcular
a massa deste volume
e, ainda, dizer qual era o material
-- se o volume era de um gás
ou de um sólido --
a densidade não é constante.
Agora, a massa fica --não sei--
mais interessante de calcular.
E definimos uma função de densidade.
Rho, que parece a letra p
com a parte de baixo mais curva,
nos dá a densidade em qualquer ponto.
No final do vídeo dizemos:
"O que é massa?".
Massa é densidade vezes o volume.
Você poderia ver de outro jeito.
Densidade é o mesmo
que massa dividido por volume.
A massa ao redor de um ponto muito,
muito pequeno, o qual chamamos de d massa,
o diferencial da massa,
será a densidade naquele ponto.
Ou a densidade exatamente naquele ponto
vezes o diferencial de volume ao redor
daquele ponto vezes o volume
deste pequeno cubo.
Como vimos no último vídeo,
se você está usando
as coordenadas retangulares,
este diferencial de volume poderia ser
a distância em x vezes a distância
em y vezes a distância em z.
A densidade era a nossa função
de densidade, definida por x, y e z,
e queríamos calcular a massa deste volume.
Digamos que as nossas coordenadas x, y e z
-- os seus valores-- estão em metros
e a densisade é em quilogramas
por metros cúbicos.
Nossa resposta será em quilogramas.
E essas são unidades SI.
Vamos calcular a massa deste volume
com densidade variável.
Temos a mesma integral aqui.
O diferencial de massa será este valor.
Vamos escrever isso.
É x --quero garantir
que não ficarei sem espaço--
É xyx vezes -- e vou integrar
em relação a dz primeiro. --
Mas você pode alterar a ordem.
Talvez faremos isso no próximo vídeo.
Faremos dz primeiro,
depois dy e depois dx.
Mais uma vez, isto é a massa
em qualquer diferencial de volume.
Se integramos z primeiro,
dissemos que z varia em que intervalo?
Os valores de z varia de zero a dois.
Y varia de zero a quatro.
E x varia de zero a três.
Como calculamos isso?
Qual é a antiderivada
-estamos integrando em relação a z-
Qual é a antiderivada
de xyz em relação a z?
Vejamos.
Isto é uma constante, então ficará xyz
ao quadrado sobre dois.
Certo?
Sim, está certo.
Vamos avaliar de dois até zero.
Você obtém -- eu sei
que ficarei sem espaço.
Você obterá dois
ao quadrado, que é quatro,
divido por dois, que é dois.
É dois xy menos zero.
Quando você calcular isso,
obteremos dois xy
e agora faltam as outras duas integrais.
Não escrevi as outras duas integrais.
Talvez escreverei. Restam duas integrais.
Restam o dy e o dx.
Y vai de zero a quatro,
e x vai de zero a três.
Eu realmente vou ficar sem espaço.
Agora, você calcular a antiderivada
disso em relação a y.
Qual é a antiderivada disso
em relação a y?
--Deixe-me apagar algumas coisas
para não fazer uma confusão.--
Deram-me a boa sugestão
de rolar, mas não rolei o suficiente.
Acho que posso deletar isso aqui.
Deletei um pouco a mais.
Mas você sabe o que eu deletei.
Ok, vamos calcular a antiderivada
em relação a y.
Vou começar aqui em cima
onde tenho espaço.
A antiderivada de dois xy em relação a y
é y ao quadrado sobre dois;
os dois se cancelam.
Você obtém xy ao quadrado.
E y vai de zero a quatro.
Ainda temos que calcular
a integral de fora.
X vai de zero a três dx.
Quando y é igual a quatro,
você obtém 16 x.
Quando y é zero, tudo isso é zero.
Você integra 16 x de zero a três dx.
Isso é igual a que?
Oito x ao quadrado.
Você avalia de zero a três.
Quando é três, oito vezes nove é 72.
E oito vezes zero é zero.
A massa da nossa figura -- o volume
que calculamos a última vez
foi 24 metros cúbicos.--
Eu apaguei, mas se você viu
o último vídeo, isso foi o que aprendemos.
Mas a sua massa é 72 quilogramas.
Fizemos isso integrando esta função
de densidade de três varáveis
-- esta função de três variáveis.
Ou em três dimensões você pode ver isso
como um campo escalar, certo?
Em qualquer ponto há um valor,
mas não uma direção.
E esse valor é uma densidade.
Mas nós integramos
o campo escalar deste volume.
Esse é a habilidade que ganhamos
com a integral tripla.
No próximo vídeo mostrarei como montar
integrais triplas mais complicadas.
A grande dificuldade
com integrais triplas é --
acho que seu professor
fará isso várias vezes--
quando calcular integrais triplas,
a menos que você tenha uma figura simples
como essa, o cálculo-- se você quisesse
analiticamente avaliar uma integral tripla
com limites de integração
mais complicados,
ou mais complicadas
que uma função de densidade--
A integral fica complicada.
Geralmente é muito difícil
ou muito demorado
para avaliá-la analiticamente
usando os métodos de cálculo tradicionais.
Verá que em muitas provas de cálculo,
quando começam a fazer a integral tripla,
apenas pedem para você montá-la.
Ele acreditam que você fez tantas
integrais triplas que você é capaz
de calcular a antiderivada.
Às vezes, se eles quiserem
te dar algo mais complicado,
dirão para trocar a ordem.
Esta é a integral
com a qual estamos lidando,
em relação a z, e a x, e a y.
Queremos que reescreva a integral
quando muda a ordem.
Faremos isso no próximo vídeo.
Te vejo mais tarde.
[Legendado por: Pilar Dib]
[Revisado por: Tatiana F. D'Addio]