WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.820
No último vídeo, tínhamos este retângulo
e usamos uma integral tripla

00:00:03.820 --> 00:00:05.170
para achar seu volume.

00:00:05.170 --> 00:00:08.410
Sei que provavelmente pensou:
"eu poderia ter usado a minha geometria

00:00:08.410 --> 00:00:12.950
básica e multiplicado a largura
pela altura e pela profundidade".

00:00:12.950 --> 00:00:15.720
Isso é verdade porque esta
é uma função constante.

00:00:15.720 --> 00:00:20.610
Uma vez que integramos em relação a z,
ficamos com uma integral dupla

00:00:20.610 --> 00:00:24.440
que é exatamente o que teria feito
nos últimos vídeos quando aprendemos

00:00:24.440 --> 00:00:26.580
a calcular o volume embaixo
de uma superfície.

00:00:26.580 --> 00:00:28.560
Mas fizemos uma mudança
no final do vídeo.

00:00:28.560 --> 00:00:35.580
Dissemos: "você poderia ter calculado
o volume deste domínio retangular

00:00:35.580 --> 00:00:42.140
de forma direta. Mas e se o nosso objetivo
não fosse calcular o volume?"

00:00:42.140 --> 00:00:45.850
O nosso objetivo era calcular
a massa deste volume

00:00:45.850 --> 00:00:51.810
e, ainda, dizer qual era o material
-- se o volume era de um gás

00:00:51.810 --> 00:00:55.050
ou de um sólido --
a densidade não é constante.

00:00:55.050 --> 00:00:59.560
Agora, a massa fica --não sei--
mais interessante de calcular.

00:00:59.560 --> 00:01:03.740
E definimos uma função de densidade.

00:01:03.740 --> 00:01:07.770
Rho, que parece a letra p
com a parte de baixo mais curva,

00:01:07.770 --> 00:01:09.855
nos dá a densidade em qualquer ponto.

00:01:09.855 --> 00:01:11.370
No final do vídeo dizemos:

00:01:11.370 --> 00:01:12.830
"O que é massa?".

00:01:12.830 --> 00:01:15.180
Massa é densidade vezes o volume.

00:01:15.180 --> 00:01:16.750
Você poderia ver de outro jeito.

00:01:16.750 --> 00:01:21.170
Densidade é o mesmo
que massa dividido por volume.

00:01:21.170 --> 00:01:27.320
A massa ao redor de um ponto muito,
muito pequeno, o qual chamamos de d massa,

00:01:27.320 --> 00:01:31.190
o diferencial da massa,
será a densidade naquele ponto.

00:01:31.190 --> 00:01:36.690
Ou a densidade exatamente naquele ponto
vezes o diferencial de volume ao redor

00:01:36.690 --> 00:01:40.090
daquele ponto vezes o volume
deste pequeno cubo.

00:01:40.100 --> 00:01:42.980
Como vimos no último vídeo,
se você está usando

00:01:42.980 --> 00:01:46.240
as coordenadas retangulares,
este diferencial de volume poderia ser

00:01:46.240 --> 00:01:50.390
a distância em x vezes a distância
em y vezes a distância em z.

00:01:50.390 --> 00:01:57.300
A densidade era a nossa função
de densidade, definida por x, y e z,

00:01:57.300 --> 00:02:01.560
e queríamos calcular a massa deste volume.

00:02:01.560 --> 00:02:05.340
Digamos que as nossas coordenadas x, y e z
-- os seus valores-- estão em metros

00:02:05.340 --> 00:02:09.290
e a densisade é em quilogramas
por metros cúbicos.

00:02:09.290 --> 00:02:12.270
Nossa resposta será em quilogramas.

00:02:12.270 --> 00:02:14.480
E essas são unidades SI.

00:02:14.480 --> 00:02:21.210
Vamos calcular a massa deste volume
com densidade variável.

00:02:21.210 --> 00:02:24.150
Temos a mesma integral aqui.

00:02:26.400 --> 00:02:29.860
O diferencial de massa será este valor.

00:02:29.860 --> 00:02:30.996
Vamos escrever isso.

00:02:34.850 --> 00:02:38.920
É x --quero garantir
que não ficarei sem espaço--

00:02:38.920 --> 00:02:45.820
É xyx vezes -- e vou integrar
em relação a dz primeiro. --

00:02:45.820 --> 00:02:47.910
Mas você pode alterar a ordem.

00:02:47.910 --> 00:02:49.750
Talvez faremos isso no próximo vídeo.

00:02:49.750 --> 00:02:57.630
Faremos dz primeiro,
depois dy e depois dx.

00:02:57.630 --> 00:03:04.300
Mais uma vez, isto é a massa
em qualquer diferencial de volume.

00:03:04.310 --> 00:03:07.760
Se integramos z primeiro,
dissemos que z varia em que intervalo?

00:03:07.760 --> 00:03:13.900
Os valores de z varia de zero a dois.

00:03:14.050 --> 00:03:18.255
Y varia de zero a quatro.

00:03:21.110 --> 00:03:23.890
E x varia de zero a três.

00:03:26.750 --> 00:03:27.910
Como calculamos isso?

00:03:27.910 --> 00:03:31.360
Qual é a antiderivada
-estamos integrando em relação a z-

00:03:31.370 --> 00:03:35.660
Qual é a antiderivada
de xyz em relação a z?

00:03:35.660 --> 00:03:37.080
Vejamos.

00:03:37.080 --> 00:03:45.080
Isto é uma constante, então ficará xyz
ao quadrado sobre dois.

00:03:45.080 --> 00:03:46.800
Certo?
Sim, está certo.

00:03:46.810 --> 00:03:52.690
Vamos avaliar de dois até zero.

00:03:52.690 --> 00:03:54.870
Você obtém -- eu sei
que ficarei sem espaço.

00:03:54.870 --> 00:03:59.420
Você obterá dois
ao quadrado, que é quatro,

00:03:59.420 --> 00:04:00.990
divido por dois, que é dois.

00:04:00.990 --> 00:04:05.460
É dois xy menos zero.

00:04:05.460 --> 00:04:09.070
Quando você calcular isso,
obteremos dois xy

00:04:09.070 --> 00:04:11.410
e agora faltam as outras duas integrais.

00:04:11.410 --> 00:04:16.670
Não escrevi as outras duas integrais.
Talvez escreverei. Restam duas integrais.

00:04:16.680 --> 00:04:20.660
Restam o dy e o dx.

00:04:20.660 --> 00:04:28.710
Y vai de zero a quatro,
e x vai de zero a três.

00:04:28.710 --> 00:04:30.480
Eu realmente vou ficar sem espaço.

00:04:30.480 --> 00:04:34.120
Agora, você calcular a antiderivada
disso em relação a y.

00:04:34.120 --> 00:04:36.640
Qual é a antiderivada disso
em relação a y?

00:04:36.640 --> 00:04:40.240
--Deixe-me apagar algumas coisas
para não fazer uma confusão.--

00:04:44.130 --> 00:04:49.400
Deram-me a boa sugestão
de rolar, mas não rolei o suficiente.

00:04:50.090 --> 00:04:53.980
Acho que posso deletar isso aqui.

00:04:53.980 --> 00:04:55.220
Deletei um pouco a mais.

00:04:55.220 --> 00:04:56.860
Mas você sabe o que eu deletei.

00:04:56.860 --> 00:04:59.280
Ok, vamos calcular a antiderivada
em relação a y.

00:04:59.290 --> 00:05:02.640
Vou começar aqui em cima
onde tenho espaço.

00:05:02.640 --> 00:05:06.545
A antiderivada de dois xy em relação a y

00:05:06.545 --> 00:05:08.430
é y ao quadrado sobre dois;
os dois se cancelam.

00:05:08.430 --> 00:05:13.090
Você obtém xy ao quadrado.

00:05:13.100 --> 00:05:15.270
E y vai de zero a quatro.

00:05:15.270 --> 00:05:18.000
Ainda temos que calcular
a integral de fora.

00:05:18.000 --> 00:05:22.315
X vai de zero a três dx.

00:05:22.315 --> 00:05:27.045
Quando y é igual a quatro,
você obtém 16 x.

00:05:27.050 --> 00:05:29.050
Quando y é zero, tudo isso é zero.

00:05:29.050 --> 00:05:34.300
Você integra 16 x de zero a três dx.

00:05:34.300 --> 00:05:36.210
Isso é igual a que?

00:05:36.210 --> 00:05:39.215
Oito x ao quadrado.

00:05:39.215 --> 00:05:42.700
Você avalia de zero a três.

00:05:42.700 --> 00:05:46.560
Quando é três, oito vezes nove é 72.

00:05:46.560 --> 00:05:49.040
E oito vezes zero é zero.

00:05:49.040 --> 00:05:51.810
A massa da nossa figura -- o volume
que calculamos a última vez

00:05:51.810 --> 00:05:53.130
foi 24 metros cúbicos.--

00:05:53.130 --> 00:05:56.430
Eu apaguei, mas se você viu
o último vídeo, isso foi o que aprendemos.

00:05:56.430 --> 00:06:00.570
Mas a sua massa é 72 quilogramas.

00:06:00.570 --> 00:06:06.420
Fizemos isso integrando esta função
de densidade de três varáveis

00:06:06.420 --> 00:06:08.090
-- esta função de três variáveis.

00:06:08.090 --> 00:06:11.440
Ou em três dimensões você pode ver isso
como um campo escalar, certo?

00:06:11.440 --> 00:06:14.410
Em qualquer ponto há um valor,
mas não uma direção.

00:06:14.420 --> 00:06:16.020
E esse valor é uma densidade.

00:06:16.020 --> 00:06:20.540
Mas nós integramos
o campo escalar deste volume.

00:06:20.540 --> 00:06:23.620
Esse é a habilidade que ganhamos
com a integral tripla.

00:06:23.620 --> 00:06:27.450
No próximo vídeo mostrarei como montar
integrais triplas mais complicadas.

00:06:27.460 --> 00:06:29.820
A grande dificuldade
com integrais triplas é --

00:06:29.820 --> 00:06:32.180
acho que seu professor
fará isso várias vezes--

00:06:32.180 --> 00:06:35.790
quando calcular integrais triplas,
a menos que você tenha uma figura simples

00:06:35.790 --> 00:06:40.340
como essa, o cálculo-- se você quisesse
analiticamente avaliar uma integral tripla

00:06:40.340 --> 00:06:42.870
com limites de integração
mais complicados,

00:06:42.870 --> 00:06:46.280
ou mais complicadas
que uma função de densidade--

00:06:46.280 --> 00:06:48.850
A integral fica complicada.

00:06:48.850 --> 00:06:52.610
Geralmente é muito difícil
ou muito demorado

00:06:52.610 --> 00:06:56.240
para avaliá-la analiticamente
usando os métodos de cálculo tradicionais.

00:06:56.240 --> 00:07:00.600
Verá que em muitas provas de cálculo,
quando começam a fazer a integral tripla,

00:07:00.600 --> 00:07:02.500
apenas pedem para você montá-la.

00:07:02.500 --> 00:07:06.000
Ele acreditam que você fez tantas
integrais triplas que você é capaz

00:07:06.000 --> 00:07:07.490
de calcular a antiderivada.

00:07:07.490 --> 00:07:10.180
Às vezes, se eles quiserem
te dar algo mais complicado,

00:07:10.180 --> 00:07:12.530
dirão para trocar a ordem.

00:07:12.530 --> 00:07:14.930
Esta é a integral
com a qual estamos lidando,

00:07:14.930 --> 00:07:16.700
em relação a z, e a x, e a y.

00:07:16.700 --> 00:07:19.740
Queremos que reescreva a integral
quando muda a ordem.

00:07:19.740 --> 00:07:23.940
Faremos isso no próximo vídeo.
Te vejo mais tarde.

00:07:23.940 --> 00:07:26.000
[Legendado por: Pilar Dib]
[Revisado por: Tatiana F. D'Addio]