No último vídeo, tínhamos este retângulo e utilizamos integral tripla
para determinar seu volume
E agora você, provavelmente, está pensando: "bom, eu poderia ter usado geometria básica
para multiplicar a altura pela largura e pela
profundidade"
E é verdade, pois esta era uma função constante
E então, mesmo quando já avaliadas, uma vez integrada
em relação a z, nós acabamos com uma integral dupla, que
é exatamente o que você pode ter feito nos videos passados
quando nós aprendemos que o volume sob uma superfície.
Mas, então, nós acrescentamos uma torção no final do vídeo.
Nós dissemos, bem, você pode ter descoberto o volume dentro
do domínio do retangulo, eu acho, muito fácil
usando as coisas que você já sabia.
Mas e se nosso objetivo não for descobrir o volume?
Nosso objetivo era descobrir a massa deste volume, e ainda
mais, o material que nós estamos falando, o volume de-quer
O volume de gás ou o volume de algum sólido - que
sua densidade não é contante.
Então, agora a massa torna-se espécie de - Eu não sei -
interessante de calcular.
E assim, o que nós definimos, definimos uma função de densidade.
e o rô, esta letra que parece um "p" com uma curva em baixo--que
nos dá a densidade em qualquer ponto.
E no final do ultimo video nós dissemos,
bem, que o é massa?
Massa é só densidade vezes volume.
Você pode ver de outro jeito.
Densidade é a mesma coisa que massa dividido pelo volume.
Assim, a massa em torno de um ponto muito, muito pequena, e nós chamamos de
massa d, o diferencial da massa, vai igual a
densidade neste ponto, ou a densidade aproximada exatamente no
ponto, vezes o volume de diferenciais em torno desse ponto,
vezes o volume deste pequeno cubo.
E então, como nós dissemos no ultimo video, se você esta usando
coordenadas retangulares, este diferencial do volume pode somente
ser a distância de x vezes a distância de y vezes a distância de z
Assim, a densidade era a nossa função densidade é definida
para ser x, y e z, e nós queremos descobrir a
massa deste volume.
E vamos dizer que nossas coordenadas x, y e z - seus
valores estão em metros e vamos dizer que
densidade está em quilogramas por metro ao cubo.
Então nossa resposta vai ser em quilogramas, se fosse esse o caso.
E esses são o tipo das unidades tradicionais no Si.
Então, vamos descobrir a massa deste volume com densidade variável.
Então tudo o que fazemos é temos o mesmo integral aqui em cima.
Então, o diferencial de massa vai ser esse valor,
Então vamos escrever aqui em baixo.
Ele é o x-eu quero certificar-se de que eu não ficar sem espaço.
XYZ vezes - e eu estou indo para integrar com
respectivo dz primeiro.
Mas você realmente pode mudar a ordem.
Talvez nós faremos isso no próximo vídeo.
Vamos fazer dz em primeiro lugar, vamos fazer dy então, vamos fazer dx.
Mais uma vez, isso é apenas a massa em qualquer pequeno
diferencial de volume.
E se integrar com z primeiro dissemos z vai de onde?
Os limites em z foram 0 para 2.
Os limites y foram de 0 a 4.
E os limites em relação a x, x foi de 0 a 3.
E como podemos avaliar isso?
Bem, o que é a antiderivada-nós estamos
integração em relação a z primeiro.
Então, qual é a antiderivada de xyz em relação a z?
Bem, vamos ver.
Esta é apenas uma constante por isso vai ser xyz ao quadrado sobre 2.
Direito?
Sim, é isso mesmo.
E então vou avaliamos que de 2 a 0.
E para que você obtenha - eu sei que eu vou ficar sem espaço.
Então você irá obter 2 ao quadrado, que é 4,
dividido por 2, que é 2.
Por isso é 2xy menos 0.
Então quando você avaliar apenas este primeiro vamos começar 2xy, e
Agora você tem as outras duas integrais deixadas.
Então eu não escrever as outras duas integrais.
Talvez eu vou escrevê-lo.
Então, você é deixado com duas integrais.
Você é deixado com dy e dx.
E y vai de 0 a 4 e x vai de 0 a 3.
Eu definitivamente vou ficar sem espaço.
E agora você tomar a antiderivada do presente
em relação a y.
Então, qual é a antiderivada do presente em relação a y?
Deixe-me apagar algumas coisas apenas para que eu não fique muito bagunçado.
Foi-me dada a sugestão muito boa de torná-lo
rolar, mas, infelizmente, eu não fazê-lo rolar
suficiente neste momento.
Então eu posso apagar essas coisas, eu acho.
Opa, eu deletei alguns dos que.
Mas você sabe o que eu deletei.
OK, então vamos dar a antiderivada
em relação a y.
Eu vou começar isso aqui onde tenho espaço.
OK, então a antiderivada de 2xy com respeito a y é y
2 ao quadrado mais 2, anular.
Para que você obtenha xy quadrado.
E y vai de 0 a 4.
E depois ainda temos a integral exterior para fazer.
x vai de 0 a 3 dx.
E y é igual a 4 obtens 16x.
E, em seguida, quando y é 0 a coisa toda é 0.
Assim, você tem 16 x integrado de 0 3 dx.
E que é igual a que?
8x ao quadrado.
E você avaliá-lo de 0 a 3.
Quando é 3, 8 vezes 9 é 72.
E 8 vezes 0 é 0.
Assim a massa de nossa figura-volume descobrimos última
tempo foi de 24 metros em cubos.
Eu apaguei, mas se você assistiu o último vídeo
Isso é o que aprendemos.
Mas ele é massa é 72 kg.
E nós fizemos isso, integrando esta densidade variável 3
função--essa função de 3 variáveis.
Ou em três dimensões, você pode vê-lo como um
campo escalar, certo?
Em qualquer dado momento, há um valor, mas não
realmente uma direção.
E esse valor é uma densidade.
Mas estamos integrados o campo escalar neste volume.
Então esse é o tipo da nova habilidade que nós aprendemos com
a integral tripla.
E no próximo vídeo, mostrarei como configurar mais
complicadas integrais triplos.
Mas o real é a dificuldade com integrais triplos-- e eu
acho que você vai ver que o seu professor de cálculo fará frequentemente
isso - quando você está fazendo integrais triplas, a menos que você tenha um
figura muito fácil como este, a avaliação — se você realmente
queria avaliar analiticamente uma integral tripla que tem mais
limites de complicado ou mais complicadas, por exemplo,
uma função de densidade.
A integral fica muito peludo, muito rápido.
E muitas vezes é muito difícil ou muito demorado para
avaliá-lo analiticamente apenas usando seu tradicional
Competências de cálculo.
Assim você verá que em um monte de exames de cálculo quando eles começam a
fazendo a integral tripla, eles só querem você configurá-lo.
Eles levam sua palavra para ela que você já fez tantas integrais
até o momento que você poderia tomar a antiderivada.
E, às vezes, se eles realmente querem dar-lhe algo mais
difícil apenas dirão, bem, alternar a ordem.
Você sabe, esta é a integral, quando estamos lidando com
respeito ao z, y, em seguida x.
Nós queremos que você reescrever esta integral, quando
você alternar a ordem.
E o que faremos no próximo vídeo.
Te vejo depois.