0:00:00.920,0:00:03.820
No último vídeo, tínhamos este retângulo e utilizamos integral tripla

0:00:03.820,0:00:05.170
para determinar seu volume

0:00:05.170,0:00:08.000
E agora você, provavelmente, está pensando: "bom, eu poderia ter usado geometria básica

0:00:08.000,0:00:12.100
para multiplicar a altura pela largura e pela

0:00:12.100,0:00:12.940
profundidade"

0:00:12.940,0:00:15.720
E é verdade, pois esta era uma função constante

0:00:15.720,0:00:18.320
E então, mesmo quando já avaliadas, uma vez integrada

0:00:18.320,0:00:20.630
em relação a z, nós acabamos com uma integral dupla, que

0:00:20.630,0:00:23.840
é exatamente o que você pode ter feito nos videos passados

0:00:23.840,0:00:26.580
quando nós aprendemos que o volume sob uma superfície.

0:00:26.580,0:00:28.560
Mas, então, nós acrescentamos uma torção no final do vídeo.

0:00:28.560,0:00:33.000
Nós dissemos, bem, você pode ter descoberto o volume dentro

0:00:33.000,0:00:38.160
do domínio do retangulo, eu acho, muito fácil

0:00:38.160,0:00:39.000
usando as coisas que você já sabia.

0:00:39.000,0:00:42.080
Mas e se nosso objetivo não for descobrir o volume?

0:00:42.080,0:00:46.790
Nosso objetivo era descobrir a massa deste volume, e ainda

0:00:46.790,0:00:50.240
mais, o material que nós estamos falando, o volume de-quer

0:00:50.240,0:00:53.060
O volume de gás ou o volume de algum sólido - que

0:00:53.060,0:00:55.050
sua densidade não é contante.

0:00:55.050,0:00:58.080
Então, agora a massa torna-se espécie de - Eu não sei -

0:00:58.080,0:00:59.550
interessante de calcular.

0:00:59.550,0:01:03.740
E assim, o que nós definimos, definimos uma função de densidade.

0:01:03.740,0:01:07.770
e o rô, esta letra que parece um "p" com uma curva em baixo--que

0:01:07.770,0:01:09.855
nos dá a densidade em qualquer ponto.

0:01:09.855,0:01:11.370
E no final do ultimo video nós dissemos,

0:01:11.370,0:01:12.830
bem, que o é massa?

0:01:12.830,0:01:16.050
Massa é só densidade vezes volume.

0:01:16.050,0:01:16.750
Você pode ver de outro jeito.

0:01:16.750,0:01:21.170
Densidade é a mesma coisa que massa dividido pelo volume.

0:01:21.170,0:01:26.630
Assim, a massa em torno de um ponto muito, muito pequena, e nós chamamos de

0:01:26.630,0:01:29.750
massa d, o diferencial da massa, vai igual a

0:01:29.750,0:01:33.450
densidade neste ponto, ou a densidade aproximada exatamente no

0:01:33.450,0:01:36.790
ponto, vezes o volume de diferenciais em torno desse ponto,

0:01:36.790,0:01:40.100
vezes o volume deste pequeno cubo.

0:01:40.100,0:01:43.140
E então, como nós dissemos no ultimo video, se você esta usando

0:01:43.140,0:01:46.240
coordenadas retangulares, este diferencial do volume pode somente

0:01:46.240,0:01:50.390
ser a distância de x vezes a distância de y vezes a distância de z

0:01:50.390,0:01:55.690
Assim, a densidade era a nossa função densidade é definida

0:01:55.690,0:01:57.730
para ser x, y e z, e nós queremos descobrir a

0:01:57.730,0:02:01.560
massa deste volume.

0:02:01.560,0:02:04.140
E vamos dizer que nossas coordenadas x, y e z - seus

0:02:04.140,0:02:05.990
valores estão em metros e vamos dizer que

0:02:05.990,0:02:09.340
densidade está em quilogramas por metro ao cubo.

0:02:09.340,0:02:12.270
Então nossa resposta vai ser em quilogramas, se fosse esse o caso.

0:02:12.270,0:02:14.480
E esses são o tipo das unidades tradicionais no Si.

0:02:14.480,0:02:21.210
Então, vamos descobrir a massa deste volume com densidade variável.

0:02:21.210,0:02:24.150
Então tudo o que fazemos é temos o mesmo integral aqui em cima.

0:02:26.720,0:02:29.860
Então, o diferencial de massa vai ser esse valor,

0:02:29.860,0:02:30.996
Então vamos escrever aqui em baixo.

0:02:34.850,0:02:38.920
Ele é o x-eu quero certificar-se de que eu não ficar sem espaço.

0:02:38.920,0:02:43.390
XYZ vezes - e eu estou indo para integrar com

0:02:43.390,0:02:45.890
respectivo dz primeiro.

0:02:45.890,0:02:47.910
Mas você realmente pode mudar a ordem.

0:02:47.910,0:02:49.750
Talvez nós faremos isso no próximo vídeo.

0:02:49.750,0:02:55.810
Vamos fazer dz em primeiro lugar, vamos fazer dy então, vamos fazer dx.

0:03:00.120,0:03:02.490
Mais uma vez, isso é apenas a massa em qualquer pequeno

0:03:02.490,0:03:04.310
diferencial de volume.

0:03:04.310,0:03:07.760
E se integrar com z primeiro dissemos z vai de onde?

0:03:07.760,0:03:10.770
Os limites em z foram 0 para 2.

0:03:14.050,0:03:18.255
Os limites y foram de 0 a 4.

0:03:21.110,0:03:23.890
E os limites em relação a x, x foi de 0 a 3.

0:03:26.750,0:03:27.910
E como podemos avaliar isso?

0:03:27.910,0:03:29.900
Bem, o que é a antiderivada-nós estamos

0:03:29.900,0:03:31.370
integração em relação a z primeiro.

0:03:31.370,0:03:35.660
Então, qual é a antiderivada de xyz em relação a z?

0:03:35.660,0:03:37.080
Bem, vamos ver.

0:03:37.080,0:03:45.080
Esta é apenas uma constante por isso vai ser xyz ao quadrado sobre 2.

0:03:45.080,0:03:46.040
Direito?

0:03:46.040,0:03:46.810
Sim, é isso mesmo.

0:03:46.810,0:03:52.690
E então vou avaliamos que de 2 a 0.

0:03:52.690,0:03:54.870
E para que você obtenha - eu sei que eu vou ficar sem espaço.

0:03:54.870,0:03:59.420
Então você irá obter 2 ao quadrado, que é 4,

0:03:59.420,0:04:00.990
dividido por 2, que é 2.

0:04:00.990,0:04:05.460
Por isso é 2xy menos 0.

0:04:05.460,0:04:09.070
Então quando você avaliar apenas este primeiro vamos começar 2xy, e

0:04:09.070,0:04:11.410
Agora você tem as outras duas integrais deixadas.

0:04:11.410,0:04:13.260
Então eu não escrever as outras duas integrais.

0:04:13.260,0:04:13.820
Talvez eu vou escrevê-lo.

0:04:13.820,0:04:16.680
Então, você é deixado com duas integrais.

0:04:16.680,0:04:20.660
Você é deixado com dy e dx.

0:04:20.660,0:04:28.710
E y vai de 0 a 4 e x vai de 0 a 3.

0:04:28.710,0:04:30.480
Eu definitivamente vou ficar sem espaço.

0:04:30.480,0:04:32.200
E agora você tomar a antiderivada do presente

0:04:32.200,0:04:34.110
em relação a y.

0:04:34.110,0:04:36.640
Então, qual é a antiderivada do presente em relação a y?

0:04:36.640,0:04:40.240
Deixe-me apagar algumas coisas apenas para que eu não fique muito bagunçado.

0:04:44.230,0:04:46.040
Foi-me dada a sugestão muito boa de torná-lo

0:04:46.040,0:04:48.340
rolar, mas, infelizmente, eu não fazê-lo rolar

0:04:48.340,0:04:50.090
suficiente neste momento.

0:04:50.090,0:04:54.160
Então eu posso apagar essas coisas, eu acho.

0:04:54.160,0:04:55.220
Opa, eu deletei alguns dos que.

0:04:55.220,0:04:56.860
Mas você sabe o que eu deletei.

0:04:56.860,0:04:58.290
OK, então vamos dar a antiderivada

0:04:58.290,0:04:59.290
em relação a y.

0:04:59.290,0:05:02.640
Eu vou começar isso aqui onde tenho espaço.

0:05:02.640,0:05:06.545
OK, então a antiderivada de 2xy com respeito a y é y

0:05:06.545,0:05:08.430
2 ao quadrado mais 2, anular.

0:05:08.430,0:05:09.870
Para que você obtenha xy quadrado.

0:05:13.100,0:05:15.270
E y vai de 0 a 4.

0:05:15.270,0:05:18.000
E depois ainda temos a integral exterior para fazer.

0:05:18.000,0:05:22.395
x vai de 0 a 3 dx.

0:05:22.395,0:05:24.215
E y é igual a 4 obtens 16x.

0:05:27.050,0:05:29.050
E, em seguida, quando y é 0 a coisa toda é 0.

0:05:29.050,0:05:34.300
Assim, você tem 16 x integrado de 0 3 dx.

0:05:34.300,0:05:36.210
E que é igual a que?

0:05:36.210,0:05:39.215
8x ao quadrado.

0:05:39.215,0:05:42.700
E você avaliá-lo de 0 a 3.

0:05:42.700,0:05:46.560
Quando é 3, 8 vezes 9 é 72.

0:05:46.560,0:05:49.040
E 8 vezes 0 é 0.

0:05:49.040,0:05:51.810
Assim a massa de nossa figura-volume descobrimos última

0:05:51.810,0:05:53.230
tempo foi de 24 metros em cubos.

0:05:53.230,0:05:55.160
Eu apaguei, mas se você assistiu o último vídeo

0:05:55.160,0:05:56.210
Isso é o que aprendemos.

0:05:56.210,0:06:00.570
Mas ele é massa é 72 kg.

0:06:00.570,0:06:06.420
E nós fizemos isso, integrando esta densidade variável 3

0:06:06.420,0:06:08.090
função--essa função de 3 variáveis.

0:06:08.090,0:06:10.230
Ou em três dimensões, você pode vê-lo como um

0:06:10.230,0:06:11.440
campo escalar, certo?

0:06:11.440,0:06:13.910
Em qualquer dado momento, há um valor, mas não

0:06:13.910,0:06:14.420
realmente uma direção.

0:06:14.420,0:06:16.020
E esse valor é uma densidade.

0:06:16.020,0:06:20.540
Mas estamos integrados o campo escalar neste volume.

0:06:20.540,0:06:22.650
Então esse é o tipo da nova habilidade que nós aprendemos com

0:06:22.650,0:06:23.620
a integral tripla.

0:06:23.620,0:06:26.280
E no próximo vídeo, mostrarei como configurar mais

0:06:26.280,0:06:27.460
complicadas integrais triplos.

0:06:27.460,0:06:29.820
Mas o real é a dificuldade com integrais triplos-- e eu

0:06:29.820,0:06:32.180
acho que você vai ver que o seu professor de cálculo fará frequentemente

0:06:32.180,0:06:34.630
isso - quando você está fazendo integrais triplas, a menos que você tenha um

0:06:34.630,0:06:38.290
figura muito fácil como este, a avaliação — se você realmente

0:06:38.290,0:06:41.500
queria avaliar analiticamente uma integral tripla que tem mais

0:06:41.500,0:06:44.910
limites de complicado ou mais complicadas, por exemplo,

0:06:44.910,0:06:46.280
uma função de densidade.

0:06:46.280,0:06:48.850
A integral fica muito peludo, muito rápido.

0:06:48.850,0:06:52.610
E muitas vezes é muito difícil ou muito demorado para

0:06:52.610,0:06:55.760
avaliá-lo analiticamente apenas usando seu tradicional

0:06:55.760,0:06:56.270
Competências de cálculo.

0:06:56.270,0:06:59.790
Assim você verá que em um monte de exames de cálculo quando eles começam a

0:06:59.790,0:07:02.500
fazendo a integral tripla, eles só querem você configurá-lo.

0:07:02.500,0:07:05.520
Eles levam sua palavra para ela que você já fez tantas integrais

0:07:05.520,0:07:07.490
até o momento que você poderia tomar a antiderivada.

0:07:07.490,0:07:09.820
E, às vezes, se eles realmente querem dar-lhe algo mais

0:07:09.820,0:07:12.530
difícil apenas dirão, bem, alternar a ordem.

0:07:12.530,0:07:14.930
Você sabe, esta é a integral, quando estamos lidando com

0:07:14.930,0:07:16.700
respeito ao z, y, em seguida x.

0:07:16.700,0:07:18.510
Nós queremos que você reescrever esta integral, quando

0:07:18.510,0:07:19.730
você alternar a ordem.

0:07:19.730,0:07:22.700
E o que faremos no próximo vídeo.

0:07:22.700,0:07:24.270
Te vejo depois.