1
00:00:00,920 --> 00:00:03,820
No último vídeo, tínhamos este retângulo e utilizamos integral tripla

2
00:00:03,820 --> 00:00:05,170
para determinar seu volume

3
00:00:05,170 --> 00:00:08,000
E agora você, provavelmente, está pensando: "bom, eu poderia ter usado geometria básica

4
00:00:08,000 --> 00:00:12,100
para multiplicar a altura pela largura e pela

5
00:00:12,100 --> 00:00:12,940
profundidade"

6
00:00:12,940 --> 00:00:15,720
E é verdade, pois esta era uma função constante

7
00:00:15,720 --> 00:00:18,320
E então, mesmo quando já avaliadas, uma vez integrada

8
00:00:18,320 --> 00:00:20,630
em relação a z, nós acabamos com uma integral dupla, que

9
00:00:20,630 --> 00:00:23,840
é exatamente o que você pode ter feito nos videos passados

10
00:00:23,840 --> 00:00:26,580
quando nós aprendemos que o volume sob uma superfície.

11
00:00:26,580 --> 00:00:28,560
Mas, então, nós acrescentamos uma torção no final do vídeo.

12
00:00:28,560 --> 00:00:33,000
Nós dissemos, bem, você pode ter descoberto o volume dentro

13
00:00:33,000 --> 00:00:38,160
do domínio do retangulo, eu acho, muito fácil

14
00:00:38,160 --> 00:00:39,000
usando as coisas que você já sabia.

15
00:00:39,000 --> 00:00:42,080
Mas e se nosso objetivo não for descobrir o volume?

16
00:00:42,080 --> 00:00:46,790
Nosso objetivo era descobrir a massa deste volume, e ainda

17
00:00:46,790 --> 00:00:50,240
mais, o material que nós estamos falando, o volume de-quer

18
00:00:50,240 --> 00:00:53,060
O volume de gás ou o volume de algum sólido - que

19
00:00:53,060 --> 00:00:55,050
sua densidade não é contante.

20
00:00:55,050 --> 00:00:58,080
Então, agora a massa torna-se espécie de - Eu não sei -

21
00:00:58,080 --> 00:00:59,550
interessante de calcular.

22
00:00:59,550 --> 00:01:03,740
E assim, o que nós definimos, definimos uma função de densidade.

23
00:01:03,740 --> 00:01:07,770
e o rô, esta letra que parece um "p" com uma curva em baixo--que

24
00:01:07,770 --> 00:01:09,855
nos dá a densidade em qualquer ponto.

25
00:01:09,855 --> 00:01:11,370
E no final do ultimo video nós dissemos,

26
00:01:11,370 --> 00:01:12,830
bem, que o é massa?

27
00:01:12,830 --> 00:01:16,050
Massa é só densidade vezes volume.

28
00:01:16,050 --> 00:01:16,750
Você pode ver de outro jeito.

29
00:01:16,750 --> 00:01:21,170
Densidade é a mesma coisa que massa dividido pelo volume.

30
00:01:21,170 --> 00:01:26,630
Assim, a massa em torno de um ponto muito, muito pequena, e nós chamamos de

31
00:01:26,630 --> 00:01:29,750
massa d, o diferencial da massa, vai igual a

32
00:01:29,750 --> 00:01:33,450
densidade neste ponto, ou a densidade aproximada exatamente no

33
00:01:33,450 --> 00:01:36,790
ponto, vezes o volume de diferenciais em torno desse ponto,

34
00:01:36,790 --> 00:01:40,100
vezes o volume deste pequeno cubo.

35
00:01:40,100 --> 00:01:43,140
E então, como nós dissemos no ultimo video, se você esta usando

36
00:01:43,140 --> 00:01:46,240
coordenadas retangulares, este diferencial do volume pode somente

37
00:01:46,240 --> 00:01:50,390
ser a distância de x vezes a distância de y vezes a distância de z

38
00:01:50,390 --> 00:01:55,690
Assim, a densidade era a nossa função densidade é definida

39
00:01:55,690 --> 00:01:57,730
para ser x, y e z, e nós queremos descobrir a

40
00:01:57,730 --> 00:02:01,560
massa deste volume.

41
00:02:01,560 --> 00:02:04,140
E vamos dizer que nossas coordenadas x, y e z - seus

42
00:02:04,140 --> 00:02:05,990
valores estão em metros e vamos dizer que

43
00:02:05,990 --> 00:02:09,340
densidade está em quilogramas por metro ao cubo.

44
00:02:09,340 --> 00:02:12,270
Então nossa resposta vai ser em quilogramas, se fosse esse o caso.

45
00:02:12,270 --> 00:02:14,480
E esses são o tipo das unidades tradicionais no Si.

46
00:02:14,480 --> 00:02:21,210
Então, vamos descobrir a massa deste volume com densidade variável.

47
00:02:21,210 --> 00:02:24,150
Então tudo o que fazemos é temos o mesmo integral aqui em cima.

48
00:02:26,720 --> 00:02:29,860
Então, o diferencial de massa vai ser esse valor,

49
00:02:29,860 --> 00:02:30,996
Então vamos escrever aqui em baixo.

50
00:02:34,850 --> 00:02:38,920
Ele é o x-eu quero certificar-se de que eu não ficar sem espaço.

51
00:02:38,920 --> 00:02:43,390
XYZ vezes - e eu estou indo para integrar com

52
00:02:43,390 --> 00:02:45,890
respectivo dz primeiro.

53
00:02:45,890 --> 00:02:47,910
Mas você realmente pode mudar a ordem.

54
00:02:47,910 --> 00:02:49,750
Talvez nós faremos isso no próximo vídeo.

55
00:02:49,750 --> 00:02:55,810
Vamos fazer dz em primeiro lugar, vamos fazer dy então, vamos fazer dx.

56
00:03:00,120 --> 00:03:02,490
Mais uma vez, isso é apenas a massa em qualquer pequeno

57
00:03:02,490 --> 00:03:04,310
diferencial de volume.

58
00:03:04,310 --> 00:03:07,760
E se integrar com z primeiro dissemos z vai de onde?

59
00:03:07,760 --> 00:03:10,770
Os limites em z foram 0 para 2.

60
00:03:14,050 --> 00:03:18,255
Os limites y foram de 0 a 4.

61
00:03:21,110 --> 00:03:23,890
E os limites em relação a x, x foi de 0 a 3.

62
00:03:26,750 --> 00:03:27,910
E como podemos avaliar isso?

63
00:03:27,910 --> 00:03:29,900
Bem, o que é a antiderivada-nós estamos

64
00:03:29,900 --> 00:03:31,370
integração em relação a z primeiro.

65
00:03:31,370 --> 00:03:35,660
Então, qual é a antiderivada de xyz em relação a z?

66
00:03:35,660 --> 00:03:37,080
Bem, vamos ver.

67
00:03:37,080 --> 00:03:45,080
Esta é apenas uma constante por isso vai ser xyz ao quadrado sobre 2.

68
00:03:45,080 --> 00:03:46,040
Direito?

69
00:03:46,040 --> 00:03:46,810
Sim, é isso mesmo.

70
00:03:46,810 --> 00:03:52,690
E então vou avaliamos que de 2 a 0.

71
00:03:52,690 --> 00:03:54,870
E para que você obtenha - eu sei que eu vou ficar sem espaço.

72
00:03:54,870 --> 00:03:59,420
Então você irá obter 2 ao quadrado, que é 4,

73
00:03:59,420 --> 00:04:00,990
dividido por 2, que é 2.

74
00:04:00,990 --> 00:04:05,460
Por isso é 2xy menos 0.

75
00:04:05,460 --> 00:04:09,070
Então quando você avaliar apenas este primeiro vamos começar 2xy, e

76
00:04:09,070 --> 00:04:11,410
Agora você tem as outras duas integrais deixadas.

77
00:04:11,410 --> 00:04:13,260
Então eu não escrever as outras duas integrais.

78
00:04:13,260 --> 00:04:13,820
Talvez eu vou escrevê-lo.

79
00:04:13,820 --> 00:04:16,680
Então, você é deixado com duas integrais.

80
00:04:16,680 --> 00:04:20,660
Você é deixado com dy e dx.

81
00:04:20,660 --> 00:04:28,710
E y vai de 0 a 4 e x vai de 0 a 3.

82
00:04:28,710 --> 00:04:30,480
Eu definitivamente vou ficar sem espaço.

83
00:04:30,480 --> 00:04:32,200
E agora você tomar a antiderivada do presente

84
00:04:32,200 --> 00:04:34,110
em relação a y.

85
00:04:34,110 --> 00:04:36,640
Então, qual é a antiderivada do presente em relação a y?

86
00:04:36,640 --> 00:04:40,240
Deixe-me apagar algumas coisas apenas para que eu não fique muito bagunçado.

87
00:04:44,230 --> 00:04:46,040
Foi-me dada a sugestão muito boa de torná-lo

88
00:04:46,040 --> 00:04:48,340
rolar, mas, infelizmente, eu não fazê-lo rolar

89
00:04:48,340 --> 00:04:50,090
suficiente neste momento.

90
00:04:50,090 --> 00:04:54,160
Então eu posso apagar essas coisas, eu acho.

91
00:04:54,160 --> 00:04:55,220
Opa, eu deletei alguns dos que.

92
00:04:55,220 --> 00:04:56,860
Mas você sabe o que eu deletei.

93
00:04:56,860 --> 00:04:58,290
OK, então vamos dar a antiderivada

94
00:04:58,290 --> 00:04:59,290
em relação a y.

95
00:04:59,290 --> 00:05:02,640
Eu vou começar isso aqui onde tenho espaço.

96
00:05:02,640 --> 00:05:06,545
OK, então a antiderivada de 2xy com respeito a y é y

97
00:05:06,545 --> 00:05:08,430
2 ao quadrado mais 2, anular.

98
00:05:08,430 --> 00:05:09,870
Para que você obtenha xy quadrado.

99
00:05:13,100 --> 00:05:15,270
E y vai de 0 a 4.

100
00:05:15,270 --> 00:05:18,000
E depois ainda temos a integral exterior para fazer.

101
00:05:18,000 --> 00:05:22,395
x vai de 0 a 3 dx.

102
00:05:22,395 --> 00:05:24,215
E y é igual a 4 obtens 16x.

103
00:05:27,050 --> 00:05:29,050
E, em seguida, quando y é 0 a coisa toda é 0.

104
00:05:29,050 --> 00:05:34,300
Assim, você tem 16 x integrado de 0 3 dx.

105
00:05:34,300 --> 00:05:36,210
E que é igual a que?

106
00:05:36,210 --> 00:05:39,215
8x ao quadrado.

107
00:05:39,215 --> 00:05:42,700
E você avaliá-lo de 0 a 3.

108
00:05:42,700 --> 00:05:46,560
Quando é 3, 8 vezes 9 é 72.

109
00:05:46,560 --> 00:05:49,040
E 8 vezes 0 é 0.

110
00:05:49,040 --> 00:05:51,810
Assim a massa de nossa figura-volume descobrimos última

111
00:05:51,810 --> 00:05:53,230
tempo foi de 24 metros em cubos.

112
00:05:53,230 --> 00:05:55,160
Eu apaguei, mas se você assistiu o último vídeo

113
00:05:55,160 --> 00:05:56,210
Isso é o que aprendemos.

114
00:05:56,210 --> 00:06:00,570
Mas ele é massa é 72 kg.

115
00:06:00,570 --> 00:06:06,420
E nós fizemos isso, integrando esta densidade variável 3

116
00:06:06,420 --> 00:06:08,090
função--essa função de 3 variáveis.

117
00:06:08,090 --> 00:06:10,230
Ou em três dimensões, você pode vê-lo como um

118
00:06:10,230 --> 00:06:11,440
campo escalar, certo?

119
00:06:11,440 --> 00:06:13,910
Em qualquer dado momento, há um valor, mas não

120
00:06:13,910 --> 00:06:14,420
realmente uma direção.

121
00:06:14,420 --> 00:06:16,020
E esse valor é uma densidade.

122
00:06:16,020 --> 00:06:20,540
Mas estamos integrados o campo escalar neste volume.

123
00:06:20,540 --> 00:06:22,650
Então esse é o tipo da nova habilidade que nós aprendemos com

124
00:06:22,650 --> 00:06:23,620
a integral tripla.

125
00:06:23,620 --> 00:06:26,280
E no próximo vídeo, mostrarei como configurar mais

126
00:06:26,280 --> 00:06:27,460
complicadas integrais triplos.

127
00:06:27,460 --> 00:06:29,820
Mas o real é a dificuldade com integrais triplos-- e eu

128
00:06:29,820 --> 00:06:32,180
acho que você vai ver que o seu professor de cálculo fará frequentemente

129
00:06:32,180 --> 00:06:34,630
isso - quando você está fazendo integrais triplas, a menos que você tenha um

130
00:06:34,630 --> 00:06:38,290
figura muito fácil como este, a avaliação — se você realmente

131
00:06:38,290 --> 00:06:41,500
queria avaliar analiticamente uma integral tripla que tem mais

132
00:06:41,500 --> 00:06:44,910
limites de complicado ou mais complicadas, por exemplo,

133
00:06:44,910 --> 00:06:46,280
uma função de densidade.

134
00:06:46,280 --> 00:06:48,850
A integral fica muito peludo, muito rápido.

135
00:06:48,850 --> 00:06:52,610
E muitas vezes é muito difícil ou muito demorado para

136
00:06:52,610 --> 00:06:55,760
avaliá-lo analiticamente apenas usando seu tradicional

137
00:06:55,760 --> 00:06:56,270
Competências de cálculo.

138
00:06:56,270 --> 00:06:59,790
Assim você verá que em um monte de exames de cálculo quando eles começam a

139
00:06:59,790 --> 00:07:02,500
fazendo a integral tripla, eles só querem você configurá-lo.

140
00:07:02,500 --> 00:07:05,520
Eles levam sua palavra para ela que você já fez tantas integrais

141
00:07:05,520 --> 00:07:07,490
até o momento que você poderia tomar a antiderivada.

142
00:07:07,490 --> 00:07:09,820
E, às vezes, se eles realmente querem dar-lhe algo mais

143
00:07:09,820 --> 00:07:12,530
difícil apenas dirão, bem, alternar a ordem.

144
00:07:12,530 --> 00:07:14,930
Você sabe, esta é a integral, quando estamos lidando com

145
00:07:14,930 --> 00:07:16,700
respeito ao z, y, em seguida x.

146
00:07:16,700 --> 00:07:18,510
Nós queremos que você reescrever esta integral, quando

147
00:07:18,510 --> 00:07:19,730
você alternar a ordem.

148
00:07:19,730 --> 00:07:22,700
E o que faremos no próximo vídeo.

149
00:07:22,700 --> 00:07:24,270
Te vejo depois.