No último vídeo, tínhamos este retângulo e utilizamos integral tripla para determinar seu volume E agora você, provavelmente, está pensando: "bom, eu poderia ter usado geometria básica para multiplicar a altura pela largura e pela profundidade" E é verdade, pois esta era uma função constante E então, mesmo quando já avaliadas, uma vez integrada em relação a z, nós acabamos com uma integral dupla, que é exatamente o que você pode ter feito nos videos passados quando nós aprendemos que o volume sob uma superfície. Mas, então, nós acrescentamos uma torção no final do vídeo. Nós dissemos, bem, você pode ter descoberto o volume dentro do domínio do retangulo, eu acho, muito fácil usando as coisas que você já sabia. Mas e se nosso objetivo não for descobrir o volume? Nosso objetivo era descobrir a massa deste volume, e ainda mais, o material que nós estamos falando, o volume de-quer O volume de gás ou o volume de algum sólido - que sua densidade não é contante. Então, agora a massa torna-se espécie de - Eu não sei - interessante de calcular. E assim, o que nós definimos, definimos uma função de densidade. e o rô, esta letra que parece um "p" com uma curva em baixo--que nos dá a densidade em qualquer ponto. E no final do ultimo video nós dissemos, bem, que o é massa? Massa é só densidade vezes volume. Você pode ver de outro jeito. Densidade é a mesma coisa que massa dividido pelo volume. Assim, a massa em torno de um ponto muito, muito pequena, e nós chamamos de massa d, o diferencial da massa, vai igual a densidade neste ponto, ou a densidade aproximada exatamente no ponto, vezes o volume de diferenciais em torno desse ponto, vezes o volume deste pequeno cubo. E então, como nós dissemos no ultimo video, se você esta usando coordenadas retangulares, este diferencial do volume pode somente ser a distância de x vezes a distância de y vezes a distância de z Assim, a densidade era a nossa função densidade é definida para ser x, y e z, e nós queremos descobrir a massa deste volume. E vamos dizer que nossas coordenadas x, y e z - seus valores estão em metros e vamos dizer que densidade está em quilogramas por metro ao cubo. Então nossa resposta vai ser em quilogramas, se fosse esse o caso. E esses são o tipo das unidades tradicionais no Si. Então, vamos descobrir a massa deste volume com densidade variável. Então tudo o que fazemos é temos o mesmo integral aqui em cima. Então, o diferencial de massa vai ser esse valor, Então vamos escrever aqui em baixo. Ele é o x-eu quero certificar-se de que eu não ficar sem espaço. XYZ vezes - e eu estou indo para integrar com respectivo dz primeiro. Mas você realmente pode mudar a ordem. Talvez nós faremos isso no próximo vídeo. Vamos fazer dz em primeiro lugar, vamos fazer dy então, vamos fazer dx. Mais uma vez, isso é apenas a massa em qualquer pequeno diferencial de volume. E se integrar com z primeiro dissemos z vai de onde? Os limites em z foram 0 para 2. Os limites y foram de 0 a 4. E os limites em relação a x, x foi de 0 a 3. E como podemos avaliar isso? Bem, o que é a antiderivada-nós estamos integração em relação a z primeiro. Então, qual é a antiderivada de xyz em relação a z? Bem, vamos ver. Esta é apenas uma constante por isso vai ser xyz ao quadrado sobre 2. Direito? Sim, é isso mesmo. E então vou avaliamos que de 2 a 0. E para que você obtenha - eu sei que eu vou ficar sem espaço. Então você irá obter 2 ao quadrado, que é 4, dividido por 2, que é 2. Por isso é 2xy menos 0. Então quando você avaliar apenas este primeiro vamos começar 2xy, e Agora você tem as outras duas integrais deixadas. Então eu não escrever as outras duas integrais. Talvez eu vou escrevê-lo. Então, você é deixado com duas integrais. Você é deixado com dy e dx. E y vai de 0 a 4 e x vai de 0 a 3. Eu definitivamente vou ficar sem espaço. E agora você tomar a antiderivada do presente em relação a y. Então, qual é a antiderivada do presente em relação a y? Deixe-me apagar algumas coisas apenas para que eu não fique muito bagunçado. Foi-me dada a sugestão muito boa de torná-lo rolar, mas, infelizmente, eu não fazê-lo rolar suficiente neste momento. Então eu posso apagar essas coisas, eu acho. Opa, eu deletei alguns dos que. Mas você sabe o que eu deletei. OK, então vamos dar a antiderivada em relação a y. Eu vou começar isso aqui onde tenho espaço. OK, então a antiderivada de 2xy com respeito a y é y 2 ao quadrado mais 2, anular. Para que você obtenha xy quadrado. E y vai de 0 a 4. E depois ainda temos a integral exterior para fazer. x vai de 0 a 3 dx. E y é igual a 4 obtens 16x. E, em seguida, quando y é 0 a coisa toda é 0. Assim, você tem 16 x integrado de 0 3 dx. E que é igual a que? 8x ao quadrado. E você avaliá-lo de 0 a 3. Quando é 3, 8 vezes 9 é 72. E 8 vezes 0 é 0. Assim a massa de nossa figura-volume descobrimos última tempo foi de 24 metros em cubos. Eu apaguei, mas se você assistiu o último vídeo Isso é o que aprendemos. Mas ele é massa é 72 kg. E nós fizemos isso, integrando esta densidade variável 3 função--essa função de 3 variáveis. Ou em três dimensões, você pode vê-lo como um campo escalar, certo? Em qualquer dado momento, há um valor, mas não realmente uma direção. E esse valor é uma densidade. Mas estamos integrados o campo escalar neste volume. Então esse é o tipo da nova habilidade que nós aprendemos com a integral tripla. E no próximo vídeo, mostrarei como configurar mais complicadas integrais triplos. Mas o real é a dificuldade com integrais triplos-- e eu acho que você vai ver que o seu professor de cálculo fará frequentemente isso - quando você está fazendo integrais triplas, a menos que você tenha um figura muito fácil como este, a avaliação — se você realmente queria avaliar analiticamente uma integral tripla que tem mais limites de complicado ou mais complicadas, por exemplo, uma função de densidade. A integral fica muito peludo, muito rápido. E muitas vezes é muito difícil ou muito demorado para avaliá-lo analiticamente apenas usando seu tradicional Competências de cálculo. Assim você verá que em um monte de exames de cálculo quando eles começam a fazendo a integral tripla, eles só querem você configurá-lo. Eles levam sua palavra para ela que você já fez tantas integrais até o momento que você poderia tomar a antiderivada. E, às vezes, se eles realmente querem dar-lhe algo mais difícil apenas dirão, bem, alternar a ordem. Você sabe, esta é a integral, quando estamos lidando com respeito ao z, y, em seguida x. Nós queremos que você reescrever esta integral, quando você alternar a ordem. E o que faremos no próximo vídeo. Te vejo depois.