-
Bir önceki videoda, şöyle bir dikdörtgenler prizmamız vardı, ve hacmini bulmak için üç katlı integral kullandık.
-
Eminim ki, şöyle düşünüyorsunuz: Temel geometri bilgimi kullanarak, yükseklik çarpı en çarpı boy olarak hacmi bulabilirdim.
-
-
Evet, çünkü fonksiyonumuz, sabit bir fonksiyondu.
Ve, z'ye göre integral aldığımızda, çift katlı bir integral elde ettik. Zaten, önceki videolarda da, yüzey altındaki hacmi hesaplarken, aynı duruma rastlamıştık.
-
-
-
Ama, videonun sonuna bir sürpriz eklemiştik.
Peki, bu dikdörtgen tanım kümesi üzerinde hacmi bulmak kolay.
-
-
Ama, ya amacımız, hacmi değil, kütleyi bulmak olsaydı?
Ve, elimizdeki materyal, bir gaz veya özgül ağırlığı değişen bir madde olsaydı?
-
-
-
Bu durumda, kütleyi bulmak hayli ilginçleşir.
-
Böylece, bir özgül ağırlık fonksiyonu tanımladık.
Bize her noktadaki özgül ağırlığı veren bu fonksiyona, ro, dedik.
-
Bir önceki videonun sonunda, kütle nedir, diye sorduk.
-
Kütle, özgül ağırlıkla hacmin çarpımıdır.
Veya, şöyle düşünebilirsiniz.
Özgül ağırlık, kütlenin hacme bölümüdür.
Buna göre, bir noktadaki kütle diferansiyeli, o noktadaki özgül ağırlık çarpı hacim diferansiyeline eşittir, dedik.
-
-
-
-
Önceki videoda gördüğümüz gibi, Kartezyen koordinat sistemi kullanıyorsak, bu hacim diferansiyeli, dx çarpı dy çarpı dz'ye eşit.
-
-
Özgül ağırlık eşittir x çarpı y çarpı z. Ve, bu cismin kütlesini bulmak istiyoruz.
-
-
x, y, z koordinatlarımızın birimi metre olsun, ve özgül ağırlığımızın birimi de kilogram bölü metreküp olsun.
-
-
Buna göre, cevabımız kilogram cinsinden olacak.
-
Şimdi, bu cismin kütlesini bulalım.
Elimizde zaten bu integral var.
-
Bu değer, kütle diferansiyeli. Onu yazalım.
-
-
xyz çarpı -önce z'ye göre integral alacağım. Aslında, sırayı değiştirebilirsiniz.
-
-
-
Belki bir sonraki videoda öyle yaparız.
Önce z'ye göre integral alalım. Sonra, y'ye göre. En son da x'e göre.
-
Tekrar edersek, bu, herhangi bir hacim diferansiyelindeki kütle.
-
Şimdi, z'ye göre integral alırsak, z kaçtan kaça gidiyordu?
z'nin limitleri 0 ve 2 idi.
-
y'nin limitleri 0 ve 4 idi.
-
x de, 0'dan 3'e gidiyordu.
-
Şimdi, bunun değerini nasıl bulacağız?
z'ye göre integral alırken, terstürev nedir?
-
xyz'nin z'ye göre terstürevi nedir?
Bakalım.
Bu yalnızca bir sabit, dolayısıyla x y z kare bölü 2.
-
Tamam.
Bunu 0'dan 2'ye hesaplayacağız.
-
2 kare, yani 4, bölü 2, bu da 2.
-
2 x y eksi 0.
Bunun değerini bulduğumuzda, 2 x y elde ediyoruz, ve iki integralimiz kalıyor.
-
Diğer iki integrali daha yazmamıştım.
Şİmdi yazayım.
İki integralim daha kalmıştı. dy ve dx.
-
y, 0'dan 4'e gidiyor, ve x, 0'dan 3'e gidiyor.
-
Şimdi bunun y'ye göre terstürevini alayım.
-
-
-
-
-
-
-
Şurayı biraz sileyim.
-
-
Şimdi, y'ye göre terstürev alalım.
-
İşlemi şurada yapayım.
2 x y'nin y'ye göre terstürevi, y kare bölü 2, 2'ler sadeleşir.
-
x y kare.
-
y, 0'dan 4'e gidiyor.
Daha, en dıştaki integrali yapmamız lazım.
x, 0'dan 3'e gidiyor.
y eşittir 4, bize 16 x verir.
-
y 0 olduğunda, burası 0 olur.
Dolayısıyla, 16 x'in 0'dan 3'e integralini alacağız.
Bunun terstürevi nedir?
8 x kare.
0'dan 3'e değerini bulalım.
3'e eşit olduğunda, 8 çarpı 9 eşittir 72.
0 çarpı 8 ise, 0
Cismimizin hacmini, geçen videoda, 24 metreküp bulmuştuk.
-
-
-
Kütlesi de 72 kilogram.
Kütleyi, bu üç değişkenli fonksiyonun integralini alarak bulduk.
-
Üç boyutta, bunu bir skaler alan olarak da düşünebiliriz.
Öyle değil mi?
Herhangi bir noktada, bir sayı elde ediyoruz, ama yön bulmuyoruz.
-
Elde ettiğimiz değer, özgül ağırlık.
Bu skaler alanın integralini almış olduk.
Üç katlı integralle, bu yeni beceriyi edinmiş olduk.
-
Bir sonraki videoda, size daha karışık üç katlı integraller kurmayı öğreteceğim.
-
Eğer şekliniz çok kolay değilse, sınırınız veya fonksiyonununuz karmaşık ise, integraliniz bir anda çok zorlaşabilir.
-
-
-
-
-
-
-
Ve bu integrali, analiz becerinizi kullanarak çözmek, ya çok zor olur veya çok uzun sürer.
-
-
Bu nedenle, analiz sınavlarında, yalnızca üç katlı integrali kurmanız istenir.
-
Yeterince integral aldığınız için, terstürevde problem yaşamayacağınız varsayılır.
-
Ve eğer daha zor bir soru sormak istenirse, işlem sırasını değiştirmeniz söylenebilir.
-
Örneğin, z'ye, ve sonra y'ye, en son da x'e göre integral verilip, sıra değişince bu integralin neye dönüştüğünü yazın, denilebilir.
-
-
-
Bunu bir sonraki videoda yapacağız.
Görüşmek üzere.
-