0:00:00.000,0:00:00.920 - 0:00:00.920,0:00:03.820 Bir önceki videoda, şöyle bir dikdörtgenler prizmamız vardı, ve hacmini bulmak için üç katlı integral kullandık. 0:00:03.820,0:00:05.170 - 0:00:05.170,0:00:08.000 Eminim ki, şöyle düşünüyorsunuz: Temel geometri bilgimi kullanarak, yükseklik çarpı en çarpı boy olarak hacmi bulabilirdim. 0:00:08.000,0:00:12.100 - 0:00:12.100,0:00:12.940 - 0:00:12.940,0:00:15.720 Evet, çünkü fonksiyonumuz, sabit bir fonksiyondu. 0:00:15.720,0:00:18.320 Ve, z'ye göre integral aldığımızda, çift katlı bir integral elde ettik. Zaten, önceki videolarda da, yüzey altındaki hacmi hesaplarken, aynı duruma rastlamıştık. 0:00:18.320,0:00:20.630 - 0:00:20.630,0:00:23.840 - 0:00:23.840,0:00:26.580 - 0:00:26.580,0:00:28.560 Ama, videonun sonuna bir sürpriz eklemiştik. 0:00:28.560,0:00:33.000 Peki, bu dikdörtgen tanım kümesi üzerinde hacmi bulmak kolay. 0:00:33.000,0:00:38.160 - 0:00:38.160,0:00:39.000 - 0:00:39.000,0:00:42.080 Ama, ya amacımız, hacmi değil, kütleyi bulmak olsaydı? 0:00:42.080,0:00:46.790 Ve, elimizdeki materyal, bir gaz veya özgül ağırlığı değişen bir madde olsaydı? 0:00:46.790,0:00:50.240 - 0:00:50.240,0:00:53.060 - 0:00:53.060,0:00:55.050 - 0:00:55.050,0:00:58.080 Bu durumda, kütleyi bulmak hayli ilginçleşir. 0:00:58.080,0:00:59.550 - 0:00:59.550,0:01:03.740 Böylece, bir özgül ağırlık fonksiyonu tanımladık. 0:01:03.740,0:01:07.770 Bize her noktadaki özgül ağırlığı veren bu fonksiyona, ro, dedik. 0:01:07.770,0:01:09.855 - 0:01:09.855,0:01:11.370 Bir önceki videonun sonunda, kütle nedir, diye sorduk. 0:01:11.370,0:01:12.830 - 0:01:12.830,0:01:16.050 Kütle, özgül ağırlıkla hacmin çarpımıdır. 0:01:16.050,0:01:16.750 Veya, şöyle düşünebilirsiniz. 0:01:16.750,0:01:21.170 Özgül ağırlık, kütlenin hacme bölümüdür. 0:01:21.170,0:01:26.630 Buna göre, bir noktadaki kütle diferansiyeli, o noktadaki özgül ağırlık çarpı hacim diferansiyeline eşittir, dedik. 0:01:26.630,0:01:29.750 - 0:01:29.750,0:01:33.450 - 0:01:33.450,0:01:36.790 - 0:01:36.790,0:01:40.100 - 0:01:40.100,0:01:43.140 Önceki videoda gördüğümüz gibi, Kartezyen koordinat sistemi kullanıyorsak, bu hacim diferansiyeli, dx çarpı dy çarpı dz'ye eşit. 0:01:43.140,0:01:46.240 - 0:01:46.240,0:01:50.390 - 0:01:50.390,0:01:55.690 Özgül ağırlık eşittir x çarpı y çarpı z. Ve, bu cismin kütlesini bulmak istiyoruz. 0:01:55.690,0:01:57.730 - 0:01:57.730,0:02:01.560 - 0:02:01.560,0:02:04.140 x, y, z koordinatlarımızın birimi metre olsun, ve özgül ağırlığımızın birimi de kilogram bölü metreküp olsun. 0:02:04.140,0:02:05.990 - 0:02:05.990,0:02:09.340 - 0:02:09.340,0:02:12.270 Buna göre, cevabımız kilogram cinsinden olacak. 0:02:12.270,0:02:14.480 - 0:02:14.480,0:02:21.210 Şimdi, bu cismin kütlesini bulalım. 0:02:21.210,0:02:24.150 Elimizde zaten bu integral var. 0:02:24.150,0:02:26.720 - 0:02:26.720,0:02:29.860 Bu değer, kütle diferansiyeli. Onu yazalım. 0:02:29.860,0:02:30.996 - 0:02:30.996,0:02:34.850 - 0:02:34.850,0:02:38.920 xyz çarpı -önce z'ye göre integral alacağım. Aslında, sırayı değiştirebilirsiniz. 0:02:38.920,0:02:43.390 - 0:02:43.390,0:02:45.890 - 0:02:45.890,0:02:47.910 - 0:02:47.910,0:02:49.750 Belki bir sonraki videoda öyle yaparız. 0:02:49.750,0:02:55.810 Önce z'ye göre integral alalım. Sonra, y'ye göre. En son da x'e göre. 0:02:55.810,0:03:00.120 - 0:03:00.120,0:03:02.490 Tekrar edersek, bu, herhangi bir hacim diferansiyelindeki kütle. 0:03:02.490,0:03:04.310 - 0:03:04.310,0:03:07.760 Şimdi, z'ye göre integral alırsak, z kaçtan kaça gidiyordu? 0:03:07.760,0:03:10.770 z'nin limitleri 0 ve 2 idi. 0:03:10.770,0:03:14.050 - 0:03:14.050,0:03:18.255 y'nin limitleri 0 ve 4 idi. 0:03:18.255,0:03:21.110 - 0:03:21.110,0:03:23.890 x de, 0'dan 3'e gidiyordu. 0:03:23.890,0:03:26.750 - 0:03:26.750,0:03:27.910 Şimdi, bunun değerini nasıl bulacağız? 0:03:27.910,0:03:29.900 z'ye göre integral alırken, terstürev nedir? 0:03:29.900,0:03:31.370 - 0:03:31.370,0:03:35.660 xyz'nin z'ye göre terstürevi nedir? 0:03:35.660,0:03:37.080 Bakalım. 0:03:37.080,0:03:45.080 Bu yalnızca bir sabit, dolayısıyla x y z kare bölü 2. 0:03:45.080,0:03:46.040 - 0:03:46.040,0:03:46.810 Tamam. 0:03:46.810,0:03:52.690 Bunu 0'dan 2'ye hesaplayacağız. 0:03:52.690,0:03:54.870 - 0:03:54.870,0:03:59.420 2 kare, yani 4, bölü 2, bu da 2. 0:03:59.420,0:04:00.990 - 0:04:00.990,0:04:05.460 2 x y eksi 0. 0:04:05.460,0:04:09.070 Bunun değerini bulduğumuzda, 2 x y elde ediyoruz, ve iki integralimiz kalıyor. 0:04:09.070,0:04:11.410 - 0:04:11.410,0:04:13.260 Diğer iki integrali daha yazmamıştım. 0:04:13.260,0:04:13.820 Şİmdi yazayım. 0:04:13.820,0:04:16.680 İki integralim daha kalmıştı. dy ve dx. 0:04:16.680,0:04:20.660 - 0:04:20.660,0:04:28.710 y, 0'dan 4'e gidiyor, ve x, 0'dan 3'e gidiyor. 0:04:28.710,0:04:30.480 - 0:04:30.480,0:04:32.200 Şimdi bunun y'ye göre terstürevini alayım. 0:04:32.200,0:04:34.110 - 0:04:34.110,0:04:36.640 - 0:04:36.640,0:04:40.240 - 0:04:40.240,0:04:44.230 - 0:04:44.230,0:04:46.040 - 0:04:46.040,0:04:48.340 - 0:04:48.340,0:04:50.090 - 0:04:50.090,0:04:54.160 Şurayı biraz sileyim. 0:04:54.160,0:04:55.220 - 0:04:55.220,0:04:56.860 - 0:04:56.860,0:04:58.290 Şimdi, y'ye göre terstürev alalım. 0:04:58.290,0:04:59.290 - 0:04:59.290,0:05:02.640 İşlemi şurada yapayım. 0:05:02.640,0:05:06.545 2 x y'nin y'ye göre terstürevi, y kare bölü 2, 2'ler sadeleşir. 0:05:06.545,0:05:08.430 - 0:05:08.430,0:05:09.870 x y kare. 0:05:09.870,0:05:13.100 - 0:05:13.100,0:05:15.270 y, 0'dan 4'e gidiyor. 0:05:15.270,0:05:18.000 Daha, en dıştaki integrali yapmamız lazım. 0:05:18.000,0:05:22.395 x, 0'dan 3'e gidiyor. 0:05:22.395,0:05:24.215 y eşittir 4, bize 16 x verir. 0:05:24.215,0:05:27.050 - 0:05:27.050,0:05:29.050 y 0 olduğunda, burası 0 olur. 0:05:29.050,0:05:34.300 Dolayısıyla, 16 x'in 0'dan 3'e integralini alacağız. 0:05:34.300,0:05:36.210 Bunun terstürevi nedir? 0:05:36.210,0:05:39.215 8 x kare. 0:05:39.215,0:05:42.700 0'dan 3'e değerini bulalım. 0:05:42.700,0:05:46.560 3'e eşit olduğunda, 8 çarpı 9 eşittir 72. 0:05:46.560,0:05:49.040 0 çarpı 8 ise, 0 0:05:49.040,0:05:51.810 Cismimizin hacmini, geçen videoda, 24 metreküp bulmuştuk. 0:05:51.810,0:05:53.230 - 0:05:53.230,0:05:55.160 - 0:05:55.160,0:05:56.210 - 0:05:56.210,0:06:00.570 Kütlesi de 72 kilogram. 0:06:00.570,0:06:06.420 Kütleyi, bu üç değişkenli fonksiyonun integralini alarak bulduk. 0:06:06.420,0:06:08.090 - 0:06:08.090,0:06:10.230 Üç boyutta, bunu bir skaler alan olarak da düşünebiliriz. 0:06:10.230,0:06:11.440 Öyle değil mi? 0:06:11.440,0:06:13.910 Herhangi bir noktada, bir sayı elde ediyoruz, ama yön bulmuyoruz. 0:06:13.910,0:06:14.420 - 0:06:14.420,0:06:16.020 Elde ettiğimiz değer, özgül ağırlık. 0:06:16.020,0:06:20.540 Bu skaler alanın integralini almış olduk. 0:06:20.540,0:06:22.650 Üç katlı integralle, bu yeni beceriyi edinmiş olduk. 0:06:22.650,0:06:23.620 - 0:06:23.620,0:06:26.280 Bir sonraki videoda, size daha karışık üç katlı integraller kurmayı öğreteceğim. 0:06:26.280,0:06:27.460 - 0:06:27.460,0:06:29.820 Eğer şekliniz çok kolay değilse, sınırınız veya fonksiyonununuz karmaşık ise, integraliniz bir anda çok zorlaşabilir. 0:06:29.820,0:06:32.180 - 0:06:32.180,0:06:34.630 - 0:06:34.630,0:06:38.290 - 0:06:38.290,0:06:41.500 - 0:06:41.500,0:06:44.910 - 0:06:44.910,0:06:46.280 - 0:06:46.280,0:06:48.850 - 0:06:48.850,0:06:52.610 Ve bu integrali, analiz becerinizi kullanarak çözmek, ya çok zor olur veya çok uzun sürer. 0:06:52.610,0:06:55.760 - 0:06:55.760,0:06:56.270 - 0:06:56.270,0:06:59.790 Bu nedenle, analiz sınavlarında, yalnızca üç katlı integrali kurmanız istenir. 0:06:59.790,0:07:02.500 - 0:07:02.500,0:07:05.520 Yeterince integral aldığınız için, terstürevde problem yaşamayacağınız varsayılır. 0:07:05.520,0:07:07.490 - 0:07:07.490,0:07:09.820 Ve eğer daha zor bir soru sormak istenirse, işlem sırasını değiştirmeniz söylenebilir. 0:07:09.820,0:07:12.530 - 0:07:12.530,0:07:14.930 Örneğin, z'ye, ve sonra y'ye, en son da x'e göre integral verilip, sıra değişince bu integralin neye dönüştüğünü yazın, denilebilir. 0:07:14.930,0:07:16.700 - 0:07:16.700,0:07:18.510 - 0:07:18.510,0:07:19.730 - 0:07:19.730,0:07:22.700 Bunu bir sonraki videoda yapacağız. 0:07:22.700,0:07:24.270 Görüşmek üzere. 0:07:24.270,0:07:25.500 -