1
00:00:00,000 --> 00:00:00,920
-

2
00:00:00,920 --> 00:00:03,820
Bir önceki videoda, şöyle bir dikdörtgenler prizmamız vardı, ve hacmini bulmak için üç katlı integral kullandık.

3
00:00:03,820 --> 00:00:05,170
-

4
00:00:05,170 --> 00:00:08,000
Eminim ki, şöyle düşünüyorsunuz: Temel geometri bilgimi kullanarak, yükseklik çarpı en çarpı boy olarak hacmi bulabilirdim.

5
00:00:08,000 --> 00:00:12,100
-

6
00:00:12,100 --> 00:00:12,940
-

7
00:00:12,940 --> 00:00:15,720
Evet, çünkü fonksiyonumuz, sabit bir fonksiyondu.

8
00:00:15,720 --> 00:00:18,320
Ve, z'ye göre integral aldığımızda, çift katlı bir integral elde ettik. Zaten, önceki videolarda da, yüzey altındaki hacmi hesaplarken, aynı duruma rastlamıştık.

9
00:00:18,320 --> 00:00:20,630
-

10
00:00:20,630 --> 00:00:23,840
-

11
00:00:23,840 --> 00:00:26,580
-

12
00:00:26,580 --> 00:00:28,560
Ama, videonun sonuna bir sürpriz eklemiştik.

13
00:00:28,560 --> 00:00:33,000
Peki, bu dikdörtgen tanım kümesi üzerinde hacmi bulmak kolay.

14
00:00:33,000 --> 00:00:38,160
-

15
00:00:38,160 --> 00:00:39,000
-

16
00:00:39,000 --> 00:00:42,080
Ama, ya amacımız, hacmi değil, kütleyi bulmak olsaydı?

17
00:00:42,080 --> 00:00:46,790
Ve, elimizdeki materyal, bir gaz veya özgül ağırlığı değişen bir madde olsaydı?

18
00:00:46,790 --> 00:00:50,240
-

19
00:00:50,240 --> 00:00:53,060
-

20
00:00:53,060 --> 00:00:55,050
-

21
00:00:55,050 --> 00:00:58,080
Bu durumda, kütleyi bulmak hayli ilginçleşir.

22
00:00:58,080 --> 00:00:59,550
-

23
00:00:59,550 --> 00:01:03,740
Böylece, bir özgül ağırlık fonksiyonu tanımladık.

24
00:01:03,740 --> 00:01:07,770
Bize her noktadaki özgül ağırlığı veren bu fonksiyona, ro, dedik.

25
00:01:07,770 --> 00:01:09,855
-

26
00:01:09,855 --> 00:01:11,370
Bir önceki videonun sonunda, kütle nedir, diye sorduk.

27
00:01:11,370 --> 00:01:12,830
-

28
00:01:12,830 --> 00:01:16,050
Kütle, özgül ağırlıkla hacmin çarpımıdır.

29
00:01:16,050 --> 00:01:16,750
Veya, şöyle düşünebilirsiniz.

30
00:01:16,750 --> 00:01:21,170
Özgül ağırlık, kütlenin hacme bölümüdür.

31
00:01:21,170 --> 00:01:26,630
Buna göre, bir noktadaki kütle diferansiyeli, o noktadaki özgül ağırlık çarpı hacim diferansiyeline eşittir, dedik.

32
00:01:26,630 --> 00:01:29,750
-

33
00:01:29,750 --> 00:01:33,450
-

34
00:01:33,450 --> 00:01:36,790
-

35
00:01:36,790 --> 00:01:40,100
-

36
00:01:40,100 --> 00:01:43,140
Önceki videoda gördüğümüz gibi, Kartezyen koordinat sistemi kullanıyorsak, bu hacim diferansiyeli, dx çarpı dy çarpı dz'ye eşit.

37
00:01:43,140 --> 00:01:46,240
-

38
00:01:46,240 --> 00:01:50,390
-

39
00:01:50,390 --> 00:01:55,690
Özgül ağırlık eşittir x çarpı y çarpı z. Ve, bu cismin kütlesini bulmak istiyoruz.

40
00:01:55,690 --> 00:01:57,730
-

41
00:01:57,730 --> 00:02:01,560
-

42
00:02:01,560 --> 00:02:04,140
x, y, z koordinatlarımızın birimi metre olsun, ve özgül ağırlığımızın birimi de kilogram bölü metreküp olsun.

43
00:02:04,140 --> 00:02:05,990
-

44
00:02:05,990 --> 00:02:09,340
-

45
00:02:09,340 --> 00:02:12,270
Buna göre, cevabımız kilogram cinsinden olacak.

46
00:02:12,270 --> 00:02:14,480
-

47
00:02:14,480 --> 00:02:21,210
Şimdi, bu cismin kütlesini bulalım.

48
00:02:21,210 --> 00:02:24,150
Elimizde zaten bu integral var.

49
00:02:24,150 --> 00:02:26,720
-

50
00:02:26,720 --> 00:02:29,860
Bu değer, kütle diferansiyeli. Onu yazalım.

51
00:02:29,860 --> 00:02:30,996
-

52
00:02:30,996 --> 00:02:34,850
-

53
00:02:34,850 --> 00:02:38,920
xyz çarpı -önce z'ye göre integral alacağım. Aslında, sırayı değiştirebilirsiniz.

54
00:02:38,920 --> 00:02:43,390
-

55
00:02:43,390 --> 00:02:45,890
-

56
00:02:45,890 --> 00:02:47,910
-

57
00:02:47,910 --> 00:02:49,750
Belki bir sonraki videoda öyle yaparız.

58
00:02:49,750 --> 00:02:55,810
Önce z'ye göre integral alalım. Sonra, y'ye göre. En son da x'e göre.

59
00:02:55,810 --> 00:03:00,120
-

60
00:03:00,120 --> 00:03:02,490
Tekrar edersek, bu, herhangi bir hacim diferansiyelindeki kütle.

61
00:03:02,490 --> 00:03:04,310
-

62
00:03:04,310 --> 00:03:07,760
Şimdi, z'ye göre integral alırsak, z kaçtan kaça gidiyordu?

63
00:03:07,760 --> 00:03:10,770
z'nin limitleri 0 ve 2 idi.

64
00:03:10,770 --> 00:03:14,050
-

65
00:03:14,050 --> 00:03:18,255
y'nin limitleri 0 ve 4 idi.

66
00:03:18,255 --> 00:03:21,110
-

67
00:03:21,110 --> 00:03:23,890
x de, 0'dan 3'e gidiyordu.

68
00:03:23,890 --> 00:03:26,750
-

69
00:03:26,750 --> 00:03:27,910
Şimdi, bunun değerini nasıl bulacağız?

70
00:03:27,910 --> 00:03:29,900
z'ye göre integral alırken, terstürev nedir?

71
00:03:29,900 --> 00:03:31,370
-

72
00:03:31,370 --> 00:03:35,660
xyz'nin z'ye göre terstürevi nedir?

73
00:03:35,660 --> 00:03:37,080
Bakalım.

74
00:03:37,080 --> 00:03:45,080
Bu yalnızca bir sabit, dolayısıyla x y z kare bölü 2.

75
00:03:45,080 --> 00:03:46,040
-

76
00:03:46,040 --> 00:03:46,810
Tamam.

77
00:03:46,810 --> 00:03:52,690
Bunu 0'dan 2'ye hesaplayacağız.

78
00:03:52,690 --> 00:03:54,870
-

79
00:03:54,870 --> 00:03:59,420
2 kare, yani 4, bölü 2, bu da 2.

80
00:03:59,420 --> 00:04:00,990
-

81
00:04:00,990 --> 00:04:05,460
2 x y eksi 0.

82
00:04:05,460 --> 00:04:09,070
Bunun değerini bulduğumuzda, 2 x y elde ediyoruz, ve iki integralimiz kalıyor.

83
00:04:09,070 --> 00:04:11,410
-

84
00:04:11,410 --> 00:04:13,260
Diğer iki integrali daha yazmamıştım.

85
00:04:13,260 --> 00:04:13,820
Şİmdi yazayım.

86
00:04:13,820 --> 00:04:16,680
İki integralim daha kalmıştı. dy ve dx.

87
00:04:16,680 --> 00:04:20,660
-

88
00:04:20,660 --> 00:04:28,710
y, 0'dan 4'e gidiyor, ve x, 0'dan 3'e gidiyor.

89
00:04:28,710 --> 00:04:30,480
-

90
00:04:30,480 --> 00:04:32,200
Şimdi bunun y'ye göre terstürevini alayım.

91
00:04:32,200 --> 00:04:34,110
-

92
00:04:34,110 --> 00:04:36,640
-

93
00:04:36,640 --> 00:04:40,240
-

94
00:04:40,240 --> 00:04:44,230
-

95
00:04:44,230 --> 00:04:46,040
-

96
00:04:46,040 --> 00:04:48,340
-

97
00:04:48,340 --> 00:04:50,090
-

98
00:04:50,090 --> 00:04:54,160
Şurayı biraz sileyim.

99
00:04:54,160 --> 00:04:55,220
-

100
00:04:55,220 --> 00:04:56,860
-

101
00:04:56,860 --> 00:04:58,290
Şimdi, y'ye göre terstürev alalım.

102
00:04:58,290 --> 00:04:59,290
-

103
00:04:59,290 --> 00:05:02,640
İşlemi şurada yapayım.

104
00:05:02,640 --> 00:05:06,545
2 x y'nin y'ye göre terstürevi, y kare bölü 2, 2'ler sadeleşir.

105
00:05:06,545 --> 00:05:08,430
-

106
00:05:08,430 --> 00:05:09,870
x y kare.

107
00:05:09,870 --> 00:05:13,100
-

108
00:05:13,100 --> 00:05:15,270
y, 0'dan 4'e gidiyor.

109
00:05:15,270 --> 00:05:18,000
Daha, en dıştaki integrali yapmamız lazım.

110
00:05:18,000 --> 00:05:22,395
x, 0'dan 3'e gidiyor.

111
00:05:22,395 --> 00:05:24,215
y eşittir 4, bize 16 x verir.

112
00:05:24,215 --> 00:05:27,050
-

113
00:05:27,050 --> 00:05:29,050
y 0 olduğunda, burası 0 olur.

114
00:05:29,050 --> 00:05:34,300
Dolayısıyla, 16 x'in 0'dan 3'e integralini alacağız.

115
00:05:34,300 --> 00:05:36,210
Bunun terstürevi nedir?

116
00:05:36,210 --> 00:05:39,215
8 x kare.

117
00:05:39,215 --> 00:05:42,700
0'dan 3'e değerini bulalım.

118
00:05:42,700 --> 00:05:46,560
3'e eşit olduğunda, 8 çarpı 9 eşittir 72.

119
00:05:46,560 --> 00:05:49,040
0 çarpı 8 ise, 0

120
00:05:49,040 --> 00:05:51,810
Cismimizin hacmini, geçen videoda, 24 metreküp bulmuştuk.

121
00:05:51,810 --> 00:05:53,230
-

122
00:05:53,230 --> 00:05:55,160
-

123
00:05:55,160 --> 00:05:56,210
-

124
00:05:56,210 --> 00:06:00,570
Kütlesi de 72 kilogram.

125
00:06:00,570 --> 00:06:06,420
Kütleyi, bu üç değişkenli fonksiyonun integralini alarak bulduk.

126
00:06:06,420 --> 00:06:08,090
-

127
00:06:08,090 --> 00:06:10,230
Üç boyutta, bunu bir skaler alan olarak da düşünebiliriz.

128
00:06:10,230 --> 00:06:11,440
Öyle değil mi?

129
00:06:11,440 --> 00:06:13,910
Herhangi bir noktada, bir sayı elde ediyoruz, ama yön bulmuyoruz.

130
00:06:13,910 --> 00:06:14,420
-

131
00:06:14,420 --> 00:06:16,020
Elde ettiğimiz değer, özgül ağırlık.

132
00:06:16,020 --> 00:06:20,540
Bu skaler alanın integralini almış olduk.

133
00:06:20,540 --> 00:06:22,650
Üç katlı integralle, bu yeni beceriyi edinmiş olduk.

134
00:06:22,650 --> 00:06:23,620
-

135
00:06:23,620 --> 00:06:26,280
Bir sonraki videoda, size daha karışık üç katlı integraller kurmayı öğreteceğim.

136
00:06:26,280 --> 00:06:27,460
-

137
00:06:27,460 --> 00:06:29,820
Eğer şekliniz çok kolay değilse, sınırınız veya fonksiyonununuz karmaşık ise, integraliniz bir anda çok zorlaşabilir.

138
00:06:29,820 --> 00:06:32,180
-

139
00:06:32,180 --> 00:06:34,630
-

140
00:06:34,630 --> 00:06:38,290
-

141
00:06:38,290 --> 00:06:41,500
-

142
00:06:41,500 --> 00:06:44,910
-

143
00:06:44,910 --> 00:06:46,280
-

144
00:06:46,280 --> 00:06:48,850
-

145
00:06:48,850 --> 00:06:52,610
Ve bu integrali, analiz becerinizi kullanarak çözmek, ya çok zor olur veya çok uzun sürer.

146
00:06:52,610 --> 00:06:55,760
-

147
00:06:55,760 --> 00:06:56,270
-

148
00:06:56,270 --> 00:06:59,790
Bu nedenle, analiz sınavlarında, yalnızca üç katlı integrali kurmanız istenir.

149
00:06:59,790 --> 00:07:02,500
-

150
00:07:02,500 --> 00:07:05,520
Yeterince integral aldığınız için, terstürevde problem yaşamayacağınız varsayılır.

151
00:07:05,520 --> 00:07:07,490
-

152
00:07:07,490 --> 00:07:09,820
Ve eğer daha zor bir soru sormak istenirse, işlem sırasını değiştirmeniz söylenebilir.

153
00:07:09,820 --> 00:07:12,530
-

154
00:07:12,530 --> 00:07:14,930
Örneğin, z'ye, ve sonra y'ye, en son da x'e göre integral verilip, sıra değişince bu integralin neye dönüştüğünü yazın, denilebilir.

155
00:07:14,930 --> 00:07:16,700
-

156
00:07:16,700 --> 00:07:18,510
-

157
00:07:18,510 --> 00:07:19,730
-

158
00:07:19,730 --> 00:07:22,700
Bunu bir sonraki videoda yapacağız.

159
00:07:22,700 --> 00:07:24,270
Görüşmek üzere.

160
00:07:24,270 --> 00:07:25,500
-