Aşağıdakı tənlikdə diferensiallanan
x və y funskiyaları əlaqələndirilmişdir.
sinus(x) üstəgəl kosinus(y)
kök altında 2-yə bərabərdir.
Həmçinin bizə x-in t-yə nəzərən törəməsinin
5 olduğu verilib.
y pi bölünsün 4-ə bərabər, x 0-dan böyük
və pi bölünsün 2-dən kiçik olduqda, bizdən y-in t-yə görə
törəməsi soruşulur.
Bizə x-in t-yə görə törəməsi verilib və
y-in t-yə nəzərən törəməsi
istənilir.
x və y t-dən asılı funksiyalardır.
Bu tənliyi belə də yaza bilərsiniz.
Sinus(x(t))
üstəgəl
kosinus(y(t))
kök altında 2-yə
bərabərdir.
Bu, biraz çaşdırıcı ola bilər,
siz x-i 3-cü dəyişənin funksiyası kimi və ya
y-i x-dən fərqli funksiyadan asılı olmasını
görməyə öyrəşməmisiniz.
Amma burada x və y dəyişənlərdir.
x(t) və y(t) əvəzinə burada
f(t) və ya g(t) də yazıla bilər,
bu, sizə daha aydın şəkildə görünə bilərdi.
dy böl dt-ni tapmaq üçün
bərabərliyin hər iki tərəfinin t-yə nəzərən
törəməsini tapmalıyıq.
Gəlin başlayaq.
Sol tərəfin
t-yə görə
törəməsini alırıq.
t-yə nəzərən hər tərəfin törəməsini alırıq.
Daha sonra sağ tərəfin də
törəməsini alırıq.
Gəlin bunlar haqqında düşünək.
Bu nədir?
Başqa rənglə edək.
Burada mavi rənglə göstərdiyim hissəni
necə yaza bilərik?
t-yə görə törəməsini tapırıq.
Sinus funksiyamız var və o da t-dən asılıdır.
Zəncir qaydasını bura tətbiq edə bilərəm.
İlk növbədə, x-ə görə sinus(x)-in
törəməsini
tapacağam, sinus(x(t)) kimi də yaza bilərəm,
amma əvvəl verildiyi kimi sinus(x) kimi
yazacam.
Daha sonra onu daxili ifadənin törəməsinə
vuracağam, yəni onu
x-in t-yə nəzərən törəməsinə vuracağam.
x-lər və y-lər üçün zəncir qaydasını
tətbiq etməyimiz
bir az məntiqsiz gələ bilər.
Ancaq burada
x-ə əsasən sinusun törəməsini
tapırıq,
sonra isə t-yə əsasən
x-in törəməsini tapırıq.
Burada, yəni 2-ci hissədə də
eynisini edə bilərik.
y-ə əsasən bunun törəməsini
alırıq, bunu xarici ifadə kimi də nəzərdə tuta bilərsiniz,
kosinus(y),
onu t-yə əsasən y-in törəməsinə
vururuq.
Bunların hamısı nəyə bərabər olacaq?
Sabitin, yəni kök altında 2-nin
t-yə görə törəməsi
t-yə görə dəyişmədiyinə görə
0 olacaq.
İndi isə bunu
həll etməliyik.
İlk olaraq, x-ə əsasən
sinus(x)-in törəməsi kosinus(x) vurulsun
x-in t-yə görə törəməsinə bərabərdir.
x-in t-yə əsasən törəməsi.
Burada üstəgəl olacaq,
y-in t-yə əsasən törəməsi.
Üstəgəl y-in t-yə görə törəməsi.
Sadəcə ardıcıllığını dəyişirəm,
bu qarşıya keçir.
y-ə görə kosinus(y)-in törəməsi nə edir?
Bu, mənfi sinus(y) olacaq.
Bura sinus(y) yazıram,
bunu da mənfi edirəm.
Bunu silib mənfi işarəsi əlavə edirəm.
Bunların hamısı 0-a bərabər olur.
İndi bunu necə həll edə bilərik?
Bizə deyilib ki, t-yə görə x-in
törəməsi 5-dir, burada verilib.
Bu, 5-ə bərabərdir.
y-in t-yə görə törəməsini tapmalıyıq.
y-in nəyə bərabər olduğu bizə verilib, y pi böl 4-ə bərabərdir.
Yəni bu, pi böl 4-ə bərabərdir.
Bunu həll etməliyik,
burada iki qeyri-müəyyən ifadə var.
y-in t-yə görə törəməsinin və x-in
nəyə bərabər olduğunu bilmirik.
Bunu həll etməliyik.
x neçə ola bilər?
y pi böl 4 olduqda x neçə ola bilər?
Geri qayıdıb
bizə verilmiş tənlikdən x-i tapa bilərik.
y pi böl 4 olduqda,
gəlin yazaq.
Sinus(x)
üstəgəl kosinus(pi böl 4)
kök altında 2-yə bərabərdir.
Kosinus(pi böl 4),
çevrəni yadımıza salaq.
Birinci rübdəyik.
Dərəcə olduğunu nəzərə alsaq,
45 dərəcə olur, yəni kök altında 2, bölünsün 2.
İndi kök altında 2-dən, kök altında 2 bölünsü 2-ni
çıxa bilərik,
kök altında 2-dən, kök altnda 2 böl 2-ni
çıxmaqla onun yarısını çıxmış olduq,
yəni onun yarısı
qalır.
Yəni kök altında 2 bölünsün 2.
x-in hansı qiymətində sinus buna bərabər olur,
dərəcələri xatırlayaq,
birinci rübdə olduğumuzu
nəzərə alsaq, x bu bucaq aralığında
olacaq.
Bu da yenidən pi böl 4 edəcək.
Bu o deməkdir ki, y pi böl 4-ə bərabər olduqda,
x də pi böl 4-ə bərabər olur.
Artıq bunun da pi böl 4 olduğunu bilirik.
Gəlin bura yazaq,
çünki bir az qarışıq oldu.
5 vurulsun
kosinus(pi böl 4)
çıxılsın
dy böl dt, yəni t-yə görə y-in törəməsi,
indi bunu tapmalıyıq,
o da vurulsun sinus(pi böl 4),
hamsı 0-a bərabərdir.
Aydın olsun deyə bura
mötərizələr əlavə edəcəm.
Gəlin baxaq.
İndi cəbrdən istifadə edəcəyik.
Kosinus(pi böl 4),
bunun kök altında 2 bölünsün 2 olduğunu artıq bilirik.
Sinus(pi böl 4) də həmçinin kök altında 2 bölünsün 2-yə bərabərdir.
Hər iki tərəfi kök altında 2 bölünsün 2-yə
bölsək, nə baş verər?
Bu bizə nə verəcək?
Belə ki, kök altında 2 bölünsün 2,
bölünsün,
kök altında 2 böl 2,
bu da 1 edəcək.
Kök altında 2 böl 2,
bölünsün, kök altında 2 böl 2, 1 edəcək.
0 bölünsün, kök altında 2 böl 2,
elə 0 edəcək.
Bu da 5 vurulsun 1 olur,
elə 5 edəcək,
çıxılsın t-yə əsasən y-in törəməsi,
bərabərdir 0-a,
bu qədər.
Hər iki tərəfə y-in t-yə əsasən törəməsini əlavə etsək,
y-in t-yə əsasən törəməsi
5 olacaq.
x-in t-yə görə törəməsi 5 olduqda,
y pi böl 4-ə
bərabər olacaq.