0:00:00.534,0:00:05.965
Диференцируемите функции X и Y са свързани [br]чрез следното уравнение.

0:00:05.965,0:00:09.480
sinX + cosY

0:00:09.580,0:00:12.479
е равно на sqrt(2) или корен квадратен от 2.

0:00:12.479,0:00:17.897
Казват ни също, че производната на X [br]спрямо t, е равна на 5.

0:00:17.897,0:00:21.530
Искат от нас да намерим [br]производната на Y

0:00:21.530,0:00:25.145
спрямо t, когато Y = π/4 и

0:00:25.145,0:00:29.789
0 < X < π/2.

0:00:29.789,0:00:32.365
Като вземем предвид,[br]че ни дават производната

0:00:32.365,0:00:37.134
на X спрямо t, а искат от нас [br]да намерим производната на Y спрямо t,

0:00:37.134,0:00:41.301
можем да предположим, че [br]и двете функции, X и Y, са функция на t.

0:00:42.403,0:00:45.751
Дори може да запишеш[br]това уравнение ето тук.

0:00:45.760,0:00:50.500
Може да го запишеш като sinX,

0:00:50.680,0:00:53.040
което е функция на t,

0:00:53.040,0:00:55.700
плюс cosY,

0:00:55.820,0:00:59.300
което също е функция на t.

0:00:59.500,0:01:02.820
Цялото е равно на sqrt(2).

0:01:02.920,0:01:04.540
Може да те обърка малко,

0:01:04.542,0:01:06.376
ако нямаш навика да виждаш [br]X като функция

0:01:06.376,0:01:08.524
на трета променлива или [br]Y като функция

0:01:08.524,0:01:10.068
на нещо, различно от X.

0:01:10.068,0:01:11.740
Но запомни, че X и Y [br]са просто променливи.

0:01:11.740,0:01:15.419
Това може да е F(t), а това [br]би могло да е G(t),

0:01:15.419,0:01:17.605
вместо X(t) и Y(t).

0:01:17.605,0:01:19.503
Това може да ти се струва [br]по-естествено.

0:01:19.503,0:01:23.540
Няма нужда да го казваме, но [br]ако искаме да намерим dY/dt,

0:01:23.580,0:01:26.260
това, което искаме да направим, [br]е да намерим производната

0:01:26.264,0:01:29.952
спрямо t и на двете страни [br]на уравнението.

0:01:29.952,0:01:31.357
Нека го направим.

0:01:31.357,0:01:33.303
Ще го направя с лявата страна,

0:01:33.303,0:01:36.541
т.е. вземам това спрямо t

0:01:36.541,0:01:38.035
или производната на това спрямо t.

0:01:38.035,0:01:41.001
Търсим производната на това спрямо t.

0:01:41.001,0:01:42.338
След това намираме производната

0:01:42.338,0:01:46.547
на дясната страна, която [br]е константа, спрямо t.

0:01:46.547,0:01:49.764
Нека помислим за всяко едно [br]от тези неща.

0:01:49.764,0:01:51.444
Какво е това?

0:01:51.444,0:01:53.114
Нека го означа с друг цвят.

0:01:53.114,0:01:56.622
Нещото, което правя с този [br]синкав цвят тук,

0:01:56.622,0:01:58.245
как може да го запиша?

0:01:58.245,0:02:00.405
Намирам производната спрямо t.

0:02:00.405,0:02:04.918
Имам синус от нещо, което е[br]функция на t.

0:02:04.918,0:02:07.768
Следователно просто ще приложа[br]верижното правило.

0:02:07.768,0:02:16.360
Първо ще намеря производната[br]спрямо X на sinX.

0:02:16.500,0:02:18.700
Мога да запиша като sin(X(t)),

0:02:18.714,0:02:20.881
но просто ще се придържам към sinX тук,

0:02:20.881,0:02:22.365
за да е по-ясно.

0:02:22.365,0:02:25.244
Тогава ще умножа това по производната

0:02:25.244,0:02:28.766
на вътрешната функция спрямо t,

0:02:28.766,0:02:32.780
умножено по производната на X спрямо t.

0:02:32.780,0:02:34.506
Това може да ти изглежда нелогично,

0:02:34.506,0:02:36.682
т.е. как прилагаш верижното правило преди,

0:02:36.682,0:02:38.737
когато имахме само X и Y.

0:02:38.737,0:02:41.272
Всичко, което се случва обаче,[br]е да намеря производната

0:02:41.272,0:02:43.565
на външната функция, на синус от нещо,

0:02:43.565,0:02:46.547
спрямо нещото, което в този случай е X.

0:02:46.547,0:02:48.503
Тогава търся производната на нещото,

0:02:48.503,0:02:51.415
което в случая, е, X спрямо t.

0:02:51.415,0:02:53.927
Mоже да направим същото нещо

0:02:53.927,0:02:56.010
за втория член ето тук.

0:02:56.988,0:03:01.216
Тогава искам да намеря [br]производната спрямо Y,

0:03:01.220,0:03:07.520
като може да я наречеш [br]външната функция, на cosY.

0:03:07.700,0:03:09.206
Тогава ще умножиш това

0:03:09.206,0:03:14.180
по производната на Y спрямо t.

0:03:14.260,0:03:17.440
Тогава всичко това [br]на какво ще бъде равно?

0:03:17.447,0:03:20.742
Производната на константа спрямо t,

0:03:20.742,0:03:22.162
защото sqrt(2) е константа,

0:03:22.162,0:03:23.912
няма да се промени, когато[br]t се променя.

0:03:23.912,0:03:27.385
Така че производната ѝ, скоростта ѝ [br]на изменение, е нула.

0:03:27.385,0:03:29.632
Добре, сега просто трябва да намерим

0:03:29.632,0:03:31.357
всички тези неща.

0:03:31.357,0:03:33.681
Първо, производната на X спрямо t,

0:03:33.681,0:03:38.280
от sinX, е cosX, умножено по [br]производната на X спрямо t.

0:03:38.280,0:03:40.270
Ще го запиша ето тук.

0:03:40.270,0:03:42.207
Производната на X спрямо t.

0:03:42.207,0:03:44.964
Това, което ще получим...[br]тук има плюс...

0:03:44.964,0:03:47.157
е производната на Y спрямо t.

0:03:47.157,0:03:51.010
Така че плюс производната [br]на Y спрямо t.

0:03:51.010,0:03:52.445
Просто разменям реда тук,

0:03:52.445,0:03:54.467
така че това минава отпред.

0:03:54.467,0:03:58.372
Каква е производната на[br]cosY спрямо Y?

0:03:58.372,0:04:01.336
Това е –sinY.

0:04:01.336,0:04:05.265
Нека просто поставя sinY тук,

0:04:05.265,0:04:07.118
тогава ще имам минус.

0:04:07.118,0:04:10.118
Изтривам това и поставям минус тук.

0:04:11.600,0:04:15.100
И всичко това ще бъде равно на нула.

0:04:16.062,0:04:18.743
Какво може да намерим сега?

0:04:18.743,0:04:21.785
Казали са ни, че [br]производната на X спрямо t,

0:04:21.785,0:04:25.398
е равна на 5 ето тук.

0:04:25.398,0:04:27.481
Следователно това е равно на 5.

0:04:29.088,0:04:32.679
Искаме да намерим [br]производната на Y спрямо t.

0:04:32.679,0:04:36.145
Казват ни, че Y = π/4.

0:04:36.145,0:04:40.312
Това тук Y, т.е. π/4, така че знаем, [br]че това е π/4.

0:04:41.606,0:04:43.791
Нека да видим [br]какво трябва да намерим.

0:04:43.791,0:04:45.725
Тук все още имаме две неизвестни.

0:04:45.725,0:04:47.449
Не знаем какво е X и не знаем,

0:04:47.449,0:04:49.580
каква е производната на Y спрямо t.

0:04:49.580,0:04:51.101
Това е, което трябва да намерим.

0:04:51.101,0:04:52.467
Какво ще бъде X?

0:04:52.467,0:04:55.420
Какво ще бъде X, когато Y = π/4?

0:04:55.420,0:04:56.439
За да намерим това,

0:04:56.439,0:05:00.222
може да се върнем към [br]първоначалното уравнение тук.

0:05:00.222,0:05:03.754
Когато Y = π/4,

0:05:03.754,0:05:04.847
нека да запиша какво се получава.

0:05:04.847,0:05:07.340
Синус от X

0:05:07.400,0:05:10.820
плюс косинус от π

0:05:10.820,0:05:13.980
върху четири е равно на[br]квадратен корен от две.

0:05:13.980,0:05:17.500
За cos(π/4),

0:05:17.600,0:05:20.936
се връщаме към единичната окръжност.

0:05:20.936,0:05:22.558
Намираме се в първи крадрант.

0:05:22.558,0:05:24.160
Ако изберем градуси, този ъгъл е 45 градуса.

0:05:24.160,0:05:28.067
Това означава sqrt(2)/2.

0:05:28.067,0:05:30.579
Следователно може [br]да извадим sqrt(2)/2

0:05:30.579,0:05:32.852
от двете страни, което ще ни даде

0:05:32.852,0:05:37.709
sinX е равно на...[br]е, ако извадим sqrt(2)/2

0:05:37.709,0:05:39.469
от sqrt(2),

0:05:39.469,0:05:40.764
изваждаш половината от него,

0:05:40.764,0:05:42.223
така че ще остане половината от него.

0:05:42.223,0:05:44.709
Следователно sqrt(2)/2.

0:05:44.709,0:05:48.718
Каква стойност се получава за X,[br]когато извадя този синус от него?

0:05:48.718,0:05:50.768
Спомни си, че мислим къде е ъгълът,

0:05:50.768,0:05:52.360
като си представяме [br]единичната окръжност.

0:05:52.360,0:05:54.775
В този случай X e ъгъл в първи квадрант

0:05:54.775,0:05:56.085
ето тук.

0:05:56.085,0:05:59.376
Тогава това отново ще бъде π/4.

0:05:59.376,0:06:03.157
Това ни казва, че X = π/4,

0:06:03.157,0:06:05.829
когато Y = π/4.

0:06:05.829,0:06:09.475
И така знаем, че това също е π/4.

0:06:09.475,0:06:11.437
Нека да запиша това отново,

0:06:11.437,0:06:13.463
защото става малко претрупано.

0:06:13.463,0:06:16.020
Знаем, че 5 пъти

0:06:16.420,0:06:21.200
по cos(π/4)

0:06:22.220,0:06:23.060
минус

0:06:24.268,0:06:26.968
dY/dT, т.е. производната на Y спрямо t,

0:06:26.968,0:06:28.767
което всъщност искаме да намерим,

0:06:28.767,0:06:32.120
умножено по sin(π/4),

0:06:32.560,0:06:35.020
е равно на нула.

0:06:35.400,0:06:38.520
Равно е на нула и го слагаме в скоби,

0:06:38.523,0:06:40.714
за да изясним малко нещата.

0:06:40.714,0:06:43.454
Добре, нека да видим.

0:06:43.454,0:06:45.108
Сега малко алгебра.

0:06:45.108,0:06:46.927
cos(π/4)

0:06:46.927,0:06:49.677
вече знаем, че е sqrt(2)/2.

0:06:49.677,0:06:53.844
sin(π/4) също е sqrt(2)/2.

0:06:54.754,0:06:57.583
Какво става ако разделим двете страни

0:06:57.583,0:07:00.878
на уравнението на sqrt(2)/2?

0:07:00.878,0:07:02.239
Какво ще ни даде това?

0:07:02.239,0:07:04.549
Е, тогава това sqrt(2)/2,

0:07:04.549,0:07:05.884
разделено на sqrt(2)/2

0:07:05.884,0:07:08.179
Тоест sqrt(2)/2, разделено на sqrt(2)/2

0:07:08.179,0:07:10.035
ще бъде единица.

0:07:10.035,0:07:11.283
sqrt(2)/2, разделено на

0:07:11.283,0:07:13.232
sqrt(2)/2 ще бъде едно.

0:07:13.232,0:07:15.495
Тогава нула, разделено на sqrt(2)/2

0:07:15.495,0:07:17.751
просто ще бъде нула.

0:07:17.751,0:07:19.842
Цялото това нещо се опростява до

0:07:19.842,0:07:23.070
пет пъти по едно, което е просто пет

0:07:23.070,0:07:26.627
минус производната на Y спрямо t,

0:07:26.627,0:07:29.700
цялото равно на нула.

0:07:29.700,0:07:31.080
Ето това се получава.

0:07:31.240,0:07:33.640
Прибавяш производната на Y спрямо t[br]към двете страни

0:07:33.640,0:07:38.200
и получаваме, че производната [br]на Y спрямо t е равна на пет,

0:07:38.680,0:07:42.294
когато всичко дотук е вярно.

0:07:42.294,0:07:44.656
Или когато производната [br]на X спрямо t е пет,

0:07:44.660,0:07:50.160
и производната... всъщност при Y = π/4 и производната на Y спрямо t е пет.