[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.53,0:00:05.96,Default,,0000,0000,0000,,Диференцируемите функции X и Y са свързани \Nчрез следното уравнение.
Dialogue: 0,0:00:05.96,0:00:09.48,Default,,0000,0000,0000,,sinX + cosY
Dialogue: 0,0:00:09.58,0:00:12.48,Default,,0000,0000,0000,,е равно на sqrt(2) или корен квадратен от 2.
Dialogue: 0,0:00:12.48,0:00:17.90,Default,,0000,0000,0000,,Казват ни също, че производната на X \Nспрямо t, е равна на 5.
Dialogue: 0,0:00:17.90,0:00:21.53,Default,,0000,0000,0000,,Искат от нас да намерим \Nпроизводната на Y
Dialogue: 0,0:00:21.53,0:00:25.14,Default,,0000,0000,0000,,спрямо t, когато Y = π/4 и
Dialogue: 0,0:00:25.14,0:00:29.79,Default,,0000,0000,0000,,0 < X < π/2.
Dialogue: 0,0:00:29.79,0:00:32.36,Default,,0000,0000,0000,,Като вземем предвид,\Nче ни дават производната
Dialogue: 0,0:00:32.36,0:00:37.13,Default,,0000,0000,0000,,на X спрямо t, а искат от нас \Nда намерим производната на Y спрямо t,
Dialogue: 0,0:00:37.13,0:00:41.30,Default,,0000,0000,0000,,можем да предположим, че \Nи двете функции, X и Y, са функция на t.
Dialogue: 0,0:00:42.40,0:00:45.75,Default,,0000,0000,0000,,Дори може да запишеш\Nтова уравнение ето тук.
Dialogue: 0,0:00:45.76,0:00:50.50,Default,,0000,0000,0000,,Може да го запишеш като sinX,
Dialogue: 0,0:00:50.68,0:00:53.04,Default,,0000,0000,0000,,което е функция на t,
Dialogue: 0,0:00:53.04,0:00:55.70,Default,,0000,0000,0000,,плюс cosY,
Dialogue: 0,0:00:55.82,0:00:59.30,Default,,0000,0000,0000,,което също е функция на t.
Dialogue: 0,0:00:59.50,0:01:02.82,Default,,0000,0000,0000,,Цялото е равно на sqrt(2).
Dialogue: 0,0:01:02.92,0:01:04.54,Default,,0000,0000,0000,,Може да те обърка малко,
Dialogue: 0,0:01:04.54,0:01:06.38,Default,,0000,0000,0000,,ако нямаш навика да виждаш \NX като функция
Dialogue: 0,0:01:06.38,0:01:08.52,Default,,0000,0000,0000,,на трета променлива или \NY като функция
Dialogue: 0,0:01:08.52,0:01:10.07,Default,,0000,0000,0000,,на нещо, различно от X.
Dialogue: 0,0:01:10.07,0:01:11.74,Default,,0000,0000,0000,,Но запомни, че X и Y \Nса просто променливи.
Dialogue: 0,0:01:11.74,0:01:15.42,Default,,0000,0000,0000,,Това може да е F(t), а това \Nби могло да е G(t),
Dialogue: 0,0:01:15.42,0:01:17.60,Default,,0000,0000,0000,,вместо X(t) и Y(t).
Dialogue: 0,0:01:17.60,0:01:19.50,Default,,0000,0000,0000,,Това може да ти се струва \Nпо-естествено.
Dialogue: 0,0:01:19.50,0:01:23.54,Default,,0000,0000,0000,,Няма нужда да го казваме, но \Nако искаме да намерим dY/dt,
Dialogue: 0,0:01:23.58,0:01:26.26,Default,,0000,0000,0000,,това, което искаме да направим, \Nе да намерим производната
Dialogue: 0,0:01:26.26,0:01:29.95,Default,,0000,0000,0000,,спрямо t и на двете страни \Nна уравнението.
Dialogue: 0,0:01:29.95,0:01:31.36,Default,,0000,0000,0000,,Нека го направим.
Dialogue: 0,0:01:31.36,0:01:33.30,Default,,0000,0000,0000,,Ще го направя с лявата страна,
Dialogue: 0,0:01:33.30,0:01:36.54,Default,,0000,0000,0000,,т.е. вземам това спрямо t
Dialogue: 0,0:01:36.54,0:01:38.04,Default,,0000,0000,0000,,или производната на това спрямо t.
Dialogue: 0,0:01:38.04,0:01:41.00,Default,,0000,0000,0000,,Търсим производната на това спрямо t.
Dialogue: 0,0:01:41.00,0:01:42.34,Default,,0000,0000,0000,,След това намираме производната
Dialogue: 0,0:01:42.34,0:01:46.55,Default,,0000,0000,0000,,на дясната страна, която \Nе константа, спрямо t.
Dialogue: 0,0:01:46.55,0:01:49.76,Default,,0000,0000,0000,,Нека помислим за всяко едно \Nот тези неща.
Dialogue: 0,0:01:49.76,0:01:51.44,Default,,0000,0000,0000,,Какво е това?
Dialogue: 0,0:01:51.44,0:01:53.11,Default,,0000,0000,0000,,Нека го означа с друг цвят.
Dialogue: 0,0:01:53.11,0:01:56.62,Default,,0000,0000,0000,,Нещото, което правя с този \Nсинкав цвят тук,
Dialogue: 0,0:01:56.62,0:01:58.24,Default,,0000,0000,0000,,как може да го запиша?
Dialogue: 0,0:01:58.24,0:02:00.40,Default,,0000,0000,0000,,Намирам производната спрямо t.
Dialogue: 0,0:02:00.40,0:02:04.92,Default,,0000,0000,0000,,Имам синус от нещо, което е\Nфункция на t.
Dialogue: 0,0:02:04.92,0:02:07.77,Default,,0000,0000,0000,,Следователно просто ще приложа\Nверижното правило.
Dialogue: 0,0:02:07.77,0:02:16.36,Default,,0000,0000,0000,,Първо ще намеря производната\Nспрямо X на sinX.
Dialogue: 0,0:02:16.50,0:02:18.70,Default,,0000,0000,0000,,Мога да запиша като sin(X(t)),
Dialogue: 0,0:02:18.71,0:02:20.88,Default,,0000,0000,0000,,но просто ще се придържам към sinX тук,
Dialogue: 0,0:02:20.88,0:02:22.36,Default,,0000,0000,0000,,за да е по-ясно.
Dialogue: 0,0:02:22.36,0:02:25.24,Default,,0000,0000,0000,,Тогава ще умножа това по производната
Dialogue: 0,0:02:25.24,0:02:28.77,Default,,0000,0000,0000,,на вътрешната функция спрямо t,
Dialogue: 0,0:02:28.77,0:02:32.78,Default,,0000,0000,0000,,умножено по производната на X спрямо t.
Dialogue: 0,0:02:32.78,0:02:34.51,Default,,0000,0000,0000,,Това може да ти изглежда нелогично,
Dialogue: 0,0:02:34.51,0:02:36.68,Default,,0000,0000,0000,,т.е. как прилагаш верижното правило преди,
Dialogue: 0,0:02:36.68,0:02:38.74,Default,,0000,0000,0000,,когато имахме само X и Y.
Dialogue: 0,0:02:38.74,0:02:41.27,Default,,0000,0000,0000,,Всичко, което се случва обаче,\Nе да намеря производната
Dialogue: 0,0:02:41.27,0:02:43.56,Default,,0000,0000,0000,,на външната функция, на синус от нещо,
Dialogue: 0,0:02:43.56,0:02:46.55,Default,,0000,0000,0000,,спрямо нещото, което в този случай е X.
Dialogue: 0,0:02:46.55,0:02:48.50,Default,,0000,0000,0000,,Тогава търся производната на нещото,
Dialogue: 0,0:02:48.50,0:02:51.42,Default,,0000,0000,0000,,което в случая, е, X спрямо t.
Dialogue: 0,0:02:51.42,0:02:53.93,Default,,0000,0000,0000,,Mоже да направим същото нещо
Dialogue: 0,0:02:53.93,0:02:56.01,Default,,0000,0000,0000,,за втория член ето тук.
Dialogue: 0,0:02:56.99,0:03:01.22,Default,,0000,0000,0000,,Тогава искам да намеря \Nпроизводната спрямо Y,
Dialogue: 0,0:03:01.22,0:03:07.52,Default,,0000,0000,0000,,като може да я наречеш \Nвъншната функция, на cosY.
Dialogue: 0,0:03:07.70,0:03:09.21,Default,,0000,0000,0000,,Тогава ще умножиш това
Dialogue: 0,0:03:09.21,0:03:14.18,Default,,0000,0000,0000,,по производната на Y спрямо t.
Dialogue: 0,0:03:14.26,0:03:17.44,Default,,0000,0000,0000,,Тогава всичко това \Nна какво ще бъде равно?
Dialogue: 0,0:03:17.45,0:03:20.74,Default,,0000,0000,0000,,Производната на константа спрямо t,
Dialogue: 0,0:03:20.74,0:03:22.16,Default,,0000,0000,0000,,защото sqrt(2) е константа,
Dialogue: 0,0:03:22.16,0:03:23.91,Default,,0000,0000,0000,,няма да се промени, когато\Nt се променя.
Dialogue: 0,0:03:23.91,0:03:27.38,Default,,0000,0000,0000,,Така че производната ѝ, скоростта ѝ \Nна изменение, е нула.
Dialogue: 0,0:03:27.38,0:03:29.63,Default,,0000,0000,0000,,Добре, сега просто трябва да намерим
Dialogue: 0,0:03:29.63,0:03:31.36,Default,,0000,0000,0000,,всички тези неща.
Dialogue: 0,0:03:31.36,0:03:33.68,Default,,0000,0000,0000,,Първо, производната на X спрямо t,
Dialogue: 0,0:03:33.68,0:03:38.28,Default,,0000,0000,0000,,от sinX, е cosX, умножено по \Nпроизводната на X спрямо t.
Dialogue: 0,0:03:38.28,0:03:40.27,Default,,0000,0000,0000,,Ще го запиша ето тук.
Dialogue: 0,0:03:40.27,0:03:42.21,Default,,0000,0000,0000,,Производната на X спрямо t.
Dialogue: 0,0:03:42.21,0:03:44.96,Default,,0000,0000,0000,,Това, което ще получим...\Nтук има плюс...
Dialogue: 0,0:03:44.96,0:03:47.16,Default,,0000,0000,0000,,е производната на Y спрямо t.
Dialogue: 0,0:03:47.16,0:03:51.01,Default,,0000,0000,0000,,Така че плюс производната \Nна Y спрямо t.
Dialogue: 0,0:03:51.01,0:03:52.44,Default,,0000,0000,0000,,Просто разменям реда тук,
Dialogue: 0,0:03:52.44,0:03:54.47,Default,,0000,0000,0000,,така че това минава отпред.
Dialogue: 0,0:03:54.47,0:03:58.37,Default,,0000,0000,0000,,Каква е производната на\NcosY спрямо Y?
Dialogue: 0,0:03:58.37,0:04:01.34,Default,,0000,0000,0000,,Това е –sinY.
Dialogue: 0,0:04:01.34,0:04:05.26,Default,,0000,0000,0000,,Нека просто поставя sinY тук,
Dialogue: 0,0:04:05.26,0:04:07.12,Default,,0000,0000,0000,,тогава ще имам минус.
Dialogue: 0,0:04:07.12,0:04:10.12,Default,,0000,0000,0000,,Изтривам това и поставям минус тук.
Dialogue: 0,0:04:11.60,0:04:15.10,Default,,0000,0000,0000,,И всичко това ще бъде равно на нула.
Dialogue: 0,0:04:16.06,0:04:18.74,Default,,0000,0000,0000,,Какво може да намерим сега?
Dialogue: 0,0:04:18.74,0:04:21.78,Default,,0000,0000,0000,,Казали са ни, че \Nпроизводната на X спрямо t,
Dialogue: 0,0:04:21.78,0:04:25.40,Default,,0000,0000,0000,,е равна на 5 ето тук.
Dialogue: 0,0:04:25.40,0:04:27.48,Default,,0000,0000,0000,,Следователно това е равно на 5.
Dialogue: 0,0:04:29.09,0:04:32.68,Default,,0000,0000,0000,,Искаме да намерим \Nпроизводната на Y спрямо t.
Dialogue: 0,0:04:32.68,0:04:36.14,Default,,0000,0000,0000,,Казват ни, че Y = π/4.
Dialogue: 0,0:04:36.14,0:04:40.31,Default,,0000,0000,0000,,Това тук Y, т.е. π/4, така че знаем, \Nче това е π/4.
Dialogue: 0,0:04:41.61,0:04:43.79,Default,,0000,0000,0000,,Нека да видим \Nкакво трябва да намерим.
Dialogue: 0,0:04:43.79,0:04:45.72,Default,,0000,0000,0000,,Тук все още имаме две неизвестни.
Dialogue: 0,0:04:45.72,0:04:47.45,Default,,0000,0000,0000,,Не знаем какво е X и не знаем,
Dialogue: 0,0:04:47.45,0:04:49.58,Default,,0000,0000,0000,,каква е производната на Y спрямо t.
Dialogue: 0,0:04:49.58,0:04:51.10,Default,,0000,0000,0000,,Това е, което трябва да намерим.
Dialogue: 0,0:04:51.10,0:04:52.47,Default,,0000,0000,0000,,Какво ще бъде X?
Dialogue: 0,0:04:52.47,0:04:55.42,Default,,0000,0000,0000,,Какво ще бъде X, когато Y = π/4?
Dialogue: 0,0:04:55.42,0:04:56.44,Default,,0000,0000,0000,,За да намерим това,
Dialogue: 0,0:04:56.44,0:05:00.22,Default,,0000,0000,0000,,може да се върнем към \Nпървоначалното уравнение тук.
Dialogue: 0,0:05:00.22,0:05:03.75,Default,,0000,0000,0000,,Когато Y = π/4,
Dialogue: 0,0:05:03.75,0:05:04.85,Default,,0000,0000,0000,,нека да запиша какво се получава.
Dialogue: 0,0:05:04.85,0:05:07.34,Default,,0000,0000,0000,,Синус от X
Dialogue: 0,0:05:07.40,0:05:10.82,Default,,0000,0000,0000,,плюс косинус от π
Dialogue: 0,0:05:10.82,0:05:13.98,Default,,0000,0000,0000,,върху четири е равно на\Nквадратен корен от две.
Dialogue: 0,0:05:13.98,0:05:17.50,Default,,0000,0000,0000,,За cos(π/4),
Dialogue: 0,0:05:17.60,0:05:20.94,Default,,0000,0000,0000,,се връщаме към единичната окръжност.
Dialogue: 0,0:05:20.94,0:05:22.56,Default,,0000,0000,0000,,Намираме се в първи крадрант.
Dialogue: 0,0:05:22.56,0:05:24.16,Default,,0000,0000,0000,,Ако изберем градуси, този ъгъл е 45 градуса.
Dialogue: 0,0:05:24.16,0:05:28.07,Default,,0000,0000,0000,,Това означава sqrt(2)/2.
Dialogue: 0,0:05:28.07,0:05:30.58,Default,,0000,0000,0000,,Следователно може \Nда извадим sqrt(2)/2
Dialogue: 0,0:05:30.58,0:05:32.85,Default,,0000,0000,0000,,от двете страни, което ще ни даде
Dialogue: 0,0:05:32.85,0:05:37.71,Default,,0000,0000,0000,,sinX е равно на...\Nе, ако извадим sqrt(2)/2
Dialogue: 0,0:05:37.71,0:05:39.47,Default,,0000,0000,0000,,от sqrt(2),
Dialogue: 0,0:05:39.47,0:05:40.76,Default,,0000,0000,0000,,изваждаш половината от него,
Dialogue: 0,0:05:40.76,0:05:42.22,Default,,0000,0000,0000,,така че ще остане половината от него.
Dialogue: 0,0:05:42.22,0:05:44.71,Default,,0000,0000,0000,,Следователно sqrt(2)/2.
Dialogue: 0,0:05:44.71,0:05:48.72,Default,,0000,0000,0000,,Каква стойност се получава за X,\Nкогато извадя този синус от него?
Dialogue: 0,0:05:48.72,0:05:50.77,Default,,0000,0000,0000,,Спомни си, че мислим къде е ъгълът,
Dialogue: 0,0:05:50.77,0:05:52.36,Default,,0000,0000,0000,,като си представяме \Nединичната окръжност.
Dialogue: 0,0:05:52.36,0:05:54.78,Default,,0000,0000,0000,,В този случай X e ъгъл в първи квадрант
Dialogue: 0,0:05:54.78,0:05:56.08,Default,,0000,0000,0000,,ето тук.
Dialogue: 0,0:05:56.08,0:05:59.38,Default,,0000,0000,0000,,Тогава това отново ще бъде π/4.
Dialogue: 0,0:05:59.38,0:06:03.16,Default,,0000,0000,0000,,Това ни казва, че X = π/4,
Dialogue: 0,0:06:03.16,0:06:05.83,Default,,0000,0000,0000,,когато Y = π/4.
Dialogue: 0,0:06:05.83,0:06:09.48,Default,,0000,0000,0000,,И така знаем, че това също е π/4.
Dialogue: 0,0:06:09.48,0:06:11.44,Default,,0000,0000,0000,,Нека да запиша това отново,
Dialogue: 0,0:06:11.44,0:06:13.46,Default,,0000,0000,0000,,защото става малко претрупано.
Dialogue: 0,0:06:13.46,0:06:16.02,Default,,0000,0000,0000,,Знаем, че 5 пъти
Dialogue: 0,0:06:16.42,0:06:21.20,Default,,0000,0000,0000,,по cos(π/4)
Dialogue: 0,0:06:22.22,0:06:23.06,Default,,0000,0000,0000,,минус
Dialogue: 0,0:06:24.27,0:06:26.97,Default,,0000,0000,0000,,dY/dT, т.е. производната на Y спрямо t,
Dialogue: 0,0:06:26.97,0:06:28.77,Default,,0000,0000,0000,,което всъщност искаме да намерим,
Dialogue: 0,0:06:28.77,0:06:32.12,Default,,0000,0000,0000,,умножено по sin(π/4),
Dialogue: 0,0:06:32.56,0:06:35.02,Default,,0000,0000,0000,,е равно на нула.
Dialogue: 0,0:06:35.40,0:06:38.52,Default,,0000,0000,0000,,Равно е на нула и го слагаме в скоби,
Dialogue: 0,0:06:38.52,0:06:40.71,Default,,0000,0000,0000,,за да изясним малко нещата.
Dialogue: 0,0:06:40.71,0:06:43.45,Default,,0000,0000,0000,,Добре, нека да видим.
Dialogue: 0,0:06:43.45,0:06:45.11,Default,,0000,0000,0000,,Сега малко алгебра.
Dialogue: 0,0:06:45.11,0:06:46.93,Default,,0000,0000,0000,,cos(π/4)
Dialogue: 0,0:06:46.93,0:06:49.68,Default,,0000,0000,0000,,вече знаем, че е sqrt(2)/2.
Dialogue: 0,0:06:49.68,0:06:53.84,Default,,0000,0000,0000,,sin(π/4) също е sqrt(2)/2.
Dialogue: 0,0:06:54.75,0:06:57.58,Default,,0000,0000,0000,,Какво става ако разделим двете страни
Dialogue: 0,0:06:57.58,0:07:00.88,Default,,0000,0000,0000,,на уравнението на sqrt(2)/2?
Dialogue: 0,0:07:00.88,0:07:02.24,Default,,0000,0000,0000,,Какво ще ни даде това?
Dialogue: 0,0:07:02.24,0:07:04.55,Default,,0000,0000,0000,,Е, тогава това sqrt(2)/2,
Dialogue: 0,0:07:04.55,0:07:05.88,Default,,0000,0000,0000,,разделено на sqrt(2)/2
Dialogue: 0,0:07:05.88,0:07:08.18,Default,,0000,0000,0000,,Тоест sqrt(2)/2, разделено на sqrt(2)/2
Dialogue: 0,0:07:08.18,0:07:10.04,Default,,0000,0000,0000,,ще бъде единица.
Dialogue: 0,0:07:10.04,0:07:11.28,Default,,0000,0000,0000,,sqrt(2)/2, разделено на
Dialogue: 0,0:07:11.28,0:07:13.23,Default,,0000,0000,0000,,sqrt(2)/2 ще бъде едно.
Dialogue: 0,0:07:13.23,0:07:15.50,Default,,0000,0000,0000,,Тогава нула, разделено на sqrt(2)/2
Dialogue: 0,0:07:15.50,0:07:17.75,Default,,0000,0000,0000,,просто ще бъде нула.
Dialogue: 0,0:07:17.75,0:07:19.84,Default,,0000,0000,0000,,Цялото това нещо се опростява до
Dialogue: 0,0:07:19.84,0:07:23.07,Default,,0000,0000,0000,,пет пъти по едно, което е просто пет
Dialogue: 0,0:07:23.07,0:07:26.63,Default,,0000,0000,0000,,минус производната на Y спрямо t,
Dialogue: 0,0:07:26.63,0:07:29.70,Default,,0000,0000,0000,,цялото равно на нула.
Dialogue: 0,0:07:29.70,0:07:31.08,Default,,0000,0000,0000,,Ето това се получава.
Dialogue: 0,0:07:31.24,0:07:33.64,Default,,0000,0000,0000,,Прибавяш производната на Y спрямо t\Nкъм двете страни
Dialogue: 0,0:07:33.64,0:07:38.20,Default,,0000,0000,0000,,и получаваме, че производната \Nна Y спрямо t е равна на пет,
Dialogue: 0,0:07:38.68,0:07:42.29,Default,,0000,0000,0000,,когато всичко дотук е вярно.
Dialogue: 0,0:07:42.29,0:07:44.66,Default,,0000,0000,0000,,Или когато производната \Nна X спрямо t е пет,
Dialogue: 0,0:07:44.66,0:07:50.16,Default,,0000,0000,0000,,и производната... всъщност при Y = π/4 и производната на Y спрямо t е пет.