Диференцируемите функции X и Y са свързани чрез следното уравнение.
sinX + cosY
е равно на sqrt(2) или корен квадратен от 2.
Казват ни също, че производната на X спрямо t, е равна на 5.
Искат от нас да намерим производната на Y
спрямо t, когато Y = π/4 и
0 < X < π/2.
Като вземем предвид, че ни дават производната
на X спрямо t, а искат от нас да намерим производната на Y спрямо t,
можем да предположим, че и двете функции, X и Y, са функция на t.
Дори може да запишеш това уравнение ето тук.
Може да го запишеш като sinX,
което е функция на t,
плюс cosY,
което също е функция на t.
Цялото е равно на sqrt(2).
Може да те обърка малко,
ако нямаш навика да виждаш X като функция
на трета променлива или Y като функция
на нещо, различно от X.
Но запомни, че X и Y са просто променливи.
Това може да е F(t), а това би могло да е G(t),
вместо X(t) и Y(t).
Това може да ти се струва по-естествено.
Няма нужда да го казваме, но ако искаме да намерим dY/dt,
това, което искаме да направим, е да намерим производната
спрямо t и на двете страни на уравнението.
Нека го направим.
Ще го направя с лявата страна,
т.е. вземам това спрямо t
или производната на това спрямо t.
Търсим производната на това спрямо t.
След това намираме производната
на дясната страна, която е константа, спрямо t.
Нека помислим за всяко едно от тези неща.
Какво е това?
Нека го означа с друг цвят.
Нещото, което правя с този синкав цвят тук,
как може да го запиша?
Намирам производната спрямо t.
Имам синус от нещо, което е функция на t.
Следователно просто ще приложа верижното правило.
Първо ще намеря производната спрямо X на sinX.
Мога да запиша като sin(X(t)),
но просто ще се придържам към sinX тук,
за да е по-ясно.
Тогава ще умножа това по производната
на вътрешната функция спрямо t,
умножено по производната на X спрямо t.
Това може да ти изглежда нелогично,
т.е. как прилагаш верижното правило преди,
когато имахме само X и Y.
Всичко, което се случва обаче, е да намеря производната
на външната функция, на синус от нещо,
спрямо нещото, което в този случай е X.
Тогава търся производната на нещото,
което в случая, е, X спрямо t.
Mоже да направим същото нещо
за втория член ето тук.
Тогава искам да намеря производната спрямо Y,
като може да я наречеш външната функция, на cosY.
Тогава ще умножиш това
по производната на Y спрямо t.
Тогава всичко това на какво ще бъде равно?
Производната на константа спрямо t,
защото sqrt(2) е константа,
няма да се промени, когато t се променя.
Така че производната ѝ, скоростта ѝ на изменение, е нула.
Добре, сега просто трябва да намерим
всички тези неща.
Първо, производната на X спрямо t,
от sinX, е cosX, умножено по производната на X спрямо t.
Ще го запиша ето тук.
Производната на X спрямо t.
Това, което ще получим... тук има плюс...
е производната на Y спрямо t.
Така че плюс производната на Y спрямо t.
Просто разменям реда тук,
така че това минава отпред.
Каква е производната на cosY спрямо Y?
Това е –sinY.
Нека просто поставя sinY тук,
тогава ще имам минус.
Изтривам това и поставям минус тук.
И всичко това ще бъде равно на нула.
Какво може да намерим сега?
Казали са ни, че производната на X спрямо t,
е равна на 5 ето тук.
Следователно това е равно на 5.
Искаме да намерим производната на Y спрямо t.
Казват ни, че Y = π/4.
Това тук Y, т.е. π/4, така че знаем, че това е π/4.
Нека да видим какво трябва да намерим.
Тук все още имаме две неизвестни.
Не знаем какво е X и не знаем,
каква е производната на Y спрямо t.
Това е, което трябва да намерим.
Какво ще бъде X?
Какво ще бъде X, когато Y = π/4?
За да намерим това,
може да се върнем към първоначалното уравнение тук.
Когато Y = π/4,
нека да запиша какво се получава.
Синус от X
плюс косинус от π
върху четири е равно на квадратен корен от две.
За cos(π/4),
се връщаме към единичната окръжност.
Намираме се в първи крадрант.
Ако изберем градуси, този ъгъл е 45 градуса.
Това означава sqrt(2)/2.
Следователно може да извадим sqrt(2)/2
от двете страни, което ще ни даде
sinX е равно на... е, ако извадим sqrt(2)/2
от sqrt(2),
изваждаш половината от него,
така че ще остане половината от него.
Следователно sqrt(2)/2.
Каква стойност се получава за X, когато извадя този синус от него?
Спомни си, че мислим къде е ъгълът,
като си представяме единичната окръжност.
В този случай X e ъгъл в първи квадрант
ето тук.
Тогава това отново ще бъде π/4.
Това ни казва, че X = π/4,
когато Y = π/4.
И така знаем, че това също е π/4.
Нека да запиша това отново,
защото става малко претрупано.
Знаем, че 5 пъти
по cos(π/4)
минус
dY/dT, т.е. производната на Y спрямо t,
което всъщност искаме да намерим,
умножено по sin(π/4),
е равно на нула.
Равно е на нула и го слагаме в скоби,
за да изясним малко нещата.
Добре, нека да видим.
Сега малко алгебра.
cos(π/4)
вече знаем, че е sqrt(2)/2.
sin(π/4) също е sqrt(2)/2.
Какво става ако разделим двете страни
на уравнението на sqrt(2)/2?
Какво ще ни даде това?
Е, тогава това sqrt(2)/2,
разделено на sqrt(2)/2
Тоест sqrt(2)/2, разделено на sqrt(2)/2
ще бъде единица.
sqrt(2)/2, разделено на
sqrt(2)/2 ще бъде едно.
Тогава нула, разделено на sqrt(2)/2
просто ще бъде нула.
Цялото това нещо се опростява до
пет пъти по едно, което е просто пет
минус производната на Y спрямо t,
цялото равно на нула.
Ето това се получава.
Прибавяш производната на Y спрямо t към двете страни
и получаваме, че производната на Y спрямо t е равна на пет,
когато всичко дотук е вярно.
Или когато производната на X спрямо t е пет,
и производната... всъщност при Y = π/4 и производната на Y спрямо t е пет.