0:00:00.094,0:00:05.743
Diferencovatelné funkce x a y[br]splňují následující rovnici:

0:00:05.743,0:00:12.179
sin(x) plus cos(y)[br]se rovná odmocnina ze 2.

0:00:12.179,0:00:17.697
Dále tu máme zadáno,[br]že derivace x podle t se rovná 5.

0:00:17.697,0:00:22.530
Naším úkolem je[br]spočítat derivaci y podle t,

0:00:22.530,0:00:25.029
když se y rovná[br]π lomeno 4

0:00:25.029,0:00:29.479
a 0 je menší než x, které[br]je menší než π lomeno 2.

0:00:29.479,0:00:33.395
Vzhledem k tomu, že máme[br]zadánu hodnotu derivace x podle t

0:00:33.395,0:00:37.134
a naším úkolem je spočítat[br]derivaci y podle t,

0:00:37.134,0:00:42.023
tak můžeme předpokládat,[br]že x a y jsou funkce proměnné t.

0:00:42.023,0:00:45.751
Tuto rovnici bychom[br]si tak mohli přepsat,

0:00:45.751,0:00:52.647
a to jako sinus v bodě x,[br]což je funkce proměnné t,

0:00:52.647,0:00:59.019
plus kosinus v bodě y,[br]což je funkce proměnné t,

0:00:59.019,0:01:02.540
se rovná[br]odmocnina ze 2.

0:01:02.540,0:01:04.102
Tohle vás možná[br]trochu mate,

0:01:04.102,0:01:07.386
protože nejste zvyklí na to, že by[br]x byla funkce nějaké třetí proměnné

0:01:07.386,0:01:09.688
nebo že by y bylo[br]funkcí něčeho jiného než x.

0:01:09.688,0:01:12.030
x a y jsou ale[br]zkrátka proměnné.

0:01:12.030,0:01:17.059
Mohli bychom tu mít f(t)[br]a g(t) namísto x(t) a y(t),

0:01:17.059,0:01:20.077
což by vám možná[br]přišlo přirozenější.

0:01:20.077,0:01:24.140
Asi už je vám jasné, že když[br]chceme spočítat dy lomeno dt,

0:01:24.140,0:01:29.562
tak musíme obě strany[br]této rovnice zderivovat podle t.

0:01:29.562,0:01:30.947
Tak pojďme na to.

0:01:30.947,0:01:32.783
Musíme zderivovat[br]levou stranu,

0:01:32.783,0:01:37.475
což bude derivace[br]tohohle podle t

0:01:37.475,0:01:40.451
plus derivace podle t[br]z tohoto výrazu,

0:01:40.451,0:01:42.608
a pak musíme[br]zderivovat pravou stranu,

0:01:42.608,0:01:46.247
což bude derivace[br]téhle konstanty podle t.

0:01:46.247,0:01:49.284
Podívejme se na tyto[br]derivace jednu po druhé.

0:01:49.284,0:01:50.804
Jak vypadá...

0:01:50.804,0:01:52.584
Použiji na to[br]jinou barvu.

0:01:52.584,0:01:56.202
Jak vypadá tento[br]světle modrý výraz?

0:01:56.202,0:01:57.895
Jak to můžeme[br]přepsat?

0:01:57.895,0:02:04.938
Podle t tu derivujeme sinus[br]něčeho, co je funkce proměnné t,

0:02:04.938,0:02:07.428
takže použijeme pravidlo[br]pro derivaci složené funkce.

0:02:07.428,0:02:16.495
Nejprve spočítáme[br]derivaci podle x ze sin(x).

0:02:16.495,0:02:18.184
Mohl bych napsat[br]sinus v bodě x(t),

0:02:18.184,0:02:21.941
ale pro jednoduchost to[br]stejně jako zde zapíšu jako sin(x).

0:02:21.941,0:02:28.376
Tohle teď musíme vynásobit[br]derivací vnitřní funkce podle t,

0:02:28.376,0:02:32.450
tedy krát[br]derivace x podle t.

0:02:32.450,0:02:34.426
Toto se možná[br]intuitivně rozchází s tím,

0:02:34.426,0:02:38.597
jak jste doteď používali pravidlo pro[br]derivaci složené funkce jen pro x a y,

0:02:38.597,0:02:44.792
ale jen tu derivujeme vnější funkci,[br]tedy sinus něčeho, podle toho něčeho,

0:02:44.792,0:02:46.367
čímž je v[br]tomhle případě x,

0:02:46.367,0:02:51.633
a násobíme to derivací[br]toho něčeho, tedy x, podle t.

0:02:51.633,0:02:56.856
Totéž uděláme pro[br]tento druhý výraz.

0:02:56.856,0:03:07.192
Bude to derivace podle y[br]z vnější funkce, tedy z cos(y),

0:03:07.192,0:03:13.674
kterou musíme následně[br]vynásobit derivací y podle t.

0:03:13.674,0:03:17.457
Tohle celé se pak[br]bude rovnat čemu?

0:03:17.457,0:03:20.342
Derivace podle t[br]z konstanty...

0:03:20.342,0:03:23.542
Odmocnina ze 2 je konstanta,[br]která se při měnícím se t nemění,

0:03:23.542,0:03:27.255
takže její derivace, což je[br]rychlost její změny, se rovná 0.

0:03:28.105,0:03:30.930
Teď musíme spočítat[br]všechno tohle.

0:03:30.930,0:03:36.641
Derivace podle x ze sin(x)[br]se rovná cos(x).

0:03:36.641,0:03:41.747
Tohle násobíme derivací x[br]podle t, což můžu napsat sem.

0:03:41.747,0:03:43.344
Dále tu máme...

0:03:43.344,0:03:44.887
Tady by mělo být[br]znaménko plus.

0:03:44.887,0:03:46.987
...derivaci y podle t,

0:03:46.987,0:03:50.530
takže plus[br]derivace y podle t...

0:03:50.530,0:03:54.117
Jen prohazuji pořadí v tomto[br]součinu tak, aby tohle bylo jako první.

0:03:54.117,0:03:58.002
Čemu se rovná[br]derivace cos(y) podle y?

0:03:58.002,0:04:00.786
Je to −sin(y).

0:04:00.786,0:04:11.030
sin(y) napíšu sem a tady smažu plus[br]a napíšu místo něj minus.

0:04:11.030,0:04:15.682
Tohle celé se[br]má rovnat 0.

0:04:15.682,0:04:18.393
Co z toho teď[br]dokážeme zjistit?

0:04:18.393,0:04:23.115
V zadání máme, že[br]derivace x podle t se rovná 5.

0:04:23.115,0:04:25.308
Tady to máme[br]napsané.

0:04:25.308,0:04:28.768
Tohle se tudíž[br]rovná 5.

0:04:28.768,0:04:32.469
Naším úkolem je spočítat[br]derivaci y podle t.

0:04:32.469,0:04:35.825
Víme, čemu se rovná y,[br]je to π lomeno 4.

0:04:35.825,0:04:37.796
Tady máme, že[br]y se rovná π lomeno 4,

0:04:37.796,0:04:41.406
takže zde bude[br]π lomeno 4.

0:04:41.406,0:04:43.691
Pořád nám[br]zbývá spočítat...

0:04:43.691,0:04:45.095
Stále neznáme[br]dvě věci.

0:04:45.095,0:04:49.140
Nevíme, čemu se rovná x[br]a čemu je rovna derivace y podle t.

0:04:49.140,0:04:50.671
Tohle musíme[br]spočítat.

0:04:50.671,0:04:54.990
Čemu se rovná x,[br]když y je π lomeno 4?

0:04:54.990,0:04:59.749
Abychom to zjistili, vraťme se[br]k naší původní rovnici.

0:04:59.749,0:05:03.224
Když se y rovná[br]π lomeno 4, dostaneme...

0:05:03.224,0:05:04.267
Napíšu to sem.

0:05:04.267,0:05:13.630
...sin(x) plus cos(π lomeno 4)[br]se rovná odmocnina ze 2.

0:05:14.240,0:05:17.131
Kosinus v bodě[br](π lomeno 4)...

0:05:17.131,0:05:20.606
Když si vzpomeneme na[br]naši jednotkovou kružnici,

0:05:20.606,0:05:24.508
tak jde o úhel v prvním kvadrantu,[br]jehož velikost ve stupních je 45 stupňů,

0:05:24.510,0:05:27.927
takže to bude odmocnina[br]ze 2 vydělená 2.

0:05:27.927,0:05:31.649
Odmocninu ze 2 vydělenou 2 teď[br]můžeme odečíst od obou stran rovnice,

0:05:31.649,0:05:35.892
čímž dostaneme,[br]že sin(x) se rovná...

0:05:35.892,0:05:38.709
Když od odmocniny ze 2 odečítáme[br]odmocninu ze 2 vydělenou 2,

0:05:38.709,0:05:41.803
tak odečítáme jednu její polovinu[br]a zbyde nám její druhá polovina.

0:05:41.803,0:05:44.639
Zde tedy bude[br]odmocnina ze 2 vydělená 2.

0:05:44.639,0:05:48.398
Pro které x platí,[br]že sinus z něj...

0:05:48.398,0:05:52.778
Nezapomeňme, že úhel má[br]být v prvním kvadrantu.

0:05:52.778,0:05:55.675
x je v tomto[br]případě úhel.

0:05:55.675,0:05:58.886
Bude to opět[br]π lomeno 4.

0:05:58.886,0:06:02.807
Z tohoto nám tedy plyne,[br]že x se rovná π lomeno 4,

0:06:02.817,0:06:05.409
když je y rovno[br]π lomeno 4.

0:06:05.409,0:06:09.275
Víme tak, že i zde[br]bude π lomeno 4.

0:06:09.275,0:06:13.073
Raději teď tento výraz celý přepíšu,[br]protože už to začíná být nepřehledné.

0:06:13.073,0:06:24.720
Víme, že 5 krát cos(π lomeno 4)[br]minus (dy lomeno dt),

0:06:24.720,0:06:28.298
tedy derivace y podle t,[br]což je to, co chceme spočítat,

0:06:28.298,0:06:36.538
krát sin(π lomeno 4)[br]se rovná 0.

0:06:36.538,0:06:40.714
Ještě sem dopíšu závorky,[br]aby to bylo přehlednější.

0:06:42.164,0:06:44.708
Teď už musíme[br]použít jen trochu algebry.

0:06:44.708,0:06:49.497
Už víme, že cos(π lomeno 4) je[br]odmocnina ze 2 vydělená 2.

0:06:49.497,0:06:54.654
sin(π lomeno 4) je také[br]odmocnina ze 2 vydělená 2.

0:06:54.654,0:07:00.508
Co kdybychom teď obě strany rovnice[br]vydělili odmocninou ze 2 vydělenou 2?

0:07:00.508,0:07:03.399
Co nám vyjde?

0:07:03.399,0:07:09.195
(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno[br](odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.

0:07:09.795,0:07:13.283
(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno[br](odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.

0:07:13.283,0:07:17.475
0 děleno (odmocnina ze 2 vydělená 2)[br]bude pořád rovno 0.

0:07:17.475,0:07:22.852
Rovnice se tak zjednoduší[br]na 5 krát 1, což je 5,

0:07:22.892,0:07:29.398
minus derivace y podle t[br]se rovná 0.

0:07:29.398,0:07:30.342
A už to[br]máme.

0:07:30.342,0:07:33.338
Když totiž k oběma stranám[br]rovnice přičteme derivaci y podle t,

0:07:33.338,0:07:39.305
tak dostaneme, že[br]derivace y podle t se rovná 5.

0:07:39.305,0:07:41.984
Je to za předpokladu, že platí[br]všechny tyto podmínky,

0:07:41.984,0:07:46.226
tedy když je derivace x podle[br]t rovna 5 a když je derivace...

0:07:46.226,0:07:51.339
A když se y rovná[br]π lomeno 4.