1
00:00:00,094 --> 00:00:05,743
Diferencovatelné funkce x a y
splňují následující rovnici:

2
00:00:05,743 --> 00:00:12,179
sin(x) plus cos(y)
se rovná odmocnina ze 2.

3
00:00:12,179 --> 00:00:17,697
Dále tu máme zadáno,
že derivace x podle t se rovná 5.

4
00:00:17,697 --> 00:00:22,530
Naším úkolem je
spočítat derivaci y podle t,

5
00:00:22,530 --> 00:00:25,029
když se y rovná
π lomeno 4

6
00:00:25,029 --> 00:00:29,479
a 0 je menší než x, které
je menší než π lomeno 2.

7
00:00:29,479 --> 00:00:33,395
Vzhledem k tomu, že máme
zadánu hodnotu derivace x podle t

8
00:00:33,395 --> 00:00:37,134
a naším úkolem je spočítat
derivaci y podle t,

9
00:00:37,134 --> 00:00:42,023
tak můžeme předpokládat,
že x a y jsou funkce proměnné t.

10
00:00:42,023 --> 00:00:45,751
Tuto rovnici bychom
si tak mohli přepsat,

11
00:00:45,751 --> 00:00:52,647
a to jako sinus v bodě x,
což je funkce proměnné t,

12
00:00:52,647 --> 00:00:59,019
plus kosinus v bodě y,
což je funkce proměnné t,

13
00:00:59,019 --> 00:01:02,540
se rovná
odmocnina ze 2.

14
00:01:02,540 --> 00:01:04,102
Tohle vás možná
trochu mate,

15
00:01:04,102 --> 00:01:07,386
protože nejste zvyklí na to, že by
x byla funkce nějaké třetí proměnné

16
00:01:07,386 --> 00:01:09,688
nebo že by y bylo
funkcí něčeho jiného než x.

17
00:01:09,688 --> 00:01:12,030
x a y jsou ale
zkrátka proměnné.

18
00:01:12,030 --> 00:01:17,059
Mohli bychom tu mít f(t)
a g(t) namísto x(t) a y(t),

19
00:01:17,059 --> 00:01:20,077
což by vám možná
přišlo přirozenější.

20
00:01:20,077 --> 00:01:24,140
Asi už je vám jasné, že když
chceme spočítat dy lomeno dt,

21
00:01:24,140 --> 00:01:29,562
tak musíme obě strany
této rovnice zderivovat podle t.

22
00:01:29,562 --> 00:01:30,947
Tak pojďme na to.

23
00:01:30,947 --> 00:01:32,783
Musíme zderivovat
levou stranu,

24
00:01:32,783 --> 00:01:37,475
což bude derivace
tohohle podle t

25
00:01:37,475 --> 00:01:40,451
plus derivace podle t
z tohoto výrazu,

26
00:01:40,451 --> 00:01:42,608
a pak musíme
zderivovat pravou stranu,

27
00:01:42,608 --> 00:01:46,247
což bude derivace
téhle konstanty podle t.

28
00:01:46,247 --> 00:01:49,284
Podívejme se na tyto
derivace jednu po druhé.

29
00:01:49,284 --> 00:01:50,804
Jak vypadá...

30
00:01:50,804 --> 00:01:52,584
Použiji na to
jinou barvu.

31
00:01:52,584 --> 00:01:56,202
Jak vypadá tento
světle modrý výraz?

32
00:01:56,202 --> 00:01:57,895
Jak to můžeme
přepsat?

33
00:01:57,895 --> 00:02:04,938
Podle t tu derivujeme sinus
něčeho, co je funkce proměnné t,

34
00:02:04,938 --> 00:02:07,428
takže použijeme pravidlo
pro derivaci složené funkce.

35
00:02:07,428 --> 00:02:16,495
Nejprve spočítáme
derivaci podle x ze sin(x).

36
00:02:16,495 --> 00:02:18,184
Mohl bych napsat
sinus v bodě x(t),

37
00:02:18,184 --> 00:02:21,941
ale pro jednoduchost to
stejně jako zde zapíšu jako sin(x).

38
00:02:21,941 --> 00:02:28,376
Tohle teď musíme vynásobit
derivací vnitřní funkce podle t,

39
00:02:28,376 --> 00:02:32,450
tedy krát
derivace x podle t.

40
00:02:32,450 --> 00:02:34,426
Toto se možná
intuitivně rozchází s tím,

41
00:02:34,426 --> 00:02:38,597
jak jste doteď používali pravidlo pro
derivaci složené funkce jen pro x a y,

42
00:02:38,597 --> 00:02:44,792
ale jen tu derivujeme vnější funkci,
tedy sinus něčeho, podle toho něčeho,

43
00:02:44,792 --> 00:02:46,367
čímž je v
tomhle případě x,

44
00:02:46,367 --> 00:02:51,633
a násobíme to derivací
toho něčeho, tedy x, podle t.

45
00:02:51,633 --> 00:02:56,856
Totéž uděláme pro
tento druhý výraz.

46
00:02:56,856 --> 00:03:07,192
Bude to derivace podle y
z vnější funkce, tedy z cos(y),

47
00:03:07,192 --> 00:03:13,674
kterou musíme následně
vynásobit derivací y podle t.

48
00:03:13,674 --> 00:03:17,457
Tohle celé se pak
bude rovnat čemu?

49
00:03:17,457 --> 00:03:20,342
Derivace podle t
z konstanty...

50
00:03:20,342 --> 00:03:23,542
Odmocnina ze 2 je konstanta,
která se při měnícím se t nemění,

51
00:03:23,542 --> 00:03:27,255
takže její derivace, což je
rychlost její změny, se rovná 0.

52
00:03:28,105 --> 00:03:30,930
Teď musíme spočítat
všechno tohle.

53
00:03:30,930 --> 00:03:36,641
Derivace podle x ze sin(x)
se rovná cos(x).

54
00:03:36,641 --> 00:03:41,747
Tohle násobíme derivací x
podle t, což můžu napsat sem.

55
00:03:41,747 --> 00:03:43,344
Dále tu máme...

56
00:03:43,344 --> 00:03:44,887
Tady by mělo být
znaménko plus.

57
00:03:44,887 --> 00:03:46,987
...derivaci y podle t,

58
00:03:46,987 --> 00:03:50,530
takže plus
derivace y podle t...

59
00:03:50,530 --> 00:03:54,117
Jen prohazuji pořadí v tomto
součinu tak, aby tohle bylo jako první.

60
00:03:54,117 --> 00:03:58,002
Čemu se rovná
derivace cos(y) podle y?

61
00:03:58,002 --> 00:04:00,786
Je to −sin(y).

62
00:04:00,786 --> 00:04:11,030
sin(y) napíšu sem a tady smažu plus
a napíšu místo něj minus.

63
00:04:11,030 --> 00:04:15,682
Tohle celé se
má rovnat 0.

64
00:04:15,682 --> 00:04:18,393
Co z toho teď
dokážeme zjistit?

65
00:04:18,393 --> 00:04:23,115
V zadání máme, že
derivace x podle t se rovná 5.

66
00:04:23,115 --> 00:04:25,308
Tady to máme
napsané.

67
00:04:25,308 --> 00:04:28,768
Tohle se tudíž
rovná 5.

68
00:04:28,768 --> 00:04:32,469
Naším úkolem je spočítat
derivaci y podle t.

69
00:04:32,469 --> 00:04:35,825
Víme, čemu se rovná y,
je to π lomeno 4.

70
00:04:35,825 --> 00:04:37,796
Tady máme, že
y se rovná π lomeno 4,

71
00:04:37,796 --> 00:04:41,406
takže zde bude
π lomeno 4.

72
00:04:41,406 --> 00:04:43,691
Pořád nám
zbývá spočítat...

73
00:04:43,691 --> 00:04:45,095
Stále neznáme
dvě věci.

74
00:04:45,095 --> 00:04:49,140
Nevíme, čemu se rovná x
a čemu je rovna derivace y podle t.

75
00:04:49,140 --> 00:04:50,671
Tohle musíme
spočítat.

76
00:04:50,671 --> 00:04:54,990
Čemu se rovná x,
když y je π lomeno 4?

77
00:04:54,990 --> 00:04:59,749
Abychom to zjistili, vraťme se
k naší původní rovnici.

78
00:04:59,749 --> 00:05:03,224
Když se y rovná
π lomeno 4, dostaneme...

79
00:05:03,224 --> 00:05:04,267
Napíšu to sem.

80
00:05:04,267 --> 00:05:13,630
...sin(x) plus cos(π lomeno 4)
se rovná odmocnina ze 2.

81
00:05:14,240 --> 00:05:17,131
Kosinus v bodě
(π lomeno 4)...

82
00:05:17,131 --> 00:05:20,606
Když si vzpomeneme na
naši jednotkovou kružnici,

83
00:05:20,606 --> 00:05:24,508
tak jde o úhel v prvním kvadrantu,
jehož velikost ve stupních je 45 stupňů,

84
00:05:24,510 --> 00:05:27,927
takže to bude odmocnina
ze 2 vydělená 2.

85
00:05:27,927 --> 00:05:31,649
Odmocninu ze 2 vydělenou 2 teď
můžeme odečíst od obou stran rovnice,

86
00:05:31,649 --> 00:05:35,892
čímž dostaneme,
že sin(x) se rovná...

87
00:05:35,892 --> 00:05:38,709
Když od odmocniny ze 2 odečítáme
odmocninu ze 2 vydělenou 2,

88
00:05:38,709 --> 00:05:41,803
tak odečítáme jednu její polovinu
a zbyde nám její druhá polovina.

89
00:05:41,803 --> 00:05:44,639
Zde tedy bude
odmocnina ze 2 vydělená 2.

90
00:05:44,639 --> 00:05:48,398
Pro které x platí,
že sinus z něj...

91
00:05:48,398 --> 00:05:52,778
Nezapomeňme, že úhel má
být v prvním kvadrantu.

92
00:05:52,778 --> 00:05:55,675
x je v tomto
případě úhel.

93
00:05:55,675 --> 00:05:58,886
Bude to opět
π lomeno 4.

94
00:05:58,886 --> 00:06:02,807
Z tohoto nám tedy plyne,
že x se rovná π lomeno 4,

95
00:06:02,817 --> 00:06:05,409
když je y rovno
π lomeno 4.

96
00:06:05,409 --> 00:06:09,275
Víme tak, že i zde
bude π lomeno 4.

97
00:06:09,275 --> 00:06:13,073
Raději teď tento výraz celý přepíšu,
protože už to začíná být nepřehledné.

98
00:06:13,073 --> 00:06:24,720
Víme, že 5 krát cos(π lomeno 4)
minus (dy lomeno dt),

99
00:06:24,720 --> 00:06:28,298
tedy derivace y podle t,
což je to, co chceme spočítat,

100
00:06:28,298 --> 00:06:36,538
krát sin(π lomeno 4)
se rovná 0.

101
00:06:36,538 --> 00:06:40,714
Ještě sem dopíšu závorky,
aby to bylo přehlednější.

102
00:06:42,164 --> 00:06:44,708
Teď už musíme
použít jen trochu algebry.

103
00:06:44,708 --> 00:06:49,497
Už víme, že cos(π lomeno 4) je
odmocnina ze 2 vydělená 2.

104
00:06:49,497 --> 00:06:54,654
sin(π lomeno 4) je také
odmocnina ze 2 vydělená 2.

105
00:06:54,654 --> 00:07:00,508
Co kdybychom teď obě strany rovnice
vydělili odmocninou ze 2 vydělenou 2?

106
00:07:00,508 --> 00:07:03,399
Co nám vyjde?

107
00:07:03,399 --> 00:07:09,195
(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno
(odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.

108
00:07:09,795 --> 00:07:13,283
(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno
(odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.

109
00:07:13,283 --> 00:07:17,475
0 děleno (odmocnina ze 2 vydělená 2)
bude pořád rovno 0.

110
00:07:17,475 --> 00:07:22,852
Rovnice se tak zjednoduší
na 5 krát 1, což je 5,

111
00:07:22,892 --> 00:07:29,398
minus derivace y podle t
se rovná 0.

112
00:07:29,398 --> 00:07:30,342
A už to
máme.

113
00:07:30,342 --> 00:07:33,338
Když totiž k oběma stranám
rovnice přičteme derivaci y podle t,

114
00:07:33,338 --> 00:07:39,305
tak dostaneme, že
derivace y podle t se rovná 5.

115
00:07:39,305 --> 00:07:41,984
Je to za předpokladu, že platí
všechny tyto podmínky,

116
00:07:41,984 --> 00:07:46,226
tedy když je derivace x podle
t rovna 5 a když je derivace...

117
00:07:46,226 --> 00:07:51,339
A když se y rovná
π lomeno 4.