[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.09,0:00:05.74,Default,,0000,0000,0000,,Diferencovatelné funkce x a y\Nsplňují následující rovnici:
Dialogue: 0,0:00:05.74,0:00:12.18,Default,,0000,0000,0000,,sin(x) plus cos(y)\Nse rovná odmocnina ze 2.
Dialogue: 0,0:00:12.18,0:00:17.70,Default,,0000,0000,0000,,Dále tu máme zadáno,\Nže derivace x podle t se rovná 5.
Dialogue: 0,0:00:17.70,0:00:22.53,Default,,0000,0000,0000,,Naším úkolem je\Nspočítat derivaci y podle t,
Dialogue: 0,0:00:22.53,0:00:25.03,Default,,0000,0000,0000,,když se y rovná\Nπ lomeno 4
Dialogue: 0,0:00:25.03,0:00:29.48,Default,,0000,0000,0000,,a 0 je menší než x, které\Nje menší než π lomeno 2.
Dialogue: 0,0:00:29.48,0:00:33.40,Default,,0000,0000,0000,,Vzhledem k tomu, že máme\Nzadánu hodnotu derivace x podle t
Dialogue: 0,0:00:33.40,0:00:37.13,Default,,0000,0000,0000,,a naším úkolem je spočítat\Nderivaci y podle t,
Dialogue: 0,0:00:37.13,0:00:42.02,Default,,0000,0000,0000,,tak můžeme předpokládat,\Nže x a y jsou funkce proměnné t.
Dialogue: 0,0:00:42.02,0:00:45.75,Default,,0000,0000,0000,,Tuto rovnici bychom\Nsi tak mohli přepsat,
Dialogue: 0,0:00:45.75,0:00:52.65,Default,,0000,0000,0000,,a to jako sinus v bodě x,\Ncož je funkce proměnné t,
Dialogue: 0,0:00:52.65,0:00:59.02,Default,,0000,0000,0000,,plus kosinus v bodě y,\Ncož je funkce proměnné t,
Dialogue: 0,0:00:59.02,0:01:02.54,Default,,0000,0000,0000,,se rovná\Nodmocnina ze 2.
Dialogue: 0,0:01:02.54,0:01:04.10,Default,,0000,0000,0000,,Tohle vás možná\Ntrochu mate,
Dialogue: 0,0:01:04.10,0:01:07.39,Default,,0000,0000,0000,,protože nejste zvyklí na to, že by\Nx byla funkce nějaké třetí proměnné
Dialogue: 0,0:01:07.39,0:01:09.69,Default,,0000,0000,0000,,nebo že by y bylo\Nfunkcí něčeho jiného než x.
Dialogue: 0,0:01:09.69,0:01:12.03,Default,,0000,0000,0000,,x a y jsou ale\Nzkrátka proměnné.
Dialogue: 0,0:01:12.03,0:01:17.06,Default,,0000,0000,0000,,Mohli bychom tu mít f(t)\Na g(t) namísto x(t) a y(t),
Dialogue: 0,0:01:17.06,0:01:20.08,Default,,0000,0000,0000,,což by vám možná\Npřišlo přirozenější.
Dialogue: 0,0:01:20.08,0:01:24.14,Default,,0000,0000,0000,,Asi už je vám jasné, že když\Nchceme spočítat dy lomeno dt,
Dialogue: 0,0:01:24.14,0:01:29.56,Default,,0000,0000,0000,,tak musíme obě strany\Ntéto rovnice zderivovat podle t.
Dialogue: 0,0:01:29.56,0:01:30.95,Default,,0000,0000,0000,,Tak pojďme na to.
Dialogue: 0,0:01:30.95,0:01:32.78,Default,,0000,0000,0000,,Musíme zderivovat\Nlevou stranu,
Dialogue: 0,0:01:32.78,0:01:37.48,Default,,0000,0000,0000,,což bude derivace\Ntohohle podle t
Dialogue: 0,0:01:37.48,0:01:40.45,Default,,0000,0000,0000,,plus derivace podle t\Nz tohoto výrazu,
Dialogue: 0,0:01:40.45,0:01:42.61,Default,,0000,0000,0000,,a pak musíme\Nzderivovat pravou stranu,
Dialogue: 0,0:01:42.61,0:01:46.25,Default,,0000,0000,0000,,což bude derivace\Ntéhle konstanty podle t.
Dialogue: 0,0:01:46.25,0:01:49.28,Default,,0000,0000,0000,,Podívejme se na tyto\Nderivace jednu po druhé.
Dialogue: 0,0:01:49.28,0:01:50.80,Default,,0000,0000,0000,,Jak vypadá...
Dialogue: 0,0:01:50.80,0:01:52.58,Default,,0000,0000,0000,,Použiji na to\Njinou barvu.
Dialogue: 0,0:01:52.58,0:01:56.20,Default,,0000,0000,0000,,Jak vypadá tento\Nsvětle modrý výraz?
Dialogue: 0,0:01:56.20,0:01:57.90,Default,,0000,0000,0000,,Jak to můžeme\Npřepsat?
Dialogue: 0,0:01:57.90,0:02:04.94,Default,,0000,0000,0000,,Podle t tu derivujeme sinus\Nněčeho, co je funkce proměnné t,
Dialogue: 0,0:02:04.94,0:02:07.43,Default,,0000,0000,0000,,takže použijeme pravidlo\Npro derivaci složené funkce.
Dialogue: 0,0:02:07.43,0:02:16.50,Default,,0000,0000,0000,,Nejprve spočítáme\Nderivaci podle x ze sin(x).
Dialogue: 0,0:02:16.50,0:02:18.18,Default,,0000,0000,0000,,Mohl bych napsat\Nsinus v bodě x(t),
Dialogue: 0,0:02:18.18,0:02:21.94,Default,,0000,0000,0000,,ale pro jednoduchost to\Nstejně jako zde zapíšu jako sin(x).
Dialogue: 0,0:02:21.94,0:02:28.38,Default,,0000,0000,0000,,Tohle teď musíme vynásobit\Nderivací vnitřní funkce podle t,
Dialogue: 0,0:02:28.38,0:02:32.45,Default,,0000,0000,0000,,tedy krát\Nderivace x podle t.
Dialogue: 0,0:02:32.45,0:02:34.43,Default,,0000,0000,0000,,Toto se možná\Nintuitivně rozchází s tím,
Dialogue: 0,0:02:34.43,0:02:38.60,Default,,0000,0000,0000,,jak jste doteď používali pravidlo pro\Nderivaci složené funkce jen pro x a y,
Dialogue: 0,0:02:38.60,0:02:44.79,Default,,0000,0000,0000,,ale jen tu derivujeme vnější funkci,\Ntedy sinus něčeho, podle toho něčeho,
Dialogue: 0,0:02:44.79,0:02:46.37,Default,,0000,0000,0000,,čímž je v\Ntomhle případě x,
Dialogue: 0,0:02:46.37,0:02:51.63,Default,,0000,0000,0000,,a násobíme to derivací\Ntoho něčeho, tedy x, podle t.
Dialogue: 0,0:02:51.63,0:02:56.86,Default,,0000,0000,0000,,Totéž uděláme pro\Ntento druhý výraz.
Dialogue: 0,0:02:56.86,0:03:07.19,Default,,0000,0000,0000,,Bude to derivace podle y\Nz vnější funkce, tedy z cos(y),
Dialogue: 0,0:03:07.19,0:03:13.67,Default,,0000,0000,0000,,kterou musíme následně\Nvynásobit derivací y podle t.
Dialogue: 0,0:03:13.67,0:03:17.46,Default,,0000,0000,0000,,Tohle celé se pak\Nbude rovnat čemu?
Dialogue: 0,0:03:17.46,0:03:20.34,Default,,0000,0000,0000,,Derivace podle t\Nz konstanty...
Dialogue: 0,0:03:20.34,0:03:23.54,Default,,0000,0000,0000,,Odmocnina ze 2 je konstanta,\Nkterá se při měnícím se t nemění,
Dialogue: 0,0:03:23.54,0:03:27.26,Default,,0000,0000,0000,,takže její derivace, což je\Nrychlost její změny, se rovná 0.
Dialogue: 0,0:03:28.10,0:03:30.93,Default,,0000,0000,0000,,Teď musíme spočítat\Nvšechno tohle.
Dialogue: 0,0:03:30.93,0:03:36.64,Default,,0000,0000,0000,,Derivace podle x ze sin(x)\Nse rovná cos(x).
Dialogue: 0,0:03:36.64,0:03:41.75,Default,,0000,0000,0000,,Tohle násobíme derivací x\Npodle t, což můžu napsat sem.
Dialogue: 0,0:03:41.75,0:03:43.34,Default,,0000,0000,0000,,Dále tu máme...
Dialogue: 0,0:03:43.34,0:03:44.89,Default,,0000,0000,0000,,Tady by mělo být\Nznaménko plus.
Dialogue: 0,0:03:44.89,0:03:46.99,Default,,0000,0000,0000,,...derivaci y podle t,
Dialogue: 0,0:03:46.99,0:03:50.53,Default,,0000,0000,0000,,takže plus\Nderivace y podle t...
Dialogue: 0,0:03:50.53,0:03:54.12,Default,,0000,0000,0000,,Jen prohazuji pořadí v tomto\Nsoučinu tak, aby tohle bylo jako první.
Dialogue: 0,0:03:54.12,0:03:58.00,Default,,0000,0000,0000,,Čemu se rovná\Nderivace cos(y) podle y?
Dialogue: 0,0:03:58.00,0:04:00.79,Default,,0000,0000,0000,,Je to −sin(y).
Dialogue: 0,0:04:00.79,0:04:11.03,Default,,0000,0000,0000,,sin(y) napíšu sem a tady smažu plus\Na napíšu místo něj minus.
Dialogue: 0,0:04:11.03,0:04:15.68,Default,,0000,0000,0000,,Tohle celé se\Nmá rovnat 0.
Dialogue: 0,0:04:15.68,0:04:18.39,Default,,0000,0000,0000,,Co z toho teď\Ndokážeme zjistit?
Dialogue: 0,0:04:18.39,0:04:23.12,Default,,0000,0000,0000,,V zadání máme, že\Nderivace x podle t se rovná 5.
Dialogue: 0,0:04:23.12,0:04:25.31,Default,,0000,0000,0000,,Tady to máme\Nnapsané.
Dialogue: 0,0:04:25.31,0:04:28.77,Default,,0000,0000,0000,,Tohle se tudíž\Nrovná 5.
Dialogue: 0,0:04:28.77,0:04:32.47,Default,,0000,0000,0000,,Naším úkolem je spočítat\Nderivaci y podle t.
Dialogue: 0,0:04:32.47,0:04:35.82,Default,,0000,0000,0000,,Víme, čemu se rovná y,\Nje to π lomeno 4.
Dialogue: 0,0:04:35.82,0:04:37.80,Default,,0000,0000,0000,,Tady máme, že\Ny se rovná π lomeno 4,
Dialogue: 0,0:04:37.80,0:04:41.41,Default,,0000,0000,0000,,takže zde bude\Nπ lomeno 4.
Dialogue: 0,0:04:41.41,0:04:43.69,Default,,0000,0000,0000,,Pořád nám\Nzbývá spočítat...
Dialogue: 0,0:04:43.69,0:04:45.10,Default,,0000,0000,0000,,Stále neznáme\Ndvě věci.
Dialogue: 0,0:04:45.10,0:04:49.14,Default,,0000,0000,0000,,Nevíme, čemu se rovná x\Na čemu je rovna derivace y podle t.
Dialogue: 0,0:04:49.14,0:04:50.67,Default,,0000,0000,0000,,Tohle musíme\Nspočítat.
Dialogue: 0,0:04:50.67,0:04:54.99,Default,,0000,0000,0000,,Čemu se rovná x,\Nkdyž y je π lomeno 4?
Dialogue: 0,0:04:54.99,0:04:59.75,Default,,0000,0000,0000,,Abychom to zjistili, vraťme se\Nk naší původní rovnici.
Dialogue: 0,0:04:59.75,0:05:03.22,Default,,0000,0000,0000,,Když se y rovná\Nπ lomeno 4, dostaneme...
Dialogue: 0,0:05:03.22,0:05:04.27,Default,,0000,0000,0000,,Napíšu to sem.
Dialogue: 0,0:05:04.27,0:05:13.63,Default,,0000,0000,0000,,...sin(x) plus cos(π lomeno 4)\Nse rovná odmocnina ze 2.
Dialogue: 0,0:05:14.24,0:05:17.13,Default,,0000,0000,0000,,Kosinus v bodě\N(π lomeno 4)...
Dialogue: 0,0:05:17.13,0:05:20.61,Default,,0000,0000,0000,,Když si vzpomeneme na\Nnaši jednotkovou kružnici,
Dialogue: 0,0:05:20.61,0:05:24.51,Default,,0000,0000,0000,,tak jde o úhel v prvním kvadrantu,\Njehož velikost ve stupních je 45 stupňů,
Dialogue: 0,0:05:24.51,0:05:27.93,Default,,0000,0000,0000,,takže to bude odmocnina\Nze 2 vydělená 2.
Dialogue: 0,0:05:27.93,0:05:31.65,Default,,0000,0000,0000,,Odmocninu ze 2 vydělenou 2 teď\Nmůžeme odečíst od obou stran rovnice,
Dialogue: 0,0:05:31.65,0:05:35.89,Default,,0000,0000,0000,,čímž dostaneme,\Nže sin(x) se rovná...
Dialogue: 0,0:05:35.89,0:05:38.71,Default,,0000,0000,0000,,Když od odmocniny ze 2 odečítáme\Nodmocninu ze 2 vydělenou 2,
Dialogue: 0,0:05:38.71,0:05:41.80,Default,,0000,0000,0000,,tak odečítáme jednu její polovinu\Na zbyde nám její druhá polovina.
Dialogue: 0,0:05:41.80,0:05:44.64,Default,,0000,0000,0000,,Zde tedy bude\Nodmocnina ze 2 vydělená 2.
Dialogue: 0,0:05:44.64,0:05:48.40,Default,,0000,0000,0000,,Pro které x platí,\Nže sinus z něj...
Dialogue: 0,0:05:48.40,0:05:52.78,Default,,0000,0000,0000,,Nezapomeňme, že úhel má\Nbýt v prvním kvadrantu.
Dialogue: 0,0:05:52.78,0:05:55.68,Default,,0000,0000,0000,,x je v tomto\Npřípadě úhel.
Dialogue: 0,0:05:55.68,0:05:58.89,Default,,0000,0000,0000,,Bude to opět\Nπ lomeno 4.
Dialogue: 0,0:05:58.89,0:06:02.81,Default,,0000,0000,0000,,Z tohoto nám tedy plyne,\Nže x se rovná π lomeno 4,
Dialogue: 0,0:06:02.82,0:06:05.41,Default,,0000,0000,0000,,když je y rovno\Nπ lomeno 4.
Dialogue: 0,0:06:05.41,0:06:09.28,Default,,0000,0000,0000,,Víme tak, že i zde\Nbude π lomeno 4.
Dialogue: 0,0:06:09.28,0:06:13.07,Default,,0000,0000,0000,,Raději teď tento výraz celý přepíšu,\Nprotože už to začíná být nepřehledné.
Dialogue: 0,0:06:13.07,0:06:24.72,Default,,0000,0000,0000,,Víme, že 5 krát cos(π lomeno 4)\Nminus (dy lomeno dt),
Dialogue: 0,0:06:24.72,0:06:28.30,Default,,0000,0000,0000,,tedy derivace y podle t,\Ncož je to, co chceme spočítat,
Dialogue: 0,0:06:28.30,0:06:36.54,Default,,0000,0000,0000,,krát sin(π lomeno 4)\Nse rovná 0.
Dialogue: 0,0:06:36.54,0:06:40.71,Default,,0000,0000,0000,,Ještě sem dopíšu závorky,\Naby to bylo přehlednější.
Dialogue: 0,0:06:42.16,0:06:44.71,Default,,0000,0000,0000,,Teď už musíme\Npoužít jen trochu algebry.
Dialogue: 0,0:06:44.71,0:06:49.50,Default,,0000,0000,0000,,Už víme, že cos(π lomeno 4) je\Nodmocnina ze 2 vydělená 2.
Dialogue: 0,0:06:49.50,0:06:54.65,Default,,0000,0000,0000,,sin(π lomeno 4) je také\Nodmocnina ze 2 vydělená 2.
Dialogue: 0,0:06:54.65,0:07:00.51,Default,,0000,0000,0000,,Co kdybychom teď obě strany rovnice\Nvydělili odmocninou ze 2 vydělenou 2?
Dialogue: 0,0:07:00.51,0:07:03.40,Default,,0000,0000,0000,,Co nám vyjde?
Dialogue: 0,0:07:03.40,0:07:09.20,Default,,0000,0000,0000,,(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno\N(odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.
Dialogue: 0,0:07:09.80,0:07:13.28,Default,,0000,0000,0000,,(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno\N(odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.
Dialogue: 0,0:07:13.28,0:07:17.48,Default,,0000,0000,0000,,0 děleno (odmocnina ze 2 vydělená 2)\Nbude pořád rovno 0.
Dialogue: 0,0:07:17.48,0:07:22.85,Default,,0000,0000,0000,,Rovnice se tak zjednoduší\Nna 5 krát 1, což je 5,
Dialogue: 0,0:07:22.89,0:07:29.40,Default,,0000,0000,0000,,minus derivace y podle t\Nse rovná 0.
Dialogue: 0,0:07:29.40,0:07:30.34,Default,,0000,0000,0000,,A už to\Nmáme.
Dialogue: 0,0:07:30.34,0:07:33.34,Default,,0000,0000,0000,,Když totiž k oběma stranám\Nrovnice přičteme derivaci y podle t,
Dialogue: 0,0:07:33.34,0:07:39.30,Default,,0000,0000,0000,,tak dostaneme, že\Nderivace y podle t se rovná 5.
Dialogue: 0,0:07:39.30,0:07:41.98,Default,,0000,0000,0000,,Je to za předpokladu, že platí\Nvšechny tyto podmínky,
Dialogue: 0,0:07:41.98,0:07:46.23,Default,,0000,0000,0000,,tedy když je derivace x podle\Nt rovna 5 a když je derivace...
Dialogue: 0,0:07:46.23,0:07:51.34,Default,,0000,0000,0000,,A když se y rovná\Nπ lomeno 4.