WEBVTT

00:00:00.094 --> 00:00:05.743
Diferencovatelné funkce x a y
splňují následující rovnici:

00:00:05.743 --> 00:00:12.179
sin(x) plus cos(y)
se rovná odmocnina ze 2.

00:00:12.179 --> 00:00:17.697
Dále tu máme zadáno,
že derivace x podle t se rovná 5.

00:00:17.697 --> 00:00:22.530
Naším úkolem je
spočítat derivaci y podle t,

00:00:22.530 --> 00:00:25.029
když se y rovná
π lomeno 4

00:00:25.029 --> 00:00:29.479
a 0 je menší než x, které
je menší než π lomeno 2.

00:00:29.479 --> 00:00:33.395
Vzhledem k tomu, že máme
zadánu hodnotu derivace x podle t

00:00:33.395 --> 00:00:37.134
a naším úkolem je spočítat
derivaci y podle t,

00:00:37.134 --> 00:00:42.023
tak můžeme předpokládat,
že x a y jsou funkce proměnné t.

00:00:42.023 --> 00:00:45.751
Tuto rovnici bychom
si tak mohli přepsat,

00:00:45.751 --> 00:00:52.647
a to jako sinus v bodě x,
což je funkce proměnné t,

00:00:52.647 --> 00:00:59.019
plus kosinus v bodě y,
což je funkce proměnné t,

00:00:59.019 --> 00:01:02.540
se rovná
odmocnina ze 2.

00:01:02.540 --> 00:01:04.102
Tohle vás možná
trochu mate,

00:01:04.102 --> 00:01:07.386
protože nejste zvyklí na to, že by
x byla funkce nějaké třetí proměnné

00:01:07.386 --> 00:01:09.688
nebo že by y bylo
funkcí něčeho jiného než x.

00:01:09.688 --> 00:01:12.030
x a y jsou ale
zkrátka proměnné.

00:01:12.030 --> 00:01:17.059
Mohli bychom tu mít f(t)
a g(t) namísto x(t) a y(t),

00:01:17.059 --> 00:01:20.077
což by vám možná
přišlo přirozenější.

00:01:20.077 --> 00:01:24.140
Asi už je vám jasné, že když
chceme spočítat dy lomeno dt,

00:01:24.140 --> 00:01:29.562
tak musíme obě strany
této rovnice zderivovat podle t.

00:01:29.562 --> 00:01:30.947
Tak pojďme na to.

00:01:30.947 --> 00:01:32.783
Musíme zderivovat
levou stranu,

00:01:32.783 --> 00:01:37.475
což bude derivace
tohohle podle t

00:01:37.475 --> 00:01:40.451
plus derivace podle t
z tohoto výrazu,

00:01:40.451 --> 00:01:42.608
a pak musíme
zderivovat pravou stranu,

00:01:42.608 --> 00:01:46.247
což bude derivace
téhle konstanty podle t.

00:01:46.247 --> 00:01:49.284
Podívejme se na tyto
derivace jednu po druhé.

00:01:49.284 --> 00:01:50.804
Jak vypadá...

00:01:50.804 --> 00:01:52.584
Použiji na to
jinou barvu.

00:01:52.584 --> 00:01:56.202
Jak vypadá tento
světle modrý výraz?

00:01:56.202 --> 00:01:57.895
Jak to můžeme
přepsat?

00:01:57.895 --> 00:02:04.938
Podle t tu derivujeme sinus
něčeho, co je funkce proměnné t,

00:02:04.938 --> 00:02:07.428
takže použijeme pravidlo
pro derivaci složené funkce.

00:02:07.428 --> 00:02:16.495
Nejprve spočítáme
derivaci podle x ze sin(x).

00:02:16.495 --> 00:02:18.184
Mohl bych napsat
sinus v bodě x(t),

00:02:18.184 --> 00:02:21.941
ale pro jednoduchost to
stejně jako zde zapíšu jako sin(x).

00:02:21.941 --> 00:02:28.376
Tohle teď musíme vynásobit
derivací vnitřní funkce podle t,

00:02:28.376 --> 00:02:32.450
tedy krát
derivace x podle t.

00:02:32.450 --> 00:02:34.426
Toto se možná
intuitivně rozchází s tím,

00:02:34.426 --> 00:02:38.597
jak jste doteď používali pravidlo pro
derivaci složené funkce jen pro x a y,

00:02:38.597 --> 00:02:44.792
ale jen tu derivujeme vnější funkci,
tedy sinus něčeho, podle toho něčeho,

00:02:44.792 --> 00:02:46.367
čímž je v
tomhle případě x,

00:02:46.367 --> 00:02:51.633
a násobíme to derivací
toho něčeho, tedy x, podle t.

00:02:51.633 --> 00:02:56.856
Totéž uděláme pro
tento druhý výraz.

00:02:56.856 --> 00:03:07.192
Bude to derivace podle y
z vnější funkce, tedy z cos(y),

00:03:07.192 --> 00:03:13.674
kterou musíme následně
vynásobit derivací y podle t.

00:03:13.674 --> 00:03:17.457
Tohle celé se pak
bude rovnat čemu?

00:03:17.457 --> 00:03:20.342
Derivace podle t
z konstanty...

00:03:20.342 --> 00:03:23.542
Odmocnina ze 2 je konstanta,
která se při měnícím se t nemění,

00:03:23.542 --> 00:03:27.255
takže její derivace, což je
rychlost její změny, se rovná 0.

00:03:28.105 --> 00:03:30.930
Teď musíme spočítat
všechno tohle.

00:03:30.930 --> 00:03:36.641
Derivace podle x ze sin(x)
se rovná cos(x).

00:03:36.641 --> 00:03:41.747
Tohle násobíme derivací x
podle t, což můžu napsat sem.

00:03:41.747 --> 00:03:43.344
Dále tu máme...

00:03:43.344 --> 00:03:44.887
Tady by mělo být
znaménko plus.

00:03:44.887 --> 00:03:46.987
...derivaci y podle t,

00:03:46.987 --> 00:03:50.530
takže plus
derivace y podle t...

00:03:50.530 --> 00:03:54.117
Jen prohazuji pořadí v tomto
součinu tak, aby tohle bylo jako první.

00:03:54.117 --> 00:03:58.002
Čemu se rovná
derivace cos(y) podle y?

00:03:58.002 --> 00:04:00.786
Je to −sin(y).

00:04:00.786 --> 00:04:11.030
sin(y) napíšu sem a tady smažu plus
a napíšu místo něj minus.

00:04:11.030 --> 00:04:15.682
Tohle celé se
má rovnat 0.

00:04:15.682 --> 00:04:18.393
Co z toho teď
dokážeme zjistit?

00:04:18.393 --> 00:04:23.115
V zadání máme, že
derivace x podle t se rovná 5.

00:04:23.115 --> 00:04:25.308
Tady to máme
napsané.

00:04:25.308 --> 00:04:28.768
Tohle se tudíž
rovná 5.

00:04:28.768 --> 00:04:32.469
Naším úkolem je spočítat
derivaci y podle t.

00:04:32.469 --> 00:04:35.825
Víme, čemu se rovná y,
je to π lomeno 4.

00:04:35.825 --> 00:04:37.796
Tady máme, že
y se rovná π lomeno 4,

00:04:37.796 --> 00:04:41.406
takže zde bude
π lomeno 4.

00:04:41.406 --> 00:04:43.691
Pořád nám
zbývá spočítat...

00:04:43.691 --> 00:04:45.095
Stále neznáme
dvě věci.

00:04:45.095 --> 00:04:49.140
Nevíme, čemu se rovná x
a čemu je rovna derivace y podle t.

00:04:49.140 --> 00:04:50.671
Tohle musíme
spočítat.

00:04:50.671 --> 00:04:54.990
Čemu se rovná x,
když y je π lomeno 4?

00:04:54.990 --> 00:04:59.749
Abychom to zjistili, vraťme se
k naší původní rovnici.

00:04:59.749 --> 00:05:03.224
Když se y rovná
π lomeno 4, dostaneme...

00:05:03.224 --> 00:05:04.267
Napíšu to sem.

00:05:04.267 --> 00:05:13.630
...sin(x) plus cos(π lomeno 4)
se rovná odmocnina ze 2.

00:05:14.240 --> 00:05:17.131
Kosinus v bodě
(π lomeno 4)...

00:05:17.131 --> 00:05:20.606
Když si vzpomeneme na
naši jednotkovou kružnici,

00:05:20.606 --> 00:05:24.508
tak jde o úhel v prvním kvadrantu,
jehož velikost ve stupních je 45 stupňů,

00:05:24.510 --> 00:05:27.927
takže to bude odmocnina
ze 2 vydělená 2.

00:05:27.927 --> 00:05:31.649
Odmocninu ze 2 vydělenou 2 teď
můžeme odečíst od obou stran rovnice,

00:05:31.649 --> 00:05:35.892
čímž dostaneme,
že sin(x) se rovná...

00:05:35.892 --> 00:05:38.709
Když od odmocniny ze 2 odečítáme
odmocninu ze 2 vydělenou 2,

00:05:38.709 --> 00:05:41.803
tak odečítáme jednu její polovinu
a zbyde nám její druhá polovina.

00:05:41.803 --> 00:05:44.639
Zde tedy bude
odmocnina ze 2 vydělená 2.

00:05:44.639 --> 00:05:48.398
Pro které x platí,
že sinus z něj...

00:05:48.398 --> 00:05:52.778
Nezapomeňme, že úhel má
být v prvním kvadrantu.

00:05:52.778 --> 00:05:55.675
x je v tomto
případě úhel.

00:05:55.675 --> 00:05:58.886
Bude to opět
π lomeno 4.

00:05:58.886 --> 00:06:02.807
Z tohoto nám tedy plyne,
že x se rovná π lomeno 4,

00:06:02.817 --> 00:06:05.409
když je y rovno
π lomeno 4.

00:06:05.409 --> 00:06:09.275
Víme tak, že i zde
bude π lomeno 4.

00:06:09.275 --> 00:06:13.073
Raději teď tento výraz celý přepíšu,
protože už to začíná být nepřehledné.

00:06:13.073 --> 00:06:24.720
Víme, že 5 krát cos(π lomeno 4)
minus (dy lomeno dt),

00:06:24.720 --> 00:06:28.298
tedy derivace y podle t,
což je to, co chceme spočítat,

00:06:28.298 --> 00:06:36.538
krát sin(π lomeno 4)
se rovná 0.

00:06:36.538 --> 00:06:40.714
Ještě sem dopíšu závorky,
aby to bylo přehlednější.

00:06:42.164 --> 00:06:44.708
Teď už musíme
použít jen trochu algebry.

00:06:44.708 --> 00:06:49.497
Už víme, že cos(π lomeno 4) je
odmocnina ze 2 vydělená 2.

00:06:49.497 --> 00:06:54.654
sin(π lomeno 4) je také
odmocnina ze 2 vydělená 2.

00:06:54.654 --> 00:07:00.508
Co kdybychom teď obě strany rovnice
vydělili odmocninou ze 2 vydělenou 2?

00:07:00.508 --> 00:07:03.399
Co nám vyjde?

00:07:03.399 --> 00:07:09.195
(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno
(odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.

00:07:09.795 --> 00:07:13.283
(Odmocnina ze 2 vydělená 2) děleno
(odmocnina ze 2 vydělená 2) se rovná 1.

00:07:13.283 --> 00:07:17.475
0 děleno (odmocnina ze 2 vydělená 2)
bude pořád rovno 0.

00:07:17.475 --> 00:07:22.852
Rovnice se tak zjednoduší
na 5 krát 1, což je 5,

00:07:22.892 --> 00:07:29.398
minus derivace y podle t
se rovná 0.

00:07:29.398 --> 00:07:30.342
A už to
máme.

00:07:30.342 --> 00:07:33.338
Když totiž k oběma stranám
rovnice přičteme derivaci y podle t,

00:07:33.338 --> 00:07:39.305
tak dostaneme, že
derivace y podle t se rovná 5.

00:07:39.305 --> 00:07:41.984
Je to za předpokladu, že platí
všechny tyto podmínky,

00:07:41.984 --> 00:07:46.226
tedy když je derivace x podle
t rovna 5 a když je derivace...

00:07:46.226 --> 00:07:51.339
A když se y rovná
π lomeno 4.