미분가능한 함수 x와 y는
다음 방정식으로 연관되어 있습니다
sin(x) + cos(y) = √(2)입니다
또한 t에 대한 x의 도함수는 5라고 합니다
t에 대한 y의 도함수를
y = 𝜋/4이고 0 < x < 𝜋/2일 때
구하라고 합니다
t에 대한 x의 도함수가 주어졌고
t에 대한 y의 도함수를 찾아야 하므로
x와 y 모두 t에 대한 함수라고 가정해도 좋습니다
이 방정식을 다시 쓸 수도 있습니다
이걸 다시 쓰면
t의 함수인 x(t)의 sin과
t의 함수인 y(t)의 cos이
√(2)라고 할 수 있습니다
헷갈릴 수도 있습니다
x가 세 번째 변수에 대한 함수이거나
y가 x가 아닌 것의 함수인게 익숙치 않을 수 있습니다
하지만 x와 y는 단지 변수일 뿐입니다
이건 f(t), 이건 g(t)일 수도 있습니다
x(t)와 y(t) 대신에요
그러면 더 자연스럽게 느껴질 수도 있습니다
어찌 되었든 dy/dt를 찾으려면
양변의 t에 대한 도함수를 구해야 합니다
그럼 해보죠
왼쪽 변을 해 봅시다
이것의 t에 대한 도함수를 구하고
이것의 t에 대한 도함수를 구합니다
그리고 오른쪽에는
이 상수의 t에 대한 도함수를 구합니다
각각에 대해 생각해 봅시다
이것은 무엇일까요?
새로운 색으로 해보죠
아쿠아 색으로 표시한 이것 말이죠
이걸 어떻게 쓸 수 있을까요?
t에 대한 도함수를 구하는 데
어떤 것의 sin이고 어떤 것은 t의 함수입니다
연쇄법칙을 적용하면 됩니다
먼저 x에 대한 sin(x)의 도함수를 구합니다
sin(x(t))라 할 수 있지만
편의를 위해 sin(x)를 사용하겠습니다
그리고 안에 있는 함수의 t에 대한 도함수를 곱해 줍니다
x와 y만 다루었던
이전의 연쇄법칙 예제를 보다 보면
약간 직관적이지 않을 수 있지만
어떤 것에 대해 바깥인 sin의 도함수를 구하고
이 경우엔 그것이 x이고
이 경우엔 x인 어떤 것의
t에 대한 도함수를 구하는 것입니다
여기도 똑같이 할 수 있습니다
바깥 함수 cos(y)의 y에 대한 도함수를 구하고
t에 대한 y의 도함수를 곱해 줍니다
이 모든 것은 무엇과 같을까요?
상수의 t에 대한 도함수는
√(2)는 상수이죠
t가 변함에 따라 변하지 않습니다
따라서 변화율은 0입니다
좋습니다
이제 이 모두를 구하기만 하면 됩니다
먼저 sin(x)의 x에 대한 도함수는 cos(x)입니다
거기에 dx/dt를 곱해 줍니다
여기를 더해 주고요
dy/dt에
이게 앞으로 오도록 단지 위치를 바꾼 것 뿐입니다
y에 대한 cos(y)의 도함수는 무엇인가요?
-sin(y)입니다
이걸 지우고 음수 부호를 넣습니다
이건 모두 0과 같습니다
그럼 무엇을 찾을 수 있나요?
t에 대한 x의 도함수는 5라고 했습니다
여기서 말해주죠
따라서 이건 5입니다
t에 대한 y의 도함수를 찾아야 합니다
y = 𝛑/4라고 했습니다
이것은 𝛑/4입니다
아직 두 개의 미지수가 남아 있습니다
아직 x와 t에 대한 y의 도함수를 알지 못합니다
그걸 찾아야 합니다
x는 무엇일까요?
y가 𝜋/4일 때 x는 무엇일까요?
그것을 구하려면
맨 처음 방정식을 보아야 합니다
y가 𝜋/4라면
sin(x) + cos(𝜋/4) = √(2)입니다
cos(𝜋/4)는
단위원을 떠올렸을 때
제1사분면에 있습니다
육십분법으로는 45°이고
√(2)/2입니다
양변에서 √(2)/2를 빼면
sin(x)는
√(2)에서 √(2)/2를 빼면
반이 없어진 것이니
반이 남습니다
따라서 √(2)/2입니다
어떤 x의 sin값이 이 값을 줄까요?
기억하세요
단위원의 제1사분면을 생각하면
x는 이 각도입니다
𝜋/4입니다
y = 𝜋/4일 때 x도 𝜋/4입니다
이것도 𝜋/4임을 알 수 있습니다
이걸 다시 써보겠습니다
조금 지저분하네요
5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다
즣습니다
이제 대수학만 남았습니다
cos(𝜋/4)는 √(2)/2임을 이미 알고 있습니다
sin(𝜋/4)도 √(2)/2입니다
그럼 양변을 √(2)/2로 나누면 어떻게 될까요?
무엇이 나올까요?
√(2)/2를 √(2)/2로 나누면 1입니다
0을 √(2)/2로 나누면 0입니다
따라서 이 모든 것이 5 - dy/dx = 0이 됩니다
다 했습니다
양변에 dy/dt를 더하면
dy/dt = 5가 나옵니다
이것들이 참일 때 말이죠
dx/dt = 5이고
y = 𝜋/4일 때 입니다