미분가능한 함수 x와 y는 다음 방정식으로 연관되어 있습니다 sin(x) + cos(y) = √(2)입니다 sin(x) + cos(y) = √(2)입니다 또한 t에 대한 x의 도함수는 5라고 합니다 또한 t에 대한 x의 도함수는 5라고 합니다 t에 대한 y의 도함수를 y = 𝜋/4이고 0 < x < 𝜋/2일 때 구하라고 합니다 t에 대한 x의 도함수가 주어졌고 t에 대한 y의 도함수를 찾아야 하므로 t에 대한 y의 도함수를 찾아야 하므로 x와 y 모두 t에 대한 함수라고 가정해도 좋습니다 이 방정식을 다시 쓸 수도 있습니다 이걸 다시 쓰면 t의 함수인 x(t)의 sin과 t의 함수인 y(t)의 cos이 t의 함수인 y(t)의 cos이 √(2)라고 할 수 있습니다 헷갈릴 수도 있습니다 x가 세 번째 변수에 대한 함수이거나 y가 x가 아닌 것의 함수인게 익숙치 않을 수 있습니다 y가 x가 아닌 것의 함수인게 익숙치 않을 수 있습니다 하지만 x와 y는 단지 변수일 뿐입니다 이건 f(t), 이건 g(t)일 수도 있습니다 x(t)와 y(t) 대신에요 그러면 더 자연스럽게 느껴질 수도 있습니다 어찌 되었든 dy/dt를 찾으려면 양변의 t에 대한 도함수를 구해야 합니다 양변의 t에 대한 도함수를 구해야 합니다 그럼 해보죠 왼쪽 변을 해 봅시다 이것의 t에 대한 도함수를 구하고 이것의 t에 대한 도함수를 구하고 이것의 t에 대한 도함수를 구합니다 그리고 오른쪽에는 이 상수의 t에 대한 도함수를 구합니다 각각에 대해 생각해 봅시다 이것은 무엇일까요? 새로운 색으로 해보죠 아쿠아 색으로 표시한 이것 말이죠 이걸 어떻게 쓸 수 있을까요? t에 대한 도함수를 구하는 데 어떤 것의 sin이고 어떤 것은 t의 함수입니다 연쇄법칙을 적용하면 됩니다 먼저 x에 대한 sin(x)의 도함수를 구합니다 먼저 x에 대한 sin(x)의 도함수를 구합니다 sin(x(t))라 할 수 있지만 편의를 위해 sin(x)를 사용하겠습니다 편의를 위해 sin(x)를 사용하겠습니다 그리고 안에 있는 함수의 t에 대한 도함수를 곱해 줍니다 그리고 안에 있는 함수의 t에 대한 도함수를 곱해 줍니다 그리고 안에 있는 함수의 t에 대한 도함수를 곱해 줍니다 x와 y만 다루었던 이전의 연쇄법칙 예제를 보다 보면 약간 직관적이지 않을 수 있지만 어떤 것에 대해 바깥인 sin의 도함수를 구하고 어떤 것에 대해 바깥인 sin의 도함수를 구하고 이 경우엔 그것이 x이고 이 경우엔 x인 어떤 것의 t에 대한 도함수를 구하는 것입니다 여기도 똑같이 할 수 있습니다 여기도 똑같이 할 수 있습니다 바깥 함수 cos(y)의 y에 대한 도함수를 구하고 바깥 함수 cos(y)의 y에 대한 도함수를 구하고 바깥 함수 cos(y)의 y에 대한 도함수를 구하고 t에 대한 y의 도함수를 곱해 줍니다 t에 대한 y의 도함수를 곱해 줍니다 이 모든 것은 무엇과 같을까요? 상수의 t에 대한 도함수는 √(2)는 상수이죠 t가 변함에 따라 변하지 않습니다 따라서 변화율은 0입니다 좋습니다 이제 이 모두를 구하기만 하면 됩니다 먼저 sin(x)의 x에 대한 도함수는 cos(x)입니다 거기에 dx/dt를 곱해 줍니다 거기에 dx/dt를 곱해 줍니다 거기에 dx/dt를 곱해 줍니다 여기를 더해 주고요 dy/dt에 dy/dt에 이게 앞으로 오도록 단지 위치를 바꾼 것 뿐입니다 이게 앞으로 오도록 단지 위치를 바꾼 것 뿐입니다 y에 대한 cos(y)의 도함수는 무엇인가요? -sin(y)입니다 -sin(y)입니다 -sin(y)입니다 이걸 지우고 음수 부호를 넣습니다 이건 모두 0과 같습니다 그럼 무엇을 찾을 수 있나요? t에 대한 x의 도함수는 5라고 했습니다 여기서 말해주죠 따라서 이건 5입니다 t에 대한 y의 도함수를 찾아야 합니다 y = 𝛑/4라고 했습니다 이것은 𝛑/4입니다 아직 두 개의 미지수가 남아 있습니다 아직 두 개의 미지수가 남아 있습니다 아직 x와 t에 대한 y의 도함수를 알지 못합니다 아직 x와 t에 대한 y의 도함수를 알지 못합니다 그걸 찾아야 합니다 x는 무엇일까요? y가 𝜋/4일 때 x는 무엇일까요? 그것을 구하려면 맨 처음 방정식을 보아야 합니다 y가 𝜋/4라면 y가 𝜋/4라면 sin(x) + cos(𝜋/4) = √(2)입니다 sin(x) + cos(𝜋/4) = √(2)입니다 sin(x) + cos(𝜋/4) = √(2)입니다 cos(𝜋/4)는 단위원을 떠올렸을 때 제1사분면에 있습니다 육십분법으로는 45°이고 √(2)/2입니다 양변에서 √(2)/2를 빼면 sin(x)는 √(2)에서 √(2)/2를 빼면 √(2)에서 √(2)/2를 빼면 반이 없어진 것이니 반이 남습니다 따라서 √(2)/2입니다 어떤 x의 sin값이 이 값을 줄까요? 기억하세요 단위원의 제1사분면을 생각하면 x는 이 각도입니다 x는 이 각도입니다 𝜋/4입니다 y = 𝜋/4일 때 x도 𝜋/4입니다 y = 𝜋/4일 때 x도 𝜋/4입니다 이것도 𝜋/4임을 알 수 있습니다 이걸 다시 써보겠습니다 조금 지저분하네요 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 5cos(𝜋/4) - dy/dt ᐧ sin(𝜋/4) = 0입니다 즣습니다 이제 대수학만 남았습니다 cos(𝜋/4)는 √(2)/2임을 이미 알고 있습니다 cos(𝜋/4)는 √(2)/2임을 이미 알고 있습니다 sin(𝜋/4)도 √(2)/2입니다 그럼 양변을 √(2)/2로 나누면 어떻게 될까요? 그럼 양변을 √(2)/2로 나누면 어떻게 될까요? 무엇이 나올까요? √(2)/2를 √(2)/2로 나누면 1입니다 √(2)/2를 √(2)/2로 나누면 1입니다 √(2)/2를 √(2)/2로 나누면 1입니다 √(2)/2를 √(2)/2로 나누면 1입니다 √(2)/2를 √(2)/2로 나누면 1입니다 √(2)/2를 √(2)/2로 나누면 1입니다 0을 √(2)/2로 나누면 0입니다 0을 √(2)/2로 나누면 0입니다 따라서 이 모든 것이 5 - dy/dx = 0이 됩니다 따라서 이 모든 것이 5 - dy/dx = 0이 됩니다 따라서 이 모든 것이 5 - dy/dx = 0이 됩니다 따라서 이 모든 것이 5 - dy/dx = 0이 됩니다 다 했습니다 양변에 dy/dt를 더하면 dy/dt = 5가 나옵니다 이것들이 참일 때 말이죠 dx/dt = 5이고 y = 𝜋/4일 때 입니다 y = 𝜋/4일 때 입니다