Các hàm vi phân x và y liên hệ với nhau
bời phương trình sau.
sin x cộng cosin y
bằng căn bậc hai của 2.
Đề còn cho mình biết đạo hàm của x
theo t bằng 5.
Đề hỏi mình tìm đạo hàm của y
theo t khi y bằng pi trên 4
và 0 nhỏ hơn x nhỏ hơn pi trên 2.
Vậy đề cho mình biết đạo hàm
của x theo t và nói mình tìm
đạo hàm của y theo t,
vậy mình có thể xem x và y là các hàm theo t.
Vậy mình có thể viết lại phương trình ngay đây.
Mình có thể viết nó thành sin x,
một hàm theo t,
cộng cosin
của y, một hàm cũng theo t,
bằng căn bậc hai của 2.
Bây giờ mình có thể thấy hơi bối rối,
mình không quen coi x như một hàm
theo một biến thứ ba hay y như một hàm
theo một cái gì đó khác x.
Nhưng nhớ là x và y là các biến số.
Cái này có thể là f(t) và cái này có thể là g(t)
thay vì x theo t hay y theo t,
và cái đó có thể thấy quen thuộc hơn.
Nhưng dù gì, nếu mình muốn tìm dy dt,
điều mình muốn làm là lấy đạo hàm
theo t ở cả 2 vế phương trình.
Vậy hãy làm vậy.
Mình sẽ làm vế trái trước,
vậy mình sẽ lấy đạo hàm cái này theo t,
và lấy đạo hàm cái này theo t.
Mình sẽ lấy đạo hàm hai cái đó theo t.
Và rồi mình sẽ lấy đạo hàm
của vế phải, hằng số này theo t.
Vậy hãy xem mấy cái này.
Cái này là gì đây?
Để mình dùng màu khác.
Vậy cái đoạn màu xanh ngọc ngay đây,
mình có thể viết nó như thế nào?
Vậy mình đang lấy đạo hàm theo t,
Mình có sin của cái gì đó, và nó chính là hàm theo t,
Vậy mình có thể áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ngay đây.
Đầu tiên, mình sẽ lấy đạo hàm theo x của
sin x
sin x, mình có thể viết sin x theo t,
nhưng mình sẽ quay lại sin x ngay đây
cho đơn giản.
Và rồi mình sẽ nhân nó cho đạo hàm
của cái bên trong, vậy mình có thể nói, theo t
nhân đạo hàm của x theo t.
Nó có thể hơi khác so với cách
mà mình hay dùng quy tắc đạo hàm hàm hợp
khi mình chỉ giải với x và y,
nhưng tất cả những gì đang xảy là mình đang lấy đạo hàm
của cái ngoài cái sin gì đó
theo một cái gì đó, trong trường hợp này là x,
và rồi mình lấy đạo hàm của cái gì đó,
trong trường hợp này là x theo t.
Và mình có thể làm y vậy ở đây,
hay số hạng thứ hai này.
Vậy mình muốn lấy đạo hàm theo y
của, cái mình nói là cái bên ngoài,
của cosin y,
và rồi mình sẽ nhân nó
với đạo hàm của y theo t.
Và nguyên cái đó sẽ bằng gì?
Đạo hàm theo t của một hằng số,
Căn bậc hai của 2 là hằng số,
nó sẽ không thay đổi khi t thay đổi,
vậy đạo hàm của nó, là tốc độ thay đổi, là 0.
Ok, vậy giờ mình phải giải
mấy cái này ra.
Trước hết, đạo hàm theo x
của sin(x) là cosin(x) nhân đạo hàm của x
theo t, mình sẽ viết nó ra đây.
Đạo hàm của x theo t.
Và rồi mình sẽ có, nó sẽ là dấu cộng đây,
đạo hàm của y theo t.
Vậy cộng đạo hàm của y theo t.
Mình chỉ đang đổi thứ tự
để cái này ra đằng trước.
Bây giờ, đạo hàm của cosin(y) theo y bằng gì?
Nó sẽ là âm sin(y).
Và vậy, để mình để sin(y) đây,
và rồi dấu âm đây.
Xoá cái này và để dấu âm đây.
Và tất cả cái này sẽ bằng 0.
Và giờ mình có thể giải gì tiếp?
Đề cho mình biết đạo hàm của x theo t
là bằng 5, đề cho mình biết ngay đây.
Vậy cái này sẽ bằng 5.
Mình muốn tìm đạo hàm của y theo t.
Đề cho mình biết y bằng gì, y bằng pi trên 4.
Cái này, y bằng pi trên 4, vậy mình biết cái này là pi trên 4.
Và để xem, mình phải giải gì,
mình vẫn đang có hai ẩn số này.
Mình chưa biết x bằng gì và mình chưa biết
đạo hàm của y theo t bằng gì.
Đó là cái mình cần giải.
Vậy x sẽ bằng gì?
x sẽ bằng gì khi y bằng pi trên 4?
Để giải cái đó,
mình phải quay lại phương trình ban đầu ở đây.
Vậy khi y bằng pi trên 4, mình có,
để mình viết ra.
Sin(x)
cộng cosin của pi
trên 4 bằng căn bậc hai của 2.
Cosin của pi trên 4,
Nếu mình nghĩ về đường tròn đơn vị,
mình đang ở góc phần tư thứ nhất.
Nếu mình nghĩ về toạ độ, nó là góc 45 độ,
nó sẽ là căn bậc hai của 2 trên 2
Vậy mình có thể trừ căn bậc hai của 2 trên 2
khỏi hai vế, nó sẽ cho mình
sin x bằng, nếu mình trừ căn bậc hai của 2 trên 2
khỏi căn bậc hai của 2,
mình lấy đi một nửa của nó,
vậy mình còn một nửa còn lại.
Vậy là căn bậc hai của 2 trên 2.
Vậy giá trị nào của x khi mình lấy sin của nó,
và nhớ là góc của nó,
nếu mình nghĩ về đường tròn đơn vị nó sẽ
ở góc phần tư thứ nhất, x sẽ là góc trong trường hợp này
ngay đây.
Vậy, nó sẽ là một lần nữa pi trên 4.
Vậy cái này cho mình biết x bằng pi trên 4
khi y bằng pi trên 4.
Vậy mình biết cái này cũng là pi trên 4.
Vậy để mình viết lại,
vì nó đang hơi bừa bộn nhỉ.
Vậy mình biết 5 lần
cosin của pi trên 4
trừ
dy dt, đạo hàm của y theo t
đó là cái mình cần tìm,
nhân sin của pi trên 4,
bằng 0,
bằng 0, và để mình để dấu ngoặc đơn đây,
để làm rõ nó ra tí.
Ok, vậy xem nào.
Bây giờ chỉ là đại số thôi.
Cosin của pi trên 4,
mình đã biết nó là căn bậc hai của 2 trên 2.
Sin của pi trên 4 cũng là căn bậc hai của 2 trên 2.
Giờ hãy xem, nếu mình chia cả hai vế
của phương trình này cho căn bậc hai của 2 trên 2,
mình sẽ được gì?
Căn bậc hai của 2 trên 2 này
chia cho căn bậc hai của 2 trên,
căn bậc hai của 2 trên 2 chia cho căn bậc hai của 2
trên 2 sẽ bằng 1.
Căn bậc hai của 2 trên 2 chia cho
căn bậc hai của 2 trên 2 sẽ bằng 1.
Và rồi 0 chia cho căn bậc hai của 2 trên 2
sẽ tiếp tục bằng 0.
Vậy nguyên cái này đơn giản còn
5 lần 1, là 5
trừ đạo hàm của y theo t
bằng 0,
vậy mình tìm được rồi.
Mình cộng đạo hàm của y theo t vào hai vế,
mình sẽ có đạo hàm của y theo t bằng
5, khi những dự kiện này đúng.
Khi đạo hàm của x theo t bằng 5,
và thêm nữa, khi đạo hàm của y
bằng pi trên 4.