0:00:00.534,0:00:05.965
-可微函数x和y由以下方程关联

0:00:05.965,0:00:08.715
Sin(x)+Cos(y)

0:00:09.578,0:00:12.479
将等于2的平方根

0:00:12.479,0:00:17.897
它也告诉我们dx/dt=5

0:00:17.897,0:00:25.145
他也告诉我们要在当y=π/4且x大于0小于π/2时

0:00:25.145,0:00:29.789
求出基于t的y的导数

0:00:29.789,0:00:32.365
所以他告诉了我们基于t的x的导数

0:00:32.365,0:00:34.685
并且我们要找到

0:00:34.685,0:00:37.134
基于t的y的导数

0:00:37.134,0:00:41.301
认为x和y都是基于t的函数的假设是合理的

0:00:42.403,0:00:45.751
所以你甚至可以在这将函数重新列一遍

0:00:45.751,0:00:48.584
你可以将其重新写为sin(x)，其中

0:00:50.683,0:00:53.040
x是t的函数

0:00:53.040,0:00:53.957
加上

0:00:55.815,0:00:58.398
cos(y)，y也是t的函数

0:00:59.499,0:01:02.082
整个式子等于2的平方根

0:01:02.920,0:01:04.542
现在你可能有些困惑

0:01:04.542,0:01:06.376
你未曾将x设为具有3个未知量的函数

0:01:06.376,0:01:10.068
或你未曾将y当做一个除了x外另有变量的函数

0:01:10.068,0:01:11.740
但请记住，x和y仅是自变量

0:01:11.740,0:01:15.419
这可以是f(t),那可以是g(t)

0:01:15.419,0:01:17.605
而不是x(t)或y(t)

0:01:17.605,0:01:19.503
这也许会让你觉得自然些

0:01:19.503,0:01:23.170
不必说如果我们要求出dt

0:01:24.186,0:01:29.952
我们要做的是对这个方程两边的 t 求导

0:01:29.952,0:01:31.357
所以让我们处理它吧

0:01:31.357,0:01:33.303
所以我们将从等式左侧入手

0:01:33.303,0:01:38.035
所以我们将把它与 t 相关联，对 t 取它的导数。

0:01:38.035,0:01:41.001
我们将对t取它的导数

0:01:41.001,0:01:42.338
接着我们将取等式右侧这一常数项

0:01:42.338,0:01:46.547
对t的导数

0:01:46.547,0:01:49.764
所以我们逐一思考这些式子

0:01:49.764,0:01:51.444
所以这是什么呢

0:01:51.444,0:01:53.114
让我换种颜色

0:01:53.114,0:01:56.622
我正在用水笔解的式子

0:01:56.622,0:01:58.245
我该如何写它呢

0:01:58.245,0:02:00.405
所以我取对t的函数

0:02:00.405,0:02:04.918
我有某数的sin值，其自身为关于t的函数

0:02:04.918,0:02:07.768
所以我将在这里应用链式法则

0:02:07.768,0:02:14.650
首先，我将求sinx的导数

0:02:16.508,0:02:18.714
我将之写作sinx(t))

0:02:18.714,0:02:22.365
但为了简化，我将其恢复为原式

0:02:22.365,0:02:25.244
接着我将其与x的导数相乘

0:02:25.244,0:02:28.766
你可以说，对于t的导数

0:02:28.766,0:02:32.780
乘上dx/dt

0:02:32.780,0:02:34.506
这和你之前处理链式法则相比，

0:02:34.506,0:02:35.594
可能有些反常

0:02:35.594,0:02:38.737
之前我们只处理与x或y相关的

0:02:38.737,0:02:41.272
但这就是现在发生的，我将取sin外的

0:02:41.272,0:02:43.565
对于某值的某值的导数，

0:02:43.565,0:02:46.547
在这种情况下，即为x

0:02:46.547,0:02:48.503
接着我将求某值的导数

0:02:48.503,0:02:51.415
在这种情况下，即为x对于t的导数

0:02:51.415,0:02:53.927
我们可以对第二个多项式

0:02:53.927,0:02:56.010
用同样的方式处理

0:02:56.988,0:03:01.216
所以我将求d/dy乘上，

0:03:01.216,0:03:04.327
我猜你将说

0:03:04.327,0:03:05.577
cos(y)

0:03:07.692,0:03:09.206
接着我将之相乘：

0:03:09.206,0:03:12.873
乘上对于t的y的导数

0:03:14.264,0:03:17.447
接着它们整体将等于多少呢

0:03:17.447,0:03:20.742
对于t的常数的导数

0:03:20.742,0:03:22.162
根号2是个常数

0:03:22.162,0:03:23.912
将不会随t的变化而变化

0:03:23.912,0:03:27.385
所以它的导数，其变化率即为0

0:03:27.385,0:03:29.632
好的，现在我们求到了

0:03:29.632,0:03:31.357
所有的值

0:03:31.357,0:03:33.681
所以第一步，sin(x)的导数为

0:03:33.681,0:03:38.277
cos(x)乘x对于t的导数

0:03:38.277,0:03:40.270
我将在这写下

0:03:40.270,0:03:42.207
x对于t导数

0:03:42.207,0:03:44.964
接着我们将有，这里是加上

0:03:44.964,0:03:47.157
y对于t的导数

0:03:47.157,0:03:51.010
所以加上y对于t的导数

0:03:51.010,0:03:52.445
我在这把顺序调换了下

0:03:52.445,0:03:54.467
所以它将提前

0:03:54.467,0:03:58.372
现在，对于y的cos(y)的导数是多少呢？

0:03:58.372,0:04:01.336
其值为-sin(y)

0:04:01.336,0:04:05.265
接着，让我先把sin(y)写在这

0:04:05.265,0:04:07.118
再加个负号

0:04:07.118,0:04:10.118
将这（符号）擦除并换为减号

0:04:11.600,0:04:15.100
而这依旧将等于0

0:04:16.062,0:04:18.743
因此我们可以求出什么呢

0:04:18.743,0:04:21.785
它告诉我们x对于t的导数的值为5

0:04:21.785,0:04:25.398
他就在这告诉了我们

0:04:25.398,0:04:27.481
所以这将等于5

0:04:29.088,0:04:32.679
我们想求出对于t的y的导数的值

0:04:32.679,0:04:36.145
他告诉了我们y的值，π/4

0:04:36.145,0:04:40.312
这里，y是π/4，所以写下π/4

0:04:41.606,0:04:43.791
所以我们看一下，我们得求出它

0:04:43.791,0:04:45.725
我们仍有两个未知量

0:04:45.725,0:04:47.449
我们不知道x的值，我们也不知道

0:04:47.449,0:04:49.580
y对于t的导数值

0:04:49.580,0:04:51.101
那就是我们所需求的值

0:04:51.101,0:04:52.467
所以x的值是多少呢？

0:04:52.467,0:04:55.420
当y等于π/4时，x的值是多少呢

0:04:55.420,0:04:56.439
好的，为了求出它，

0:04:56.439,0:05:00.222
我们将回到原式

0:05:00.222,0:05:03.754
所以当y等于π/4时，你会得到

0:05:03.754,0:05:04.847
让我把它写下

0:05:04.847,0:05:05.680
sin(x)，加上

0:05:07.391,0:05:08.808
cos(π/4),

0:05:10.716,0:05:13.984
（cos(π/4)）的值为二分之根号二

0:05:13.984,0:05:15.901
cos(π/4)

0:05:17.593,0:05:20.936
我们可以转化为我们（熟悉的角度）或用单位圆解决

0:05:20.936,0:05:22.558
我们正处于第一象限中，

0:05:22.558,0:05:24.160
如果我们以角度制思考，它的值为45°

0:05:24.160,0:05:28.067
它将等于二分之根号二

0:05:28.067,0:05:30.579
我们可从等式两侧同时减去二分之根号二，

0:05:30.579,0:05:32.852
我们将的值

0:05:32.852,0:05:37.709
sin(x)的值为，好的，如果你从根号二中减去

0:05:37.709,0:05:39.469
二分之根号二，

0:05:39.469,0:05:40.764
你将减去它的一半

0:05:40.764,0:05:42.223
所以你仍留有它的一半

0:05:42.223,0:05:44.709
所以就是二分之根号二

0:05:44.709,0:05:48.718
所以，x的值是多少呢，我将取它的sin值

0:05:48.718,0:05:50.768
记住，这是在角度制中

0:05:50.768,0:05:52.360
如果我们用单位圆思考，它将在第一象限。

0:05:52.360,0:05:54.775
在这情况下x将是一个角，

0:05:54.775,0:05:56.085
就在这

0:05:56.085,0:05:59.376
所以那将是又一次的π/4

0:05:59.376,0:06:03.157
所以x的值为π/4

0:06:03.157,0:06:05.829
当y等于π/4

0:06:05.829,0:06:09.475


0:06:09.475,0:06:11.437


0:06:11.437,0:06:13.463


0:06:13.463,0:06:15.630


0:06:17.521,0:06:19.354


0:06:22.214,0:06:23.047


0:06:24.268,0:06:26.968


0:06:26.968,0:06:28.767


0:06:28.767,0:06:31.017


0:06:32.562,0:06:33.979


0:06:35.398,0:06:38.523


0:06:38.523,0:06:40.714


0:06:40.714,0:06:43.454


0:06:43.454,0:06:45.108


0:06:45.108,0:06:46.927


0:06:46.927,0:06:49.677


0:06:49.677,0:06:53.844


0:06:54.754,0:06:57.583


0:06:57.583,0:07:00.878


0:07:00.878,0:07:02.239


0:07:02.239,0:07:04.549


0:07:04.549,0:07:05.884


0:07:05.884,0:07:08.179


0:07:08.179,0:07:10.035


0:07:10.035,0:07:11.283


0:07:11.283,0:07:13.232


0:07:13.232,0:07:15.495


0:07:15.495,0:07:17.751


0:07:17.751,0:07:19.842


0:07:19.842,0:07:23.070


0:07:23.070,0:07:26.627


0:07:26.627,0:07:28.044


0:07:29.558,0:07:30.732


0:07:30.732,0:07:33.648


0:07:33.648,0:07:37.815


0:07:38.684,0:07:42.294


0:07:42.294,0:07:44.656


0:07:44.656,0:07:47.999


0:07:47.999,0:07:50.166