1
00:00:00,000 --> 00:00:00,950
Здравей!

2
00:00:00,950 --> 00:00:03,350
Нека да отделим малко внимание

3
00:00:03,350 --> 00:00:05,230
на свойства на логаритмите.

4
00:00:05,230 --> 00:00:07,700
Нека преговорим бързо 
какво представляват логаритмите.

5
00:00:07,700 --> 00:00:19,230
Ако напиша, 
че log с основа х от а

6
00:00:19,230 --> 00:00:22,020
е равно на... знам ли, 
на дадена буква, n.

7
00:00:22,020 --> 00:00:23,550
Какво означава това?

8
00:00:23,550 --> 00:00:35,800
Това означава просто факта, че 
х на степен n дава а.

9
00:00:35,800 --> 00:00:37,880
Мисля, че вече ти е известно.

10
00:00:37,880 --> 00:00:40,150
Научихме го в клипа за логаритмите.

11
00:00:40,150 --> 00:00:42,860
Много важно е да осъзнаеш,
че когато пресмятаме

12
00:00:42,860 --> 00:00:49,170
логаритмичен израз като 
log от а с основа х,

13
00:00:49,170 --> 00:00:52,350
отговорът, който 
получаваме, е степенен показател.

14
00:00:52,350 --> 00:00:54,231
Това n в действителност 
е само един показател.

15
00:00:54,231 --> 00:00:56,820
Това е равно на това.

16
00:00:56,820 --> 00:00:58,910
Можеше да го напишем само така.

17
00:00:58,910 --> 00:01:02,190
Понеже това n 
е равно на това тук,

18
00:01:02,190 --> 00:01:10,140
можем да напишем само х...
ще стане малко разхвърляно,

19
00:01:10,140 --> 00:01:13,930
х е равно на log от а при основа х, 
е равно на а.

20
00:01:13,930 --> 00:01:17,000
Какво направих? Взех това n 
и го заместих с този член.

21
00:01:17,000 --> 00:01:19,530
И исках да го напиша по този начин, 
защото целта ми е

22
00:01:19,530 --> 00:01:22,580
наистина да получиш логично
разбиране за понятието

23
00:01:22,580 --> 00:01:24,390
логаритъм, че когато 
го пресмятаме, той

24
00:01:24,390 --> 00:01:25,745
действително е показател.

25
00:01:25,745 --> 00:01:27,420
Ще ползваме този
начин на записване.

26
00:01:27,420 --> 00:01:29,910
И от тук всъщност идват

27
00:01:29,910 --> 00:01:32,380
всичките свойства на логаритмите.

28
00:01:32,380 --> 00:01:35,130
Сега искам

29
00:01:35,130 --> 00:01:37,760
да се спра на свойствата 
на логаритмите,

30
00:01:37,760 --> 00:01:38,540
като се позабавляваме малко.

31
00:01:38,540 --> 00:01:40,405
По-нататък ще обобщя всичко,

32
00:01:40,405 --> 00:01:41,120
след което ще стане ясно.

33
00:01:41,120 --> 00:01:45,100
Но ми се иска да покажа
как хората са открили

34
00:01:45,100 --> 00:01:47,040
тези неща първоначално.

35
00:01:47,040 --> 00:01:52,960
Да кажем, че х...
ще сменя цвета,

36
00:01:52,960 --> 00:01:55,600
мисля, че това запазва нещата интересни.

37
00:01:55,600 --> 00:02:05,190
Да кажем, че х на степен
l е равно на а.

38
00:02:05,190 --> 00:02:07,680
Ако запишем това 
като логаритъм,

39
00:02:07,680 --> 00:02:14,900
можем да напишем, че log от а с основа х

40
00:02:14,900 --> 00:02:19,410
е равно на l, нали така?

41
00:02:19,410 --> 00:02:22,530
Само преписах тук написаното
най-горе.

42
00:02:22,530 --> 00:02:25,010
Нека сменя цветовете.

43
00:02:25,010 --> 00:02:33,100
Ако кажа, че х на степен m 
е равно на b, това е

44
00:02:33,100 --> 00:02:34,620
същото, само промених буквите.

45
00:02:34,620 --> 00:02:41,980
Но то си означава, че 
log с основа х от b

46
00:02:41,980 --> 00:02:43,730
е равно на m, нали така?

47
00:02:43,730 --> 00:02:46,280
Просто преписах същото, 
което беше на този ред,

48
00:02:46,280 --> 00:02:47,452
само смених буквите.

49
00:02:47,452 --> 00:02:49,620
Нека продължим така
и да видим какво се случва.

50
00:02:49,770 --> 00:02:52,770
Да кажем, че...

51
00:02:52,770 --> 00:02:56,380
Само да сменя цвета.

52
00:02:56,380 --> 00:03:03,010
Да кажем, че имам х на n-та степен, 
а ти ме питаш: Сал, къде

53
00:03:03,010 --> 00:03:03,710
си тръгнал с това?

54
00:03:03,710 --> 00:03:04,710
Но ще видиш.

55
00:03:04,710 --> 00:03:12,360
Много е лесно. х на n-та степен 
е равно на а, умножено по b.

56
00:03:12,360 --> 00:03:15,260
х на степен n е равно 
на а, умножено по b.

57
00:03:15,260 --> 00:03:22,730
Което е равносилно на 
log при основа х

58
00:03:22,730 --> 00:03:26,420
е равно на а, умножено по b.

59
00:03:26,420 --> 00:03:28,460
И какво можем да направим с всичко това?

60
00:03:28,460 --> 00:03:31,010
Нека започнем с това тук.

61
00:03:31,010 --> 00:03:33,420
х на n-та степен е равно на 
а, умножено по b.

62
00:03:33,420 --> 00:03:35,670
А как можем да преработим това?

63
00:03:35,670 --> 00:03:38,910
а е това, нали?

64
00:03:38,910 --> 00:03:41,670
А b е това, нали така?

65
00:03:41,670 --> 00:03:43,010
Така че нека препишем тук.

66
00:03:43,010 --> 00:03:49,770
Знаем, че х на n-та степен дава а.

67
00:03:49,770 --> 00:03:51,480
а е това.

68
00:03:51,480 --> 00:03:55,120
х на степен l.

69
00:03:55,120 --> 00:03:57,370
х на l-та.

70
00:03:57,370 --> 00:03:59,500
А b какво е?

71
00:03:59,500 --> 00:04:01,190
Умножено по b.

72
00:04:01,190 --> 00:04:04,740
Ами b е х на m-та степен, нали така?

73
00:04:04,740 --> 00:04:07,380
В момента не правя
нищо фантастично.

74
00:04:07,380 --> 00:04:09,320
Но на какво е равно х 
на l-та, умножено по х на m-та степен?

75
00:04:09,320 --> 00:04:13,730
От свойствата на степените
знаем, че когато умножаваме два израза,

76
00:04:13,730 --> 00:04:17,390
които имат една и съща основа
и различни степенни показатели,

77
00:04:17,390 --> 00:04:19,025
просто събираме
степенните показатели.

78
00:04:19,025 --> 00:04:22,830
Това е равно на... нека 
използвам неутрален цвят.

79
00:04:22,830 --> 00:04:24,660
Не знам дали казах това 
граматически правилно, но

80
00:04:24,660 --> 00:04:25,300
схващаш идеята.

81
00:04:25,300 --> 00:04:27,560
Когато имаме една и съща основа и
умножаваме,

82
00:04:27,560 --> 00:04:28,930
можем просто да съберем показателите.

83
00:04:28,930 --> 00:04:32,390
Това е равно на х на... искам да продължа 
да сменям цветовете, защото

84
00:04:32,390 --> 00:04:33,870
мисля, че това помага.

85
00:04:33,870 --> 00:04:39,590
l, l плюс m.

86
00:04:39,590 --> 00:04:42,520
Mалко е натоварващо това скачане
от цвят на цвят, но...

87
00:04:42,520 --> 00:04:43,820
Схващаш какво казвам.

88
00:04:43,820 --> 00:04:47,590
Така, х на n-та степен е 
равно на х на степен l плюс m.

89
00:04:47,590 --> 00:04:49,790
Нека х го сложа тук.

90
00:04:49,790 --> 00:04:51,350
О, исках това да е зелено.

91
00:04:51,350 --> 00:04:53,530
х на степен l плюс n.

92
00:04:53,530 --> 00:04:54,050
И какво знаем?

93
00:04:54,050 --> 00:04:58,980
Знаем, че х на n-та степен е равно
на х на степен l плюс m.

94
00:04:58,980 --> 00:05:00,220
Нали така?

95
00:05:00,220 --> 00:05:02,510
Имам същата основа.

96
00:05:02,510 --> 00:05:06,370
Тези степени трябва да са
равни помежду си.

97
00:05:06,370 --> 00:05:18,863
Така че знаем, че n е равно на
l плюс m.

98
00:05:18,863 --> 00:05:21,270
Това какво ни помага?

99
00:05:21,270 --> 00:05:23,590
Като че ли някак си досега 
играх с логаритмите.

100
00:05:23,590 --> 00:05:25,840
Стигам ли до някъде?

101
00:05:25,840 --> 00:05:27,590
Мисля, че ще видиш, че е така.

102
00:05:27,590 --> 00:05:31,140
По какъв друг начин
можем да запишем n?

103
00:05:31,140 --> 00:05:34,510
Казахме, че х на n-та степен 
е равно на а, умножено по b...

104
00:05:34,510 --> 00:05:37,350
Тук пропуснах една стъпка.

105
00:05:37,350 --> 00:05:40,080
И това означава – като се върнем
тук, х на n-та степен

106
00:05:40,080 --> 00:05:40,710
е равно на а, умножено по b.

107
00:05:40,710 --> 00:05:44,640
Което означава, че log при основа х
от а, умножено по b, е равно на n.

108
00:05:44,640 --> 00:05:45,170
Ти знаеше това.

109
00:05:45,170 --> 00:05:45,890
Аз не го знаех.

110
00:05:45,890 --> 00:05:47,880
Надявам се, разбираш, че 
не съм се отказал или нещо такова.

111
00:05:47,880 --> 00:05:52,360
Просто забравих да напиша това, когато 
по-напред те занимавах с него.

112
00:05:52,360 --> 00:05:53,250
Но, както и да е.

113
00:05:53,250 --> 00:05:54,070
И какво е n?

114
00:05:54,070 --> 00:05:55,520
Как по друг начин се пише n?

115
00:05:55,520 --> 00:05:58,400
Другият начин за записване е тук.

116
00:05:58,400 --> 00:06:01,640
Log при основа х от а, умножено по b.

117
00:06:01,640 --> 00:06:04,840
Сега знаем, че ако просто 
заместим n с това,

118
00:06:04,840 --> 00:06:11,690
получваме log с основа х от a, умножено по b.

119
00:06:11,690 --> 00:06:13,080
A какво дава това?

120
00:06:13,080 --> 00:06:14,500
То е равно на l.

121
00:06:14,500 --> 00:06:18,230
Друг начин за запис на l 
виждаме тук горе.

122
00:06:18,230 --> 00:06:25,570
Равно е на log с основа
х от а плюс m.

123
00:06:25,570 --> 00:06:27,710
A m какво е?

124
00:06:27,710 --> 00:06:30,792
m e тук.

125
00:06:30,792 --> 00:06:35,970
Така, log с основа х от b.

126
00:06:35,970 --> 00:06:38,990
И тук имаме нашето първо 
свойство на логаритмите.

127
00:06:38,990 --> 00:06:44,620
Log с основа х от а, умножено по b –
това си е равно на

128
00:06:44,620 --> 00:06:48,130
log с основа х от а плюс
log с основа х от b.

129
00:06:48,130 --> 00:06:50,880
A това, надявам се, е добро 
доказателство за теб.

130
00:06:50,880 --> 00:06:55,460
И ако искаш да разбереш
защо решението става така:

131
00:06:55,460 --> 00:07:00,400
тръгваме от факта, че логаритмите не са 
нищо по-различно от степените.

132
00:07:00,400 --> 00:07:02,250
И с това ще приключа този клип.

133
00:07:02,250 --> 00:07:04,470
А следващия път ще докажа
още едно

134
00:07:04,470 --> 00:07:05,900
свойство на логаритмите.

135
00:07:05,900 --> 00:07:07,670
Ще се видим скоро.