WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.950
Здравей!

00:00:00.950 --> 00:00:03.350
Нека да отделим малко внимание

00:00:03.350 --> 00:00:05.230
на свойства на логаритмите.

00:00:05.230 --> 00:00:07.700
Нека преговорим бързо 
какво представляват логаритмите.

00:00:07.700 --> 00:00:19.230
Ако напиша, 
че log с основа х от а

00:00:19.230 --> 00:00:22.020
е равно на... знам ли, 
на дадена буква, n.

00:00:22.020 --> 00:00:23.550
Какво означава това?

00:00:23.550 --> 00:00:35.800
Това означава просто факта, че 
х на степен n дава а.

00:00:35.800 --> 00:00:37.880
Мисля, че вече ти е известно.

00:00:37.880 --> 00:00:40.150
Научихме го в клипа за логаритмите.

00:00:40.150 --> 00:00:42.860
Много важно е да осъзнаеш,
че когато пресмятаме

00:00:42.860 --> 00:00:49.170
логаритмичен израз като 
log от а с основа х,

00:00:49.170 --> 00:00:52.350
отговорът, който 
получаваме, е степенен показател.

00:00:52.350 --> 00:00:54.231
Това n в действителност 
е само един показател.

00:00:54.231 --> 00:00:56.820
Това е равно на това.

00:00:56.820 --> 00:00:58.910
Можеше да го напишем само така.

00:00:58.910 --> 00:01:02.190
Понеже това n 
е равно на това тук,

00:01:02.190 --> 00:01:10.140
можем да напишем само х...
ще стане малко разхвърляно,

00:01:10.140 --> 00:01:13.930
х е равно на log от а при основа х, 
е равно на а.

00:01:13.930 --> 00:01:17.000
Какво направих? Взех това n 
и го заместих с този член.

00:01:17.000 --> 00:01:19.530
И исках да го напиша по този начин, 
защото целта ми е

00:01:19.530 --> 00:01:22.580
наистина да получиш логично
разбиране за понятието

00:01:22.580 --> 00:01:24.390
логаритъм, че когато 
го пресмятаме, той

00:01:24.390 --> 00:01:25.745
действително е показател.

00:01:25.745 --> 00:01:27.420
Ще ползваме този
начин на записване.

00:01:27.420 --> 00:01:29.910
И от тук всъщност идват

00:01:29.910 --> 00:01:32.380
всичките свойства на логаритмите.

00:01:32.380 --> 00:01:35.130
Сега искам

00:01:35.130 --> 00:01:37.760
да се спра на свойствата 
на логаритмите,

00:01:37.760 --> 00:01:38.540
като се позабавляваме малко.

00:01:38.540 --> 00:01:40.405
По-нататък ще обобщя всичко,

00:01:40.405 --> 00:01:41.120
след което ще стане ясно.

00:01:41.120 --> 00:01:45.100
Но ми се иска да покажа
как хората са открили

00:01:45.100 --> 00:01:47.040
тези неща първоначално.

00:01:47.040 --> 00:01:52.960
Да кажем, че х...
ще сменя цвета,

00:01:52.960 --> 00:01:55.600
мисля, че това запазва нещата интересни.

00:01:55.600 --> 00:02:05.190
Да кажем, че х на степен
l е равно на а.

00:02:05.190 --> 00:02:07.680
Ако запишем това 
като логаритъм,

00:02:07.680 --> 00:02:14.900
можем да напишем, че log от а с основа х

00:02:14.900 --> 00:02:19.410
е равно на l, нали така?

00:02:19.410 --> 00:02:22.530
Само преписах тук написаното
най-горе.

00:02:22.530 --> 00:02:25.010
Нека сменя цветовете.

00:02:25.010 --> 00:02:33.100
Ако кажа, че х на степен m 
е равно на b, това е

00:02:33.100 --> 00:02:34.620
същото, само промених буквите.

00:02:34.620 --> 00:02:41.980
Но то си означава, че 
log с основа х от b

00:02:41.980 --> 00:02:43.730
е равно на m, нали така?

00:02:43.730 --> 00:02:46.280
Просто преписах същото, 
което беше на този ред,

00:02:46.280 --> 00:02:47.452
само смених буквите.

00:02:47.452 --> 00:02:49.620
Нека продължим така
и да видим какво се случва.

00:02:49.770 --> 00:02:52.770
Да кажем, че...

00:02:52.770 --> 00:02:56.380
Само да сменя цвета.

00:02:56.380 --> 00:03:03.010
Да кажем, че имам х на n-та степен, 
а ти ме питаш: Сал, къде

00:03:03.010 --> 00:03:03.710
си тръгнал с това?

00:03:03.710 --> 00:03:04.710
Но ще видиш.

00:03:04.710 --> 00:03:12.360
Много е лесно. х на n-та степен 
е равно на а, умножено по b.

00:03:12.360 --> 00:03:15.260
х на степен n е равно 
на а, умножено по b.

00:03:15.260 --> 00:03:22.730
Което е равносилно на 
log при основа х

00:03:22.730 --> 00:03:26.420
е равно на а, умножено по b.

00:03:26.420 --> 00:03:28.460
И какво можем да направим с всичко това?

00:03:28.460 --> 00:03:31.010
Нека започнем с това тук.

00:03:31.010 --> 00:03:33.420
х на n-та степен е равно на 
а, умножено по b.

00:03:33.420 --> 00:03:35.670
А как можем да преработим това?

00:03:35.670 --> 00:03:38.910
а е това, нали?

00:03:38.910 --> 00:03:41.670
А b е това, нали така?

00:03:41.670 --> 00:03:43.010
Така че нека препишем тук.

00:03:43.010 --> 00:03:49.770
Знаем, че х на n-та степен дава а.

00:03:49.770 --> 00:03:51.480
а е това.

00:03:51.480 --> 00:03:55.120
х на степен l.

00:03:55.120 --> 00:03:57.370
х на l-та.

00:03:57.370 --> 00:03:59.500
А b какво е?

00:03:59.500 --> 00:04:01.190
Умножено по b.

00:04:01.190 --> 00:04:04.740
Ами b е х на m-та степен, нали така?

00:04:04.740 --> 00:04:07.380
В момента не правя
нищо фантастично.

00:04:07.380 --> 00:04:09.320
Но на какво е равно х 
на l-та, умножено по х на m-та степен?

00:04:09.320 --> 00:04:13.730
От свойствата на степените
знаем, че когато умножаваме два израза,

00:04:13.730 --> 00:04:17.390
които имат една и съща основа
и различни степенни показатели,

00:04:17.390 --> 00:04:19.025
просто събираме
степенните показатели.

00:04:19.025 --> 00:04:22.830
Това е равно на... нека 
използвам неутрален цвят.

00:04:22.830 --> 00:04:24.660
Не знам дали казах това 
граматически правилно, но

00:04:24.660 --> 00:04:25.300
схващаш идеята.

00:04:25.300 --> 00:04:27.560
Когато имаме една и съща основа и
умножаваме,

00:04:27.560 --> 00:04:28.930
можем просто да съберем показателите.

00:04:28.930 --> 00:04:32.390
Това е равно на х на... искам да продължа 
да сменям цветовете, защото

00:04:32.390 --> 00:04:33.870
мисля, че това помага.

00:04:33.870 --> 00:04:39.590
l, l плюс m.

00:04:39.590 --> 00:04:42.520
Mалко е натоварващо това скачане
от цвят на цвят, но...

00:04:42.520 --> 00:04:43.820
Схващаш какво казвам.

00:04:43.820 --> 00:04:47.590
Така, х на n-та степен е 
равно на х на степен l плюс m.

00:04:47.590 --> 00:04:49.790
Нека х го сложа тук.

00:04:49.790 --> 00:04:51.350
О, исках това да е зелено.

00:04:51.350 --> 00:04:53.530
х на степен l плюс n.

00:04:53.530 --> 00:04:54.050
И какво знаем?

00:04:54.050 --> 00:04:58.980
Знаем, че х на n-та степен е равно
на х на степен l плюс m.

00:04:58.980 --> 00:05:00.220
Нали така?

00:05:00.220 --> 00:05:02.510
Имам същата основа.

00:05:02.510 --> 00:05:06.370
Тези степени трябва да са
равни помежду си.

00:05:06.370 --> 00:05:18.863
Така че знаем, че n е равно на
l плюс m.

00:05:18.863 --> 00:05:21.270
Това какво ни помага?

00:05:21.270 --> 00:05:23.590
Като че ли някак си досега 
играх с логаритмите.

00:05:23.590 --> 00:05:25.840
Стигам ли до някъде?

00:05:25.840 --> 00:05:27.590
Мисля, че ще видиш, че е така.

00:05:27.590 --> 00:05:31.140
По какъв друг начин
можем да запишем n?

00:05:31.140 --> 00:05:34.510
Казахме, че х на n-та степен 
е равно на а, умножено по b...

00:05:34.510 --> 00:05:37.350
Тук пропуснах една стъпка.

00:05:37.350 --> 00:05:40.080
И това означава – като се върнем
тук, х на n-та степен

00:05:40.080 --> 00:05:40.710
е равно на а, умножено по b.

00:05:40.710 --> 00:05:44.640
Което означава, че log при основа х
от а, умножено по b, е равно на n.

00:05:44.640 --> 00:05:45.170
Ти знаеше това.

00:05:45.170 --> 00:05:45.890
Аз не го знаех.

00:05:45.890 --> 00:05:47.880
Надявам се, разбираш, че 
не съм се отказал или нещо такова.

00:05:47.880 --> 00:05:52.360
Просто забравих да напиша това, когато 
по-напред те занимавах с него.

00:05:52.360 --> 00:05:53.250
Но, както и да е.

00:05:53.250 --> 00:05:54.070
И какво е n?

00:05:54.070 --> 00:05:55.520
Как по друг начин се пише n?

00:05:55.520 --> 00:05:58.400
Другият начин за записване е тук.

00:05:58.400 --> 00:06:01.640
Log при основа х от а, умножено по b.

00:06:01.640 --> 00:06:04.840
Сега знаем, че ако просто 
заместим n с това,

00:06:04.840 --> 00:06:11.690
получваме log с основа х от a, умножено по b.

00:06:11.690 --> 00:06:13.080
A какво дава това?

00:06:13.080 --> 00:06:14.500
То е равно на l.

00:06:14.500 --> 00:06:18.230
Друг начин за запис на l 
виждаме тук горе.

00:06:18.230 --> 00:06:25.570
Равно е на log с основа
х от а плюс m.

00:06:25.570 --> 00:06:27.710
A m какво е?

00:06:27.710 --> 00:06:30.792
m e тук.

00:06:30.792 --> 00:06:35.970
Така, log с основа х от b.

00:06:35.970 --> 00:06:38.990
И тук имаме нашето първо 
свойство на логаритмите.

00:06:38.990 --> 00:06:44.620
Log с основа х от а, умножено по b –
това си е равно на

00:06:44.620 --> 00:06:48.130
log с основа х от а плюс
log с основа х от b.

00:06:48.130 --> 00:06:50.880
A това, надявам се, е добро 
доказателство за теб.

00:06:50.880 --> 00:06:55.460
И ако искаш да разбереш
защо решението става така:

00:06:55.460 --> 00:07:00.400
тръгваме от факта, че логаритмите не са 
нищо по-различно от степените.

00:07:00.400 --> 00:07:02.250
И с това ще приключа този клип.

00:07:02.250 --> 00:07:04.470
А следващия път ще докажа
още едно

00:07:04.470 --> 00:07:05.900
свойство на логаритмите.

00:07:05.900 --> 00:07:07.670
Ще се видим скоро.