0:00:00.950,0:00:02.160 Hallo. 0:00:02.160,0:00:05.230 Beschäftgigen wir uns mit ein paar Eigenschaften des Logarithmus. 0:00:05.230,0:00:07.700 Erinnern wir uns also kurz, was ein Logarithmus eigentlich darstellt. 0:00:07.700,0:00:19.230 Wenn ich also schreibe 'Logarithmus von a zur Basis x' ... 0:00:19.230,0:00:22.020 ... gleich, sagen wir 'N'. 0:00:22.020,0:00:23.550 Was bedeutet das ? 0:00:23.550,0:00:35.800 Nun, das bedeutet einfach, daß x hoch N gleich a. 0:00:35.800,0:00:37.880 Ich denke mal, das wissen wir bereits. 0:00:37.880,0:00:40.150 Wir haben das im Video über den Logarithmus gelernt. 0:00:40.150,0:00:42.860 Es ist also ganz wichtig, sich klarzumachen, daß man ... 0:00:42.860,0:00:49.170 ... bei der Berechnung eines Logarithmusterms wie 'Logarithmus a zur Basis x' ... 0:00:49.170,0:00:52.350 ... als Ergebnis einen Exponenten erhält. 0:00:52.350,0:00:54.231 Dieses 'N' ist tatsächlich nichts anderes als ein Exponent. 0:00:54.231,0:00:56.820 Das ist genau das gleiche wie dieses Ding hier. 0:00:56.820,0:00:58.910 Man hätte das auch genausogut so schreiben können. 0:00:58.910,0:01:02.190 Man hätte das tun können, weil dieses 'N' gleich diesem ist, man hätte ... 0:01:02.190,0:01:10.140 ... einfach - das sieht jetzt etwas wild aus - schreiben können 'x hoch Logarithmus ... 0:01:10.140,0:01:13.930 ... A zur Basis x' gleich A. 0:01:13.930,0:01:17.000 Ich habe nur dieses N durch diesen Term ersetzt. 0:01:17.000,0:01:19.530 Und das habe ich so geschrieben, weil ich möchte, daß du ... 0:01:19.530,0:01:22.580 ... ein intuitives Verständnis dafür entwickelst, 0:01:22.580,0:01:24.390 daß ein Logarithmus, wenn du ihn berechnest, ... 0:01:24.390,0:01:25.745 ... effektiv ein Exponent ist. 0:01:25.745,0:01:27.420 Und dieses Wissen nutzen wir jetzt. 0:01:27.420,0:01:29.910 Daher rühren letztlich alle ... 0:01:29.910,0:01:32.380 ... Eigenschaften des Logarithmus. 0:01:32.380,0:01:35.130 Laß uns also - was ich eigentlich möchte, 0:01:35.130,0:01:37.760 ich möchte über die Eigenschaften des Logarithmus stolpern 0:01:37.760,0:01:38.540 indem ich ein bißchen herumspiele. 0:01:38.540,0:01:40.405 Und später fassen wir alles zusammen 0:01:40.405,0:01:41.120 und bringen Ordnung rein. 0:01:41.120,0:01:45.100 Aber zunächst möchte ich zeigen, wie Leute urspünglich ... 0:01:45.100,0:01:47.040 ... auf diesen ganzen Kram gekommen sind. 0:01:47.040,0:01:52.960 Sagen wir also, daß x - ich wechsle mal die Farben ... 0:01:52.960,0:01:55.600 ... so bleibt's interessant -, 0:01:55.600,0:02:05.190 sagen wir also, x hoch l gleich A. 0:02:05.190,0:02:07.680 Ok, wenn wir das als Logarithmus schreiben, also die ... 0:02:07.680,0:02:14.900 ... gleiche Beziehung als Logarithmus, dann könnten wir schreiben 'Logarithmus von A zur Basis x ... 0:02:14.900,0:02:19.410 ... gleich l', richtig ? 0:02:19.410,0:02:22.530 Ich habe nur das umformuliert, was ich in schon der ersten Zeile geschrieben habe. 0:02:22.530,0:02:25.010 Und weiter mit einer neuen Farbe 0:02:25.010,0:02:33.100 Wenn ich jetzt sagen würde 'x hoch m gleich b', dann ist das ... 0:02:33.100,0:02:34.620 ... genau dasselbe, nur mit anderen Variablen. 0:02:34.620,0:02:41.980 Das heißt aber auch, der Logarithmus von b zur Basis x ... 0:02:41.980,0:02:43.730 ... ist gleich m, richtig ? 0:02:43.730,0:02:46.280 I hab genau das gleiche wie in dieser Zeile gemacht. 0:02:46.280,0:02:47.452 Ich habe nur Bezeichner getauscht. 0:02:47.452,0:02:49.620 Machen wir mal wieter und schauen wir, was passiert. 0:02:49.620,0:02:52.770 Erstmal noch eine andere Farbe ... die gehen mir nicht aus ... 0:02:56.380,0:03:03.010 ... also, sagen wir ich habe x hoch N und du sagt, Sal, ... 0:03:03.010,0:03:03.710 ... worauf willst du hinaus ? 0:03:03.710,0:03:04.710 Aber das siehst du gleich. 0:03:04.710,0:03:12.360 Das ist ganz hübsch, x hoch n gleich A mal B 0:03:12.360,0:03:15.260 x hoch n gleich A mal B. 0:03:15.260,0:03:22.730 Und das ist nichts anderes, als zu sagen 0:03:22.730,0:03:26.420 n [fehlt im Video, Anm. Übers.] gleich Logarithmus von A mal B zur Basis x . 0:03:26.420,0:03:28.460 Was können wir mit all dem anfangen? 0:03:28.460,0:03:31.010 Ok, beginnen wir mit dem hier. 0:03:31.010,0:03:33.420 x hoch n gleich A mal B. 0:03:33.420,0:03:35.670 Wie könnten wir das anders schreiben ? 0:03:35.670,0:03:38.910 Nun ja, A ist das ... 0:03:38.910,0:03:41.670 ... und B das, richtig ? 0:03:41.670,0:03:43.010 Formen wir das also um. 0:03:43.010,0:03:49.770 Wir wissen, daß x hoch N gleich A. 0:03:49.770,0:03:51.480 A ist das hier. 0:03:51.480,0:03:55.120 x hoch l 0:03:55.120,0:03:57.370 x hoch l 0:03:57.370,0:03:59.500 Und was ist B ? 0:03:59.500,0:04:01.190 mal B 0:04:01.190,0:04:04.740 Naja, B gleich x hoch m, stimmt's? 0:04:04.740,0:04:07.380 Das ist jetzt kein Hexenwerk. 0:04:07.380,0:04:09.320 Was ist aber x hoch l mal x hoch m ? 0:04:09.320,0:04:13.730 Naja, wir wissen etwas über Exponenten, wenn wir ... 0:04:13.730,0:04:17.390 ... zwei Terme miteinander multiplizieren, die die gleiche Basis und verschiedene ... 0:04:17.390,0:04:19.025 ... Exponenten haben, addieren wir die Exponenten einfach. 0:04:19.025,0:04:22.830 Also ist das gleich - ich nehme mal eine neutrale Farbe 0:04:22.830,0:04:24.660 Ich weiß nicht, ob ich das fehlerfrei ausgedrückt habe, aber ... 0:04:24.660,0:04:25.300 ... die Idee ist klar. 0:04:25.300,0:04:27.560 Wenn du die gleiche Basis hast und du multiplizierst, 0:04:27.560,0:04:28.930 dann addierst du einfach die Exponenten. 0:04:28.930,0:04:32.390 Das ist dann gleich - ich mache das in unterschiedlichen Farben, 0:04:32.390,0:04:33.870 denn ich glaube, das ist hilfreich - ... 0:04:33.870,0:04:39.590 ... l, l plus m. 0:04:39.590,0:04:42.520 Dauernd die Farben zu wechseln ist ein bißchen umständlich, aber ... 0:04:42.520,0:04:43.820 ... du siehst, worauf ich hinauswill. 0:04:43.820,0:04:47.590 Also, x hoch n gleich x hoch l plus m. 0:04:47.590,0:04:49.790 Ich schreibe hier mal 'x'. 0:04:49.790,0:04:51.350 Das sollte eigentlich grün werden. 0:04:51.350,0:04:53.530 x hoch l + n 0:04:53.530,0:04:54.050 Also, was wissen wir ? 0:04:54.050,0:04:58.980 Wir wissen, daß x hoch n gleich x hoch l + m. 0:04:58.980,0:05:00.220 Richtig ? 0:05:00.220,0:05:02.510 Ok, wir haben die gleiche Basis 0:05:02.510,0:05:06.370 Diese Exponenten müssen also gleich sein. 0:05:06.370,0:05:18.863 Somit wissen wir also, n gleich l + m. 0:05:18.863,0:05:21.270 Was hilft uns das ? 0:05:21.270,0:05:23.590 Ich nab nur ein bißchen mit Logarithmen herumgespielt. 0:05:23.590,0:05:25.840 Bringt mir das irgendetwas ? 0:05:25.840,0:05:27.590 Ich denke mal, du erkennst gleich, daß dem so ist. 0:05:27.590,0:05:31.140 Wie können wir n anders schreiben ? 0:05:31.140,0:05:34.510 Wir sagten x hoch n gleich A mal B - oh, hier ... 0:05:34.510,0:05:37.350 ... hab ich eigentlich einen Schritt ausgelassen. 0:05:37.350,0:05:40.080 Das bedeutet - hierher zurück, x hoch n ... 0:05:40.080,0:05:40.710 ... gleich A mal B. 0:05:40.710,0:05:44.640 Also ist der Logarithmus von A mal B zur Basis x gleich n. 0:05:44.640,0:05:45.170 Das wußtest du schon. 0:05:45.170,0:05:45.890 Ich nicht. 0:05:45.890,0:05:47.880 Ich hoffe du erkennst, daß ich hier keine Fehler korrigiere oder so was in der Art. 0:05:47.880,0:05:52.360 Ich habe einfach nur vergessen, das vorhin hinzuschreiben. 0:05:52.360,0:05:53.250 Egal, 0:05:53.250,0:05:54.070 also was ist n ? 0:05:54.070,0:05:55.520 Wier kann man n anders schreiben ? 0:05:55.520,0:05:58.400 Naja, also EINE andere Art, n zu schreiben, steht hier. 0:05:58.400,0:06:01.640 Logarithmus von A mal B zur Basis x. 0:06:01.640,0:06:04.840 Also, jetzt wissen wir, daß wir einfach n dafür schreiben können, wir ... 0:06:04.840,0:06:11.690 ... erhalten Logarithmus von A mal B zur Basis x 0:06:11.690,0:06:13.080 Und das ist gleich was ? 0:06:13.080,0:06:14.500 Das ist eben gleich l. 0:06:14.500,0:06:18.230 l kann man auch so schreiben wie hier oben. 0:06:18.230,0:06:25.570 Das ist gleich Logarithmus von A zur Basis x plus m. 0:06:25.570,0:06:27.710 Und was ist m ? 0:06:27.710,0:06:30.792 m steht hier. 0:06:30.792,0:06:35.970 Also Logarithmus von B zur Basis x. 0:06:35.970,0:06:38.990 Und hier haben wir unsere erste Eigenschaft des Logarithmus: 0:06:38.990,0:06:44.620 Logarithmus von A mal B zur Basis x - das ist gleich ... 0:06:44.620,0:06:48.130 Logarithmus von A zur Basis x mal Logarithmus B zur Basis x. 0:06:48.130,0:06:50.880 Und das hier überzeugt dich hoffentlich, daß es stimmt. 0:06:50.880,0:06:55.460 Und die Intuition dahinter, warum das funktioniert, ... 0:06:55.460,0:07:00.400 ... liegt daran, daß Logarithmen nichts anderes sind als Exponenten. 0:07:00.400,0:07:02.250 So, das war's für dieses Video. 0:07:02.250,0:07:04.470 Und im nächsten Video zeige ich eine andere ... 0:07:04.470,0:07:05.900 ... Eigenschaft des Logarithmus 0:07:05.900,0:07:07.670 Bis demnächst!