1 00:00:00,950 --> 00:00:02,160 Hallo. 2 00:00:02,160 --> 00:00:05,230 Beschäftgigen wir uns mit ein paar Eigenschaften des Logarithmus. 3 00:00:05,230 --> 00:00:07,700 Erinnern wir uns also kurz, was ein Logarithmus eigentlich darstellt. 4 00:00:07,700 --> 00:00:19,230 Wenn ich also schreibe 'Logarithmus von a zur Basis x' ... 5 00:00:19,230 --> 00:00:22,020 ... gleich, sagen wir 'N'. 6 00:00:22,020 --> 00:00:23,550 Was bedeutet das ? 7 00:00:23,550 --> 00:00:35,800 Nun, das bedeutet einfach, daß x hoch N gleich a. 8 00:00:35,800 --> 00:00:37,880 Ich denke mal, das wissen wir bereits. 9 00:00:37,880 --> 00:00:40,150 Wir haben das im Video über den Logarithmus gelernt. 10 00:00:40,150 --> 00:00:42,860 Es ist also ganz wichtig, sich klarzumachen, daß man ... 11 00:00:42,860 --> 00:00:49,170 ... bei der Berechnung eines Logarithmusterms wie 'Logarithmus a zur Basis x' ... 12 00:00:49,170 --> 00:00:52,350 ... als Ergebnis einen Exponenten erhält. 13 00:00:52,350 --> 00:00:54,231 Dieses 'N' ist tatsächlich nichts anderes als ein Exponent. 14 00:00:54,231 --> 00:00:56,820 Das ist genau das gleiche wie dieses Ding hier. 15 00:00:56,820 --> 00:00:58,910 Man hätte das auch genausogut so schreiben können. 16 00:00:58,910 --> 00:01:02,190 Man hätte das tun können, weil dieses 'N' gleich diesem ist, man hätte ... 17 00:01:02,190 --> 00:01:10,140 ... einfach - das sieht jetzt etwas wild aus - schreiben können 'x hoch Logarithmus ... 18 00:01:10,140 --> 00:01:13,930 ... A zur Basis x' gleich A. 19 00:01:13,930 --> 00:01:17,000 Ich habe nur dieses N durch diesen Term ersetzt. 20 00:01:17,000 --> 00:01:19,530 Und das habe ich so geschrieben, weil ich möchte, daß du ... 21 00:01:19,530 --> 00:01:22,580 ... ein intuitives Verständnis dafür entwickelst, 22 00:01:22,580 --> 00:01:24,390 daß ein Logarithmus, wenn du ihn berechnest, ... 23 00:01:24,390 --> 00:01:25,745 ... effektiv ein Exponent ist. 24 00:01:25,745 --> 00:01:27,420 Und dieses Wissen nutzen wir jetzt. 25 00:01:27,420 --> 00:01:29,910 Daher rühren letztlich alle ... 26 00:01:29,910 --> 00:01:32,380 ... Eigenschaften des Logarithmus. 27 00:01:32,380 --> 00:01:35,130 Laß uns also - was ich eigentlich möchte, 28 00:01:35,130 --> 00:01:37,760 ich möchte über die Eigenschaften des Logarithmus stolpern 29 00:01:37,760 --> 00:01:38,540 indem ich ein bißchen herumspiele. 30 00:01:38,540 --> 00:01:40,405 Und später fassen wir alles zusammen 31 00:01:40,405 --> 00:01:41,120 und bringen Ordnung rein. 32 00:01:41,120 --> 00:01:45,100 Aber zunächst möchte ich zeigen, wie Leute urspünglich ... 33 00:01:45,100 --> 00:01:47,040 ... auf diesen ganzen Kram gekommen sind. 34 00:01:47,040 --> 00:01:52,960 Sagen wir also, daß x - ich wechsle mal die Farben ... 35 00:01:52,960 --> 00:01:55,600 ... so bleibt's interessant -, 36 00:01:55,600 --> 00:02:05,190 sagen wir also, x hoch l gleich A. 37 00:02:05,190 --> 00:02:07,680 Ok, wenn wir das als Logarithmus schreiben, also die ... 38 00:02:07,680 --> 00:02:14,900 ... gleiche Beziehung als Logarithmus, dann könnten wir schreiben 'Logarithmus von A zur Basis x ... 39 00:02:14,900 --> 00:02:19,410 ... gleich l', richtig ? 40 00:02:19,410 --> 00:02:22,530 Ich habe nur das umformuliert, was ich in schon der ersten Zeile geschrieben habe. 41 00:02:22,530 --> 00:02:25,010 Und weiter mit einer neuen Farbe 42 00:02:25,010 --> 00:02:33,100 Wenn ich jetzt sagen würde 'x hoch m gleich b', dann ist das ... 43 00:02:33,100 --> 00:02:34,620 ... genau dasselbe, nur mit anderen Variablen. 44 00:02:34,620 --> 00:02:41,980 Das heißt aber auch, der Logarithmus von b zur Basis x ... 45 00:02:41,980 --> 00:02:43,730 ... ist gleich m, richtig ? 46 00:02:43,730 --> 00:02:46,280 I hab genau das gleiche wie in dieser Zeile gemacht. 47 00:02:46,280 --> 00:02:47,452 Ich habe nur Bezeichner getauscht. 48 00:02:47,452 --> 00:02:49,620 Machen wir mal wieter und schauen wir, was passiert. 49 00:02:49,620 --> 00:02:52,770 Erstmal noch eine andere Farbe ... die gehen mir nicht aus ... 50 00:02:56,380 --> 00:03:03,010 ... also, sagen wir ich habe x hoch N und du sagt, Sal, ... 51 00:03:03,010 --> 00:03:03,710 ... worauf willst du hinaus ? 52 00:03:03,710 --> 00:03:04,710 Aber das siehst du gleich. 53 00:03:04,710 --> 00:03:12,360 Das ist ganz hübsch, x hoch n gleich A mal B 54 00:03:12,360 --> 00:03:15,260 x hoch n gleich A mal B. 55 00:03:15,260 --> 00:03:22,730 Und das ist nichts anderes, als zu sagen 56 00:03:22,730 --> 00:03:26,420 n [fehlt im Video, Anm. Übers.] gleich Logarithmus von A mal B zur Basis x . 57 00:03:26,420 --> 00:03:28,460 Was können wir mit all dem anfangen? 58 00:03:28,460 --> 00:03:31,010 Ok, beginnen wir mit dem hier. 59 00:03:31,010 --> 00:03:33,420 x hoch n gleich A mal B. 60 00:03:33,420 --> 00:03:35,670 Wie könnten wir das anders schreiben ? 61 00:03:35,670 --> 00:03:38,910 Nun ja, A ist das ... 62 00:03:38,910 --> 00:03:41,670 ... und B das, richtig ? 63 00:03:41,670 --> 00:03:43,010 Formen wir das also um. 64 00:03:43,010 --> 00:03:49,770 Wir wissen, daß x hoch N gleich A. 65 00:03:49,770 --> 00:03:51,480 A ist das hier. 66 00:03:51,480 --> 00:03:55,120 x hoch l 67 00:03:55,120 --> 00:03:57,370 x hoch l 68 00:03:57,370 --> 00:03:59,500 Und was ist B ? 69 00:03:59,500 --> 00:04:01,190 mal B 70 00:04:01,190 --> 00:04:04,740 Naja, B gleich x hoch m, stimmt's? 71 00:04:04,740 --> 00:04:07,380 Das ist jetzt kein Hexenwerk. 72 00:04:07,380 --> 00:04:09,320 Was ist aber x hoch l mal x hoch m ? 73 00:04:09,320 --> 00:04:13,730 Naja, wir wissen etwas über Exponenten, wenn wir ... 74 00:04:13,730 --> 00:04:17,390 ... zwei Terme miteinander multiplizieren, die die gleiche Basis und verschiedene ... 75 00:04:17,390 --> 00:04:19,025 ... Exponenten haben, addieren wir die Exponenten einfach. 76 00:04:19,025 --> 00:04:22,830 Also ist das gleich - ich nehme mal eine neutrale Farbe 77 00:04:22,830 --> 00:04:24,660 Ich weiß nicht, ob ich das fehlerfrei ausgedrückt habe, aber ... 78 00:04:24,660 --> 00:04:25,300 ... die Idee ist klar. 79 00:04:25,300 --> 00:04:27,560 Wenn du die gleiche Basis hast und du multiplizierst, 80 00:04:27,560 --> 00:04:28,930 dann addierst du einfach die Exponenten. 81 00:04:28,930 --> 00:04:32,390 Das ist dann gleich - ich mache das in unterschiedlichen Farben, 82 00:04:32,390 --> 00:04:33,870 denn ich glaube, das ist hilfreich - ... 83 00:04:33,870 --> 00:04:39,590 ... l, l plus m. 84 00:04:39,590 --> 00:04:42,520 Dauernd die Farben zu wechseln ist ein bißchen umständlich, aber ... 85 00:04:42,520 --> 00:04:43,820 ... du siehst, worauf ich hinauswill. 86 00:04:43,820 --> 00:04:47,590 Also, x hoch n gleich x hoch l plus m. 87 00:04:47,590 --> 00:04:49,790 Ich schreibe hier mal 'x'. 88 00:04:49,790 --> 00:04:51,350 Das sollte eigentlich grün werden. 89 00:04:51,350 --> 00:04:53,530 x hoch l + n 90 00:04:53,530 --> 00:04:54,050 Also, was wissen wir ? 91 00:04:54,050 --> 00:04:58,980 Wir wissen, daß x hoch n gleich x hoch l + m. 92 00:04:58,980 --> 00:05:00,220 Richtig ? 93 00:05:00,220 --> 00:05:02,510 Ok, wir haben die gleiche Basis 94 00:05:02,510 --> 00:05:06,370 Diese Exponenten müssen also gleich sein. 95 00:05:06,370 --> 00:05:18,863 Somit wissen wir also, n gleich l + m. 96 00:05:18,863 --> 00:05:21,270 Was hilft uns das ? 97 00:05:21,270 --> 00:05:23,590 Ich nab nur ein bißchen mit Logarithmen herumgespielt. 98 00:05:23,590 --> 00:05:25,840 Bringt mir das irgendetwas ? 99 00:05:25,840 --> 00:05:27,590 Ich denke mal, du erkennst gleich, daß dem so ist. 100 00:05:27,590 --> 00:05:31,140 Wie können wir n anders schreiben ? 101 00:05:31,140 --> 00:05:34,510 Wir sagten x hoch n gleich A mal B - oh, hier ... 102 00:05:34,510 --> 00:05:37,350 ... hab ich eigentlich einen Schritt ausgelassen. 103 00:05:37,350 --> 00:05:40,080 Das bedeutet - hierher zurück, x hoch n ... 104 00:05:40,080 --> 00:05:40,710 ... gleich A mal B. 105 00:05:40,710 --> 00:05:44,640 Also ist der Logarithmus von A mal B zur Basis x gleich n. 106 00:05:44,640 --> 00:05:45,170 Das wußtest du schon. 107 00:05:45,170 --> 00:05:45,890 Ich nicht. 108 00:05:45,890 --> 00:05:47,880 Ich hoffe du erkennst, daß ich hier keine Fehler korrigiere oder so was in der Art. 109 00:05:47,880 --> 00:05:52,360 Ich habe einfach nur vergessen, das vorhin hinzuschreiben. 110 00:05:52,360 --> 00:05:53,250 Egal, 111 00:05:53,250 --> 00:05:54,070 also was ist n ? 112 00:05:54,070 --> 00:05:55,520 Wier kann man n anders schreiben ? 113 00:05:55,520 --> 00:05:58,400 Naja, also EINE andere Art, n zu schreiben, steht hier. 114 00:05:58,400 --> 00:06:01,640 Logarithmus von A mal B zur Basis x. 115 00:06:01,640 --> 00:06:04,840 Also, jetzt wissen wir, daß wir einfach n dafür schreiben können, wir ... 116 00:06:04,840 --> 00:06:11,690 ... erhalten Logarithmus von A mal B zur Basis x 117 00:06:11,690 --> 00:06:13,080 Und das ist gleich was ? 118 00:06:13,080 --> 00:06:14,500 Das ist eben gleich l. 119 00:06:14,500 --> 00:06:18,230 l kann man auch so schreiben wie hier oben. 120 00:06:18,230 --> 00:06:25,570 Das ist gleich Logarithmus von A zur Basis x plus m. 121 00:06:25,570 --> 00:06:27,710 Und was ist m ? 122 00:06:27,710 --> 00:06:30,792 m steht hier. 123 00:06:30,792 --> 00:06:35,970 Also Logarithmus von B zur Basis x. 124 00:06:35,970 --> 00:06:38,990 Und hier haben wir unsere erste Eigenschaft des Logarithmus: 125 00:06:38,990 --> 00:06:44,620 Logarithmus von A mal B zur Basis x - das ist gleich ... 126 00:06:44,620 --> 00:06:48,130 Logarithmus von A zur Basis x mal Logarithmus B zur Basis x. 127 00:06:48,130 --> 00:06:50,880 Und das hier überzeugt dich hoffentlich, daß es stimmt. 128 00:06:50,880 --> 00:06:55,460 Und die Intuition dahinter, warum das funktioniert, ... 129 00:06:55,460 --> 00:07:00,400 ... liegt daran, daß Logarithmen nichts anderes sind als Exponenten. 130 00:07:00,400 --> 00:07:02,250 So, das war's für dieses Video. 131 00:07:02,250 --> 00:07:04,470 Und im nächsten Video zeige ich eine andere ... 132 00:07:04,470 --> 00:07:05,900 ... Eigenschaft des Logarithmus 133 00:07:05,900 --> 00:07:07,670 Bis demnächst!