WEBVTT 00:00:00.950 --> 00:00:02.160 Hallo. 00:00:02.160 --> 00:00:05.230 Beschäftgigen wir uns mit ein paar Eigenschaften des Logarithmus. 00:00:05.230 --> 00:00:07.700 Erinnern wir uns also kurz, was ein Logarithmus eigentlich darstellt. 00:00:07.700 --> 00:00:19.230 Wenn ich also schreibe 'Logarithmus von a zur Basis x' ... 00:00:19.230 --> 00:00:22.020 ... gleich, sagen wir 'N'. 00:00:22.020 --> 00:00:23.550 Was bedeutet das ? 00:00:23.550 --> 00:00:35.800 Nun, das bedeutet einfach, daß x hoch N gleich a. 00:00:35.800 --> 00:00:37.880 Ich denke mal, das wissen wir bereits. 00:00:37.880 --> 00:00:40.150 Wir haben das im Video über den Logarithmus gelernt. 00:00:40.150 --> 00:00:42.860 Es ist also ganz wichtig, sich klarzumachen, daß man ... 00:00:42.860 --> 00:00:49.170 ... bei der Berechnung eines Logarithmusterms wie 'Logarithmus a zur Basis x' ... 00:00:49.170 --> 00:00:52.350 ... als Ergebnis einen Exponenten erhält. 00:00:52.350 --> 00:00:54.231 Dieses 'N' ist tatsächlich nichts anderes als ein Exponent. 00:00:54.231 --> 00:00:56.820 Das ist genau das gleiche wie dieses Ding hier. 00:00:56.820 --> 00:00:58.910 Man hätte das auch genausogut so schreiben können. 00:00:58.910 --> 00:01:02.190 Man hätte das tun können, weil dieses 'N' gleich diesem ist, man hätte ... 00:01:02.190 --> 00:01:10.140 ... einfach - das sieht jetzt etwas wild aus - schreiben können 'x hoch Logarithmus ... 00:01:10.140 --> 00:01:13.930 ... A zur Basis x' gleich A. 00:01:13.930 --> 00:01:17.000 Ich habe nur dieses N durch diesen Term ersetzt. 00:01:17.000 --> 00:01:19.530 Und das habe ich so geschrieben, weil ich möchte, daß du ... 00:01:19.530 --> 00:01:22.580 ... ein intuitives Verständnis dafür entwickelst, 00:01:22.580 --> 00:01:24.390 daß ein Logarithmus, wenn du ihn berechnest, ... 00:01:24.390 --> 00:01:25.745 ... effektiv ein Exponent ist. 00:01:25.745 --> 00:01:27.420 Und dieses Wissen nutzen wir jetzt. 00:01:27.420 --> 00:01:29.910 Daher rühren letztlich alle ... 00:01:29.910 --> 00:01:32.380 ... Eigenschaften des Logarithmus. 00:01:32.380 --> 00:01:35.130 Laß uns also - was ich eigentlich möchte, 00:01:35.130 --> 00:01:37.760 ich möchte über die Eigenschaften des Logarithmus stolpern 00:01:37.760 --> 00:01:38.540 indem ich ein bißchen herumspiele. 00:01:38.540 --> 00:01:40.405 Und später fassen wir alles zusammen 00:01:40.405 --> 00:01:41.120 und bringen Ordnung rein. 00:01:41.120 --> 00:01:45.100 Aber zunächst möchte ich zeigen, wie Leute urspünglich ... 00:01:45.100 --> 00:01:47.040 ... auf diesen ganzen Kram gekommen sind. 00:01:47.040 --> 00:01:52.960 Sagen wir also, daß x - ich wechsle mal die Farben ... 00:01:52.960 --> 00:01:55.600 ... so bleibt's interessant -, 00:01:55.600 --> 00:02:05.190 sagen wir also, x hoch l gleich A. 00:02:05.190 --> 00:02:07.680 Ok, wenn wir das als Logarithmus schreiben, also die ... 00:02:07.680 --> 00:02:14.900 ... gleiche Beziehung als Logarithmus, dann könnten wir schreiben 'Logarithmus von A zur Basis x ... 00:02:14.900 --> 00:02:19.410 ... gleich l', richtig ? 00:02:19.410 --> 00:02:22.530 Ich habe nur das umformuliert, was ich in schon der ersten Zeile geschrieben habe. 00:02:22.530 --> 00:02:25.010 Und weiter mit einer neuen Farbe 00:02:25.010 --> 00:02:33.100 Wenn ich jetzt sagen würde 'x hoch m gleich b', dann ist das ... 00:02:33.100 --> 00:02:34.620 ... genau dasselbe, nur mit anderen Variablen. 00:02:34.620 --> 00:02:41.980 Das heißt aber auch, der Logarithmus von b zur Basis x ... 00:02:41.980 --> 00:02:43.730 ... ist gleich m, richtig ? 00:02:43.730 --> 00:02:46.280 I hab genau das gleiche wie in dieser Zeile gemacht. 00:02:46.280 --> 00:02:47.452 Ich habe nur Bezeichner getauscht. 00:02:47.452 --> 00:02:49.620 Machen wir mal wieter und schauen wir, was passiert. 00:02:49.620 --> 00:02:52.770 Erstmal noch eine andere Farbe ... die gehen mir nicht aus ... 00:02:56.380 --> 00:03:03.010 ... also, sagen wir ich habe x hoch N und du sagt, Sal, ... 00:03:03.010 --> 00:03:03.710 ... worauf willst du hinaus ? 00:03:03.710 --> 00:03:04.710 Aber das siehst du gleich. 00:03:04.710 --> 00:03:12.360 Das ist ganz hübsch, x hoch n gleich A mal B 00:03:12.360 --> 00:03:15.260 x hoch n gleich A mal B. 00:03:15.260 --> 00:03:22.730 Und das ist nichts anderes, als zu sagen 00:03:22.730 --> 00:03:26.420 n [fehlt im Video, Anm. Übers.] gleich Logarithmus von A mal B zur Basis x . 00:03:26.420 --> 00:03:28.460 Was können wir mit all dem anfangen? 00:03:28.460 --> 00:03:31.010 Ok, beginnen wir mit dem hier. 00:03:31.010 --> 00:03:33.420 x hoch n gleich A mal B. 00:03:33.420 --> 00:03:35.670 Wie könnten wir das anders schreiben ? 00:03:35.670 --> 00:03:38.910 Nun ja, A ist das ... 00:03:38.910 --> 00:03:41.670 ... und B das, richtig ? 00:03:41.670 --> 00:03:43.010 Formen wir das also um. 00:03:43.010 --> 00:03:49.770 Wir wissen, daß x hoch N gleich A. 00:03:49.770 --> 00:03:51.480 A ist das hier. 00:03:51.480 --> 00:03:55.120 x hoch l 00:03:55.120 --> 00:03:57.370 x hoch l 00:03:57.370 --> 00:03:59.500 Und was ist B ? 00:03:59.500 --> 00:04:01.190 mal B 00:04:01.190 --> 00:04:04.740 Naja, B gleich x hoch m, stimmt's? 00:04:04.740 --> 00:04:07.380 Das ist jetzt kein Hexenwerk. 00:04:07.380 --> 00:04:09.320 Was ist aber x hoch l mal x hoch m ? 00:04:09.320 --> 00:04:13.730 Naja, wir wissen etwas über Exponenten, wenn wir ... 00:04:13.730 --> 00:04:17.390 ... zwei Terme miteinander multiplizieren, die die gleiche Basis und verschiedene ... 00:04:17.390 --> 00:04:19.025 ... Exponenten haben, addieren wir die Exponenten einfach. 00:04:19.025 --> 00:04:22.830 Also ist das gleich - ich nehme mal eine neutrale Farbe 00:04:22.830 --> 00:04:24.660 Ich weiß nicht, ob ich das fehlerfrei ausgedrückt habe, aber ... 00:04:24.660 --> 00:04:25.300 ... die Idee ist klar. 00:04:25.300 --> 00:04:27.560 Wenn du die gleiche Basis hast und du multiplizierst, 00:04:27.560 --> 00:04:28.930 dann addierst du einfach die Exponenten. 00:04:28.930 --> 00:04:32.390 Das ist dann gleich - ich mache das in unterschiedlichen Farben, 00:04:32.390 --> 00:04:33.870 denn ich glaube, das ist hilfreich - ... 00:04:33.870 --> 00:04:39.590 ... l, l plus m. 00:04:39.590 --> 00:04:42.520 Dauernd die Farben zu wechseln ist ein bißchen umständlich, aber ... 00:04:42.520 --> 00:04:43.820 ... du siehst, worauf ich hinauswill. 00:04:43.820 --> 00:04:47.590 Also, x hoch n gleich x hoch l plus m. 00:04:47.590 --> 00:04:49.790 Ich schreibe hier mal 'x'. 00:04:49.790 --> 00:04:51.350 Das sollte eigentlich grün werden. 00:04:51.350 --> 00:04:53.530 x hoch l + n 00:04:53.530 --> 00:04:54.050 Also, was wissen wir ? 00:04:54.050 --> 00:04:58.980 Wir wissen, daß x hoch n gleich x hoch l + m. 00:04:58.980 --> 00:05:00.220 Richtig ? 00:05:00.220 --> 00:05:02.510 Ok, wir haben die gleiche Basis 00:05:02.510 --> 00:05:06.370 Diese Exponenten müssen also gleich sein. 00:05:06.370 --> 00:05:18.863 Somit wissen wir also, n gleich l + m. 00:05:18.863 --> 00:05:21.270 Was hilft uns das ? 00:05:21.270 --> 00:05:23.590 Ich nab nur ein bißchen mit Logarithmen herumgespielt. 00:05:23.590 --> 00:05:25.840 Bringt mir das irgendetwas ? 00:05:25.840 --> 00:05:27.590 Ich denke mal, du erkennst gleich, daß dem so ist. 00:05:27.590 --> 00:05:31.140 Wie können wir n anders schreiben ? 00:05:31.140 --> 00:05:34.510 Wir sagten x hoch n gleich A mal B - oh, hier ... 00:05:34.510 --> 00:05:37.350 ... hab ich eigentlich einen Schritt ausgelassen. 00:05:37.350 --> 00:05:40.080 Das bedeutet - hierher zurück, x hoch n ... 00:05:40.080 --> 00:05:40.710 ... gleich A mal B. 00:05:40.710 --> 00:05:44.640 Also ist der Logarithmus von A mal B zur Basis x gleich n. 00:05:44.640 --> 00:05:45.170 Das wußtest du schon. 00:05:45.170 --> 00:05:45.890 Ich nicht. 00:05:45.890 --> 00:05:47.880 Ich hoffe du erkennst, daß ich hier keine Fehler korrigiere oder so was in der Art. 00:05:47.880 --> 00:05:52.360 Ich habe einfach nur vergessen, das vorhin hinzuschreiben. 00:05:52.360 --> 00:05:53.250 Egal, 00:05:53.250 --> 00:05:54.070 also was ist n ? 00:05:54.070 --> 00:05:55.520 Wier kann man n anders schreiben ? 00:05:55.520 --> 00:05:58.400 Naja, also EINE andere Art, n zu schreiben, steht hier. 00:05:58.400 --> 00:06:01.640 Logarithmus von A mal B zur Basis x. 00:06:01.640 --> 00:06:04.840 Also, jetzt wissen wir, daß wir einfach n dafür schreiben können, wir ... 00:06:04.840 --> 00:06:11.690 ... erhalten Logarithmus von A mal B zur Basis x 00:06:11.690 --> 00:06:13.080 Und das ist gleich was ? 00:06:13.080 --> 00:06:14.500 Das ist eben gleich l. 00:06:14.500 --> 00:06:18.230 l kann man auch so schreiben wie hier oben. 00:06:18.230 --> 00:06:25.570 Das ist gleich Logarithmus von A zur Basis x plus m. 00:06:25.570 --> 00:06:27.710 Und was ist m ? 00:06:27.710 --> 00:06:30.792 m steht hier. 00:06:30.792 --> 00:06:35.970 Also Logarithmus von B zur Basis x. 00:06:35.970 --> 00:06:38.990 Und hier haben wir unsere erste Eigenschaft des Logarithmus: 00:06:38.990 --> 00:06:44.620 Logarithmus von A mal B zur Basis x - das ist gleich ... 00:06:44.620 --> 00:06:48.130 Logarithmus von A zur Basis x mal Logarithmus B zur Basis x. 00:06:48.130 --> 00:06:50.880 Und das hier überzeugt dich hoffentlich, daß es stimmt. 00:06:50.880 --> 00:06:55.460 Und die Intuition dahinter, warum das funktioniert, ... 00:06:55.460 --> 00:07:00.400 ... liegt daran, daß Logarithmen nichts anderes sind als Exponenten. 00:07:00.400 --> 00:07:02.250 So, das war's für dieses Video. 00:07:02.250 --> 00:07:04.470 Und im nächsten Video zeige ich eine andere ... 00:07:04.470 --> 00:07:05.900 ... Eigenschaft des Logarithmus 00:07:05.900 --> 00:07:07.670 Bis demnächst!