1
00:00:00,000 --> 00:00:05,236
No último vídeo, nós construímos 
um vetor unitário normal à superfície

2
00:00:05,236 --> 00:00:08,457
e agora podemos usar isto na nossa 
integral de superfície original

3
00:00:08,457 --> 00:00:09,764
para simplificar um pouco

4
00:00:09,764 --> 00:00:13,439
-- ou pelo menos nos dar uma pista de 
como podemos calcular estas coisas --

5
00:00:13,439 --> 00:00:16,125
E também pensar a respeito 
de maneiras alternativas

6
00:00:16,125 --> 00:00:18,861
para representarmos este tipo 
de integral de superfície.

7
00:00:18,861 --> 00:00:22,239
Se nós substituírmos o resultado do 
nosso vetor unitário normal,

8
00:00:22,239 --> 00:00:24,341
nós teremos...

9
00:00:24,341 --> 00:00:28,138
a integral de superfície de

10
00:00:28,138 --> 00:00:33,314
F escalar toda esta equação aqui,

11
00:00:33,314 --> 00:00:36,900
-- vou escrever tudo em branco, para não
nos tomar muito tempo... --

12
00:00:36,900 --> 00:00:42,752
o produto vetorial da parcial 
de ru com a parcial de rv

13
00:00:42,752 --> 00:00:45,587
sobre a magnitude da mesma coisa:

14
00:00:45,587 --> 00:00:51,209
o produto vetorial parcial de ru
com a parcial de rv.

15
00:00:51,209 --> 00:00:55,266
Agora, nós já jogamos bastante com dS, e 
sabemos que outra maneira de escrever dS

16
00:00:55,266 --> 00:00:58,296
-- e eu espero que eu tenha dado 
uma introdução a esta idéia

17
00:00:58,296 --> 00:01:01,365
quando exploramos a idéia por 
trás da integral de superfície --

18
00:01:01,365 --> 00:01:07,671
Sabemos que dS por ser 
representado pela magnitude

19
00:01:07,671 --> 00:01:13,880
do produto vetorial de ru por rv dudv.

20
00:01:13,880 --> 00:01:17,313
Obviamente du dv pode ser 
escrito como dv du.

21
00:01:17,313 --> 00:01:22,803
Você poderia escrever como dA, 
uma pequena área no domínio uv.

22
00:01:22,803 --> 00:01:25,287
E já que agora esta integral 
é em termos de (u,v)

23
00:01:25,287 --> 00:01:28,304
nós não estamos mais calculando 
a integral de uma superfície;

24
00:01:28,304 --> 00:01:31,154
agora estamos calculando a 
integral dupla no domínio uv.

25
00:01:31,154 --> 00:01:34,374
Poderíamos dizer uma espécie 
de região em (u,v).

26
00:01:34,374 --> 00:01:39,135
Vou escrever R para demonstrar que é uma 
região no plano uv, a que nos referimos.

27
00:01:39,135 --> 00:01:43,942
Bom, me parece que tem uma grande 
simplificação a ser feita por aqui...

28
00:01:43,942 --> 00:01:47,687
Nós estamos dividindo pela magnitude do
produto vetorial de ru por rv

29
00:01:47,687 --> 00:01:52,019
e depois estamos multiplicando 
pela mesma magnitude.

30
00:01:52,019 --> 00:01:53,962
Estas são simples quantidades escalares.

31
00:01:53,962 --> 00:01:56,209
Se você divide e multiplica 
pela mesma coisa...

32
00:01:56,209 --> 00:01:58,784
Isto é o mesmo que multiplicar 
ou dividir por 1.

33
00:01:58,784 --> 00:02:01,211
Sendo assim, estes dois 
elementos se cancelam,

34
00:02:01,211 --> 00:02:04,852
E o que nos resta é

35
00:02:04,852 --> 00:02:13,664
a integral dupla sobre a região R no 
plano uv do nosso campo vetorial F,

36
00:02:13,664 --> 00:02:17,767
escalar por este produto 
vetorial ru x rv.

37
00:02:17,767 --> 00:02:21,927
Isto nos dará um vetor normal,

38
00:02:21,947 --> 00:02:24,143
e quando dividimos por 
sua magnitude,

39
00:02:24,143 --> 00:02:26,352
ele nos dá um vetor normal unitário.

40
00:02:26,352 --> 00:02:30,845
Então nós pegamos o produto 
escalar de F com o

41
00:02:30,845 --> 00:02:40,708
produto vetorial de ru com rv, du dv.

42
00:02:40,708 --> 00:02:45,533
-- vamos arrastar a tela um 
pouco para a direita --

43
00:02:45,533 --> 00:02:50,207
E nós veremos a seguir que é assim que nós
calculamos este tipo de equação.

44
00:02:50,671 --> 00:02:55,534
Se você tiver uma parametrização, você 
pode traduzir isto em termos de (u,v).

45
00:02:55,534 --> 00:02:59,292
Para finalizar, vamos explorar uma forma 
alternativa na qual você também verá

46
00:02:59,292 --> 00:03:01,610
a integral de superfície 
escrita desta forma.

47
00:03:01,610 --> 00:03:04,675
E isto é alcançado escrevendo esta 
parte de uma outra maneira.

48
00:03:04,675 --> 00:03:07,690
Talvez isto lhe de uma noção 
do que isto aqui representa.

49
00:03:07,690 --> 00:03:12,424
Eu vou reescrever esta parte da equação

50
00:03:14,500 --> 00:03:16,680
Eu vou usar uma notação 
um pouco diferente,

51
00:03:16,680 --> 00:03:18,935
e eu espero que faça mais 
sentido desta forma.

52
00:03:18,935 --> 00:03:24,606
Então a parcial de r em relação a u
eu posso escrever como ∂r/∂u,

53
00:03:24,859 --> 00:03:27,457
e nós vamos calcular o produto vetorial

54
00:03:27,457 --> 00:03:30,590
-- vou reescrever o u melhor para 
não ser confundido com um v --

55
00:03:30,590 --> 00:03:37,389
e vamos tirar o produto parcial 
disto de r em relação à v.

56
00:03:37,389 --> 00:03:41,702
Aqui temos pequenas mudanças na 
parametrização e na posição do vetor,

57
00:03:41,727 --> 00:03:43,757
produzindo uma pequena modificação em v.

58
00:03:43,757 --> 00:03:46,942
Uma mínima mudança no vetor,
produzindo uma mínima variação em u.

59
00:03:47,255 --> 00:03:49,854
Agora multiplicamos isto por du dv.

60
00:03:56,090 --> 00:03:58,922
du e dv são quantidades escalares.

61
00:03:58,922 --> 00:04:00,755
du e dv são infinitamente pequenas,

62
00:04:00,755 --> 00:04:05,339
e eles não são vetores, mas
quantidades escalares mínimas.

63
00:04:05,339 --> 00:04:08,522
Desta forma podemos incluí-los,

64
00:04:08,522 --> 00:04:16,377
da mesma forma que, se temos um produto 
vetorial de a por b multiplicado por

65
00:04:16,377 --> 00:04:24,054
um escalar você pode reescrevê-lo 
como o produto vetorial de xa por b.

66
00:04:24,054 --> 00:04:28,657
ou você poderia dizer que isto é o produto
vetorial de a por xb. (x vezes b)

67
00:04:28,657 --> 00:04:31,392
porque x é um simples valor escalar.

68
00:04:31,392 --> 00:04:35,344
Aqui podemos fazer o mesmo reescrevendo
toda esta parte como ...

69
00:04:35,344 --> 00:04:38,369
-- e eu vou agrupar du,
onde temos a parcial

70
00:04:38,369 --> 00:04:41,394
em relação a u no denominador

71
00:04:41,394 --> 00:04:43,560
e vou fazer o mesmo com os 'v's --

72
00:04:43,560 --> 00:04:45,599
Desta forma temos:

73
00:04:45,599 --> 00:04:52,432
a parcial de r em relação a u
multiplicado por du

74
00:04:52,432 --> 00:04:54,534
-- isto nos dá um vetor --

75
00:04:54,534 --> 00:05:04,046
e calculamos o produto vetorial deste 
termo pela parcial de v em relação a v dv.

76
00:05:06,120 --> 00:05:10,061
Isto pode parecer diferente pelo 
ponto de vista notacional,

77
00:05:10,061 --> 00:05:14,577
mas isto vem da necessidade de, quando 
calculando derivadas parciais, dizer:

78
00:05:14,577 --> 00:05:18,570
-- oh, esta função vetorial está definida 
e é uma função de variáveis múltiplas.

79
00:05:18,591 --> 00:05:22,322
E este termo está tirando a derivada com 
respeito a apenas uma delas. --

80
00:05:22,322 --> 00:05:26,049
Este termo representa o quanto o vetor 
varia dada uma pequena variação em u.

81
00:05:26,049 --> 00:05:29,327
Mas esta também é uma variação 
infinitamente pequena em um aqui;

82
00:05:29,327 --> 00:05:31,911
Só estamos usando uma notação 
ligeiramente diferente.

83
00:05:31,911 --> 00:05:34,917
Na verdade isto é um pouco de sopa 
de notações matemáticas,

84
00:05:34,917 --> 00:05:38,466
eu espero que você consiga captar a 
idéia do porque a forma pode variar.

85
00:05:38,599 --> 00:05:41,669
Estas são essencialmente 
a mesma quantidade.

86
00:05:41,669 --> 00:05:45,845
Dividindo e multiplicando algo pela mesma 
quantidade, isto se cancela.

87
00:05:45,845 --> 00:05:49,331
Aqui está sendo dividido e multiplicado 
pelo mesmo, podemos cancelar

88
00:05:49,337 --> 00:05:55,327
E tudo que nos sobra então é
a diferencial de r,

89
00:05:55,328 --> 00:05:58,372
e já que nós perdemos a informação que 
está na direção u aqui,

90
00:05:58,372 --> 00:06:00,968
vou escrever a diferencial 
de r na direção u.

91
00:06:00,968 --> 00:06:02,421
Não se confunda com a notação.

92
00:06:02,421 --> 00:06:05,504
Isto é apenas a diferencial, 
representando quando r mudou.

93
00:06:05,504 --> 00:06:09,829
Esta não é a derivada parcial 
de r em relação a u.

94
00:06:09,829 --> 00:06:14,932
Este termo representa quanto r mudou 
por mundança unitária em u.

95
00:06:14,932 --> 00:06:18,262
Esta é uma diferencial que representa,

96
00:06:18,262 --> 00:06:23,335
quando u varia, isto é a pequena 
variação em que ocorre em r.

97
00:06:23,728 --> 00:06:27,004
Isto não representa uma mudança em r em 
relação a uma mudança em u.

98
00:06:27,004 --> 00:06:34,596
E nós vamos calcular o produto vetorial
disto com a parcial de r na direção v.

99
00:06:34,596 --> 00:06:37,196
Agora, vamos conceptualizar isto:

100
00:06:37,196 --> 00:06:41,780
estamos voltando à visão original do que 
se trata uma integral de superfície.

101
00:06:41,796 --> 00:06:47,338
Se nós estivessemos em uma superfície 
-- eu vou desenhar uma superfície aqui --

102
00:06:47,338 --> 00:06:51,350
Se desenhamos uma superfície, para uma 
pequena variação em u

103
00:06:51,350 --> 00:06:54,577
-- não estou falando da taxa de variação;
estou apenas me referindo

104
00:06:54,577 --> 00:06:55,932
a alguma variação em r. --

105
00:06:55,932 --> 00:06:57,861
Se você está indo naquela direção,

106
00:06:57,861 --> 00:07:00,929
se este termo se parece com este vetor,

107
00:07:00,929 --> 00:07:05,004
isto é na verdade uma espécie de distância
percorrida na superfície,

108
00:07:05,004 --> 00:07:09,212
lembre-se que isto não é a derivada, 
isto é a diferencial.

109
00:07:09,212 --> 00:07:13,118
Isto é uma pequena variação ao longo da 
superfície.

110
00:07:13,129 --> 00:07:16,590
E isto é uma pequena variação 
quando você varia v,

111
00:07:16,590 --> 00:07:19,292
então também este termo varia 
ao longo da superfície.

112
00:07:19,292 --> 00:07:22,634
Quando você calcula o produto vetorial 
destas duas coisas, você obtém

113
00:07:22,634 --> 00:07:32,967
um vetor que é ortogonal, normal à esta 
superfície e sua magnitude

114
00:07:32,967 --> 00:07:37,468
-- e nós vimos isto quando aprendemos a 
a respeito de produto vetorial --

115
00:07:37,468 --> 00:07:41,875
sua magnitude é igual a área definida 
por estes dois vetores.

116
00:07:41,875 --> 00:07:49,391
Sua magnitude é igual à sua área.

117
00:07:49,391 --> 00:07:56,800
Você pode pensar a respeito disto como um 
vetor unitário normal vezes dS.

118
00:07:56,800 --> 00:08:03,408
Isto é então uma espécie de dS, já que 
isto é uma versão vetorial de dS.

119
00:08:03,408 --> 00:08:06,323
Aqui em cima o que está representado é 
simplesmente uma área.

120
00:08:06,323 --> 00:08:08,388
dS aqui é um valor escalar.

121
00:08:08,388 --> 00:08:13,331
Mas agora temos um vetor que aponta 
ortogonal à superfície através da normal.

122
00:08:13,331 --> 00:08:16,904
Porém sua magnitude é a mesma 
que aquele dS lá em cima.

123
00:08:16,908 --> 00:08:21,909
Então podemos chamar isto de dS.

124
00:08:21,909 --> 00:08:24,709
A principal diferença agora é que
isto é um vetor agora.

125
00:08:24,709 --> 00:08:27,712
Por isto chamaremos isto de dS com um 
pequeno vetor sobre ele,

126
00:08:27,712 --> 00:08:30,610
para ficar claro que estamos nos referindo
a isto aqui,

127
00:08:30,610 --> 00:08:33,663
este não é o dS escalar que se preocupa 
simplesmente com a área.

128
00:08:33,663 --> 00:08:35,462
Quando você olha por esta perspectiva

129
00:08:35,462 --> 00:08:38,934
-- nós acabamos de ver que esta equação 
é simplificada para dS --

130
00:08:38,934 --> 00:08:42,836
então toda nossa integral de superfície 
pode ser reescrita.

131
00:08:42,836 --> 00:08:48,148
No lugar de escrevermos desta forma, 
podemos escrever:

132
00:08:48,157 --> 00:08:51,207
a integral de superfície

133
00:08:51,207 --> 00:08:53,798
-- estes símbolos de integral 
são muito chiques --

134
00:08:53,798 --> 00:08:58,516
a integral de superfície 
de F multiplicando,

135
00:08:58,516 --> 00:09:01,544
no lugar de dizermos o vetor normal 
vezes a quantidade escalar,

136
00:09:01,544 --> 00:09:03,909
ou seja, aquela pequena 
área de superfície,

137
00:09:03,909 --> 00:09:07,264
podemos chamá-lo de vetor diferencial dS.

138
00:09:07,264 --> 00:09:10,689
E o que eu quero deixar claro é 
que isto são duas coisas diferentes:

139
00:09:10,689 --> 00:09:12,019
Isto é um vetor,

140
00:09:12,019 --> 00:09:14,346
isto é essencialmente o
que ele representa

141
00:09:14,346 --> 00:09:17,741
e este aqui é o escalar multiplicado 
pelo vetor normal.

142
00:09:17,741 --> 00:09:20,818
Então estas são 3 diferente formas 
de representar a mesma coisa.

143
00:09:20,818 --> 00:09:23,498
E em diferentes contextos, 
você verá coisas diferentes,

144
00:09:23,498 --> 00:09:26,039
dependendo do que o autor 
esteja tentando comunicar.

145
00:09:26,039 --> 00:09:29,373
Este aqui é o que usaremos 
mais frequentemente,

146
00:09:29,373 --> 00:09:32,287
quando tentamos calcular 
estas integrais de superfície.

147
00:09:32,287 --> 00:09:34,647
[ Legendado por: José Irigon ]
[Revisado por: Luiz Marangoni]