No último vídeo, nós construímos um vetor unitário normal à superfície
e agora podemos usar isto na nossa integral de superfície original
para simplificar um pouco
-- ou pelo menos nos dar uma pista de como podemos calcular estas coisas --
E também pensar a respeito de maneiras alternativas
para representarmos este tipo de integral de superfície.
Se nós substituírmos o resultado do nosso vetor unitário normal,
nós teremos...
a integral de superfície de
F escalar toda esta equação aqui,
-- vou escrever tudo em branco, para não nos tomar muito tempo... --
o produto vetorial da parcial de ru com a parcial de rv
sobre a magnitude da mesma coisa:
o produto vetorial parcial de ru com a parcial de rv.
Agora, nós já jogamos bastante com dS, e sabemos que outra maneira de escrever dS
-- e eu espero que eu tenha dado uma introdução a esta idéia
quando exploramos a idéia por trás da integral de superfície --
Sabemos que dS por ser representado pela magnitude
do produto vetorial de ru por rv dudv.
Obviamente du dv pode ser escrito como dv du.
Você poderia escrever como dA, uma pequena área no domínio uv.
E já que agora esta integral é em termos de (u,v)
nós não estamos mais calculando a integral de uma superfície;
agora estamos calculando a integral dupla no domínio uv.
Poderíamos dizer uma espécie de região em (u,v).
Vou escrever R para demonstrar que é uma região no plano uv, a que nos referimos.
Bom, me parece que tem uma grande simplificação a ser feita por aqui...
Nós estamos dividindo pela magnitude do produto vetorial de ru por rv
e depois estamos multiplicando pela mesma magnitude.
Estas são simples quantidades escalares.
Se você divide e multiplica pela mesma coisa...
Isto é o mesmo que multiplicar ou dividir por 1.
Sendo assim, estes dois elementos se cancelam,
E o que nos resta é
a integral dupla sobre a região R no plano uv do nosso campo vetorial F,
escalar por este produto vetorial ru x rv.
Isto nos dará um vetor normal,
e quando dividimos por sua magnitude,
ele nos dá um vetor normal unitário.
Então nós pegamos o produto escalar de F com o
produto vetorial de ru com rv, du dv.
-- vamos arrastar a tela um pouco para a direita --
E nós veremos a seguir que é assim que nós calculamos este tipo de equação.
Se você tiver uma parametrização, você pode traduzir isto em termos de (u,v).
Para finalizar, vamos explorar uma forma alternativa na qual você também verá
a integral de superfície escrita desta forma.
E isto é alcançado escrevendo esta parte de uma outra maneira.
Talvez isto lhe de uma noção do que isto aqui representa.
Eu vou reescrever esta parte da equação
Eu vou usar uma notação um pouco diferente,
e eu espero que faça mais sentido desta forma.
Então a parcial de r em relação a u eu posso escrever como ∂r/∂u,
e nós vamos calcular o produto vetorial
-- vou reescrever o u melhor para não ser confundido com um v --
e vamos tirar o produto parcial disto de r em relação à v.
Aqui temos pequenas mudanças na parametrização e na posição do vetor,
produzindo uma pequena modificação em v.
Uma mínima mudança no vetor, produzindo uma mínima variação em u.
Agora multiplicamos isto por du dv.
du e dv são quantidades escalares.
du e dv são infinitamente pequenas,
e eles não são vetores, mas quantidades escalares mínimas.
Desta forma podemos incluí-los,
da mesma forma que, se temos um produto vetorial de a por b multiplicado por
um escalar você pode reescrevê-lo como o produto vetorial de xa por b.
ou você poderia dizer que isto é o produto vetorial de a por xb. (x vezes b)
porque x é um simples valor escalar.
Aqui podemos fazer o mesmo reescrevendo toda esta parte como ...
-- e eu vou agrupar du, onde temos a parcial
em relação a u no denominador
e vou fazer o mesmo com os 'v's --
Desta forma temos:
a parcial de r em relação a u multiplicado por du
-- isto nos dá um vetor --
e calculamos o produto vetorial deste termo pela parcial de v em relação a v dv.
Isto pode parecer diferente pelo ponto de vista notacional,
mas isto vem da necessidade de, quando calculando derivadas parciais, dizer:
-- oh, esta função vetorial está definida e é uma função de variáveis múltiplas.
E este termo está tirando a derivada com respeito a apenas uma delas. --
Este termo representa o quanto o vetor varia dada uma pequena variação em u.
Mas esta também é uma variação infinitamente pequena em um aqui;
Só estamos usando uma notação ligeiramente diferente.
Na verdade isto é um pouco de sopa de notações matemáticas,
eu espero que você consiga captar a idéia do porque a forma pode variar.
Estas são essencialmente a mesma quantidade.
Dividindo e multiplicando algo pela mesma quantidade, isto se cancela.
Aqui está sendo dividido e multiplicado pelo mesmo, podemos cancelar
E tudo que nos sobra então é a diferencial de r,
e já que nós perdemos a informação que está na direção u aqui,
vou escrever a diferencial de r na direção u.
Não se confunda com a notação.
Isto é apenas a diferencial, representando quando r mudou.
Esta não é a derivada parcial de r em relação a u.
Este termo representa quanto r mudou por mundança unitária em u.
Esta é uma diferencial que representa,
quando u varia, isto é a pequena variação em que ocorre em r.
Isto não representa uma mudança em r em relação a uma mudança em u.
E nós vamos calcular o produto vetorial disto com a parcial de r na direção v.
Agora, vamos conceptualizar isto:
estamos voltando à visão original do que se trata uma integral de superfície.
Se nós estivessemos em uma superfície -- eu vou desenhar uma superfície aqui --
Se desenhamos uma superfície, para uma pequena variação em u
-- não estou falando da taxa de variação; estou apenas me referindo
a alguma variação em r. --
Se você está indo naquela direção,
se este termo se parece com este vetor,
isto é na verdade uma espécie de distância percorrida na superfície,
lembre-se que isto não é a derivada, isto é a diferencial.
Isto é uma pequena variação ao longo da superfície.
E isto é uma pequena variação quando você varia v,
então também este termo varia ao longo da superfície.
Quando você calcula o produto vetorial destas duas coisas, você obtém
um vetor que é ortogonal, normal à esta superfície e sua magnitude
-- e nós vimos isto quando aprendemos a a respeito de produto vetorial --
sua magnitude é igual a área definida por estes dois vetores.
Sua magnitude é igual à sua área.
Você pode pensar a respeito disto como um vetor unitário normal vezes dS.
Isto é então uma espécie de dS, já que isto é uma versão vetorial de dS.
Aqui em cima o que está representado é simplesmente uma área.
dS aqui é um valor escalar.
Mas agora temos um vetor que aponta ortogonal à superfície através da normal.
Porém sua magnitude é a mesma que aquele dS lá em cima.
Então podemos chamar isto de dS.
A principal diferença agora é que isto é um vetor agora.
Por isto chamaremos isto de dS com um pequeno vetor sobre ele,
para ficar claro que estamos nos referindo a isto aqui,
este não é o dS escalar que se preocupa simplesmente com a área.
Quando você olha por esta perspectiva
-- nós acabamos de ver que esta equação é simplificada para dS --
então toda nossa integral de superfície pode ser reescrita.
No lugar de escrevermos desta forma, podemos escrever:
a integral de superfície
-- estes símbolos de integral são muito chiques --
a integral de superfície de F multiplicando,
no lugar de dizermos o vetor normal vezes a quantidade escalar,
ou seja, aquela pequena área de superfície,
podemos chamá-lo de vetor diferencial dS.
E o que eu quero deixar claro é que isto são duas coisas diferentes:
Isto é um vetor,
isto é essencialmente o que ele representa
e este aqui é o escalar multiplicado pelo vetor normal.
Então estas são 3 diferente formas de representar a mesma coisa.
E em diferentes contextos, você verá coisas diferentes,
dependendo do que o autor esteja tentando comunicar.
Este aqui é o que usaremos mais frequentemente,
quando tentamos calcular estas integrais de superfície.
[ Legendado por: José Irigon ] [Revisado por: Luiz Marangoni]