Döntsük el, hogy az alábbi számok közül
melyik prím, melyik összetett, és melyik egyik sem.
Ismételjünk egy kicsit:
a prímszám olyan pozitív egész szám
– 1, 2, 3, 4, 5, 6 és így tovább –,
aminek pontosan két osztója van, az 1 és önmaga.
Például a 3 prímszám,
mert csak két olyan pozitív egész szám van,
amivel a 3 osztható, az 1 és a 3.
Vagy úgy is fogalmazhatunk,
hogy a 3 csak egyféleképpen írható fel
pozitív egész számok szorzataként, úgy, hogy 1 ⋅ 3.
Tehát csak az 1 és önmaga az osztója.
Az összetett szám olyan pozitív egész szám,
aminek kettőnél több osztója van, nem csak az 1 és önmaga.
Nézünk példákat erre,
és arra is, hogy se nem prím, se nem összetett,
lesz egy ilyen is ebben a feladványban.
Nézzük először a 24-et.
Keressük meg az összes pozitív egész számot
– vagy természetes számot,
de a természetes számok halmazába a 0 is beletartozik –,
az összes pozitív egész számot,
amivel osztható a 24 maradék nélkül.
Ezeket tekintjük osztóknak.
Nos, biztosan osztható 1-gyel és 24-gyel,
mert 1 ⋅ 24 = 24.
De 2-vel is osztható,
2 ⋅ 12 = 24,
és akkor 12-vel is osztható.
A 24 osztható 3-mal is,
3 ⋅ 8 = 24, tehát 8-cal is osztható.
Nem is kell megkeresni az összes osztót,
hogy megállapítsuk, hogy ez nem prím.
Világos, hogy több osztója van, mint az 1 és önmaga,
úgyhogy egyértelmű, hogy összetett szám lesz,
a 24 összetett szám.
De ha már elkezdtük, keressük meg az összes osztót.
Néggyel is osztható, 4 ⋅ 6 az 24.
Ideírom a 4-et és a 6-ot is.
Tehát ezek a 24 osztói.
Kettőnél több osztója van, nem csak az 1 és a 24.
Most nézzük meg a kettőt.
Azok a pozitív egész számok, amik megvannak a 2-ben,
az 1 és a 2, mert 1 ⋅ 2 = 2.
De más szám nem osztója a 2-nek,
vagyis csak két osztója lesz, az 1 és önmaga.
Ez pedig éppen a prímszám definíciója,
tehát a 2 prímszám.
A 2 azért érdekes, mert ez az egyetlen páros prímszám.
Ez józan ésszel is belátható,
hiszen minden páros szám osztható kettővel.
A 2 osztható kettővel, emiatt páros szám.
De csak a kettővel és az eggyel osztható, emiatt pedig prímszám.
Az összes többi páros szám osztható lesz
eggyel, önmagával és kettővel.
A többi páros számnak osztója lesz az 1, önmaga és még egy szám,
vagyis összetett szám lesz.
Tehát a 2 prímszám,
az összes többi páros szám viszont összetett szám.
Itt pedig egy érdekes eset, az 1.
Az 1 csak 1-gyel osztható,
így aztán nem lehet prím.
Mivel csak az 1 az osztója, nincs két osztója.
Az 1-nek önmaga is 1, de ahhoz hogy prím legyen,
pontosan két osztójának kellene lennie.
Az 1-nek csak egy osztója van.
Ahhoz, hogy összetett szám legyen,
kettőnél több osztójának kellene lennie,
1, önmaga és még valami.
Tehát az 1 nem összetett szám.
Az 1 akkor egyik sem.
És a végén itt van még a 17.
A 17 osztható 1-gyel és 17-tel,
nem osztható a 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
számok egyikével sem.
Úgyhogy pontosan két osztója van, az 1 és önmaga,
vagyis a 17 prímszám.