Döntsük el, hogy az alábbi 
számok közül

melyik prím, melyik összetett,
és melyik egyik sem.

Ismételjünk egy kicsit:

a prímszám olyan pozitív egész szám

– 1, 2, 3, 4, 5, 6 és így tovább –,

aminek pontosan két osztója van,
az 1 és önmaga.

Például a 3 prímszám,

mert csak két olyan pozitív
egész szám van,

amivel a 3 osztható,
az 1 és a 3.

Vagy úgy is fogalmazhatunk,

hogy a 3 csak egyféleképpen
írható fel

pozitív egész számok szorzataként,
úgy, hogy 1 ⋅ 3.

Tehát csak az 1 és önmaga 
az osztója.

Az összetett szám
olyan pozitív egész szám,

aminek kettőnél több osztója van,
nem csak az 1 és önmaga.

Nézünk példákat erre,

és arra is, hogy se nem prím, 
se nem összetett,

lesz egy ilyen is 
ebben a feladványban.

Nézzük először a 24-et.

Keressük meg az összes 
pozitív egész számot

– vagy természetes számot,

de a természetes számok 
halmazába a 0 is beletartozik –,

az összes pozitív egész számot,

amivel osztható a 24
maradék nélkül.

Ezeket tekintjük osztóknak.

Nos, biztosan osztható 
1-gyel és 24-gyel,

mert 1 ⋅ 24 = 24.

De 2-vel is osztható,

2 ⋅ 12 = 24,

és akkor 12-vel is osztható.

A 24 osztható 3-mal is,

3 ⋅ 8 = 24,
tehát 8-cal is osztható.

Nem is kell megkeresni
az összes osztót,

hogy megállapítsuk,
hogy ez nem prím.

Világos, hogy több osztója van, 
mint az 1 és önmaga,

úgyhogy egyértelmű,
hogy összetett szám lesz,

a 24 összetett szám.

De ha már elkezdtük, 
keressük meg az összes osztót.

Néggyel is osztható, 
4 ⋅ 6 az 24.

Ideírom a 4-et és a 6-ot is.

Tehát ezek a 24 osztói.

Kettőnél több osztója van,
nem csak az 1 és a 24.

Most nézzük meg a kettőt.

Azok a pozitív egész számok,
amik megvannak a 2-ben,

az 1 és a 2, mert 1 ⋅ 2 = 2.

De más szám nem osztója a 2-nek,

vagyis csak két osztója lesz, 
az 1 és önmaga.

Ez pedig éppen 
a prímszám definíciója,

tehát a 2 prímszám.

A 2 azért érdekes, mert
ez az egyetlen páros prímszám.

Ez józan ésszel is belátható,

hiszen minden páros szám
osztható kettővel.

A 2 osztható kettővel, 
emiatt páros szám.

De csak a kettővel és az eggyel osztható, 
emiatt pedig prímszám.

Az összes többi páros szám 
osztható lesz

eggyel, önmagával és kettővel.

A többi páros számnak osztója lesz 
az 1, önmaga és még egy szám,

vagyis összetett szám lesz.

Tehát a 2 prímszám,

az összes többi páros szám 
viszont összetett szám.

Itt pedig egy érdekes eset, az 1.

Az 1 csak 1-gyel osztható,

így aztán nem lehet prím.

Mivel csak az 1 az osztója, 
nincs két osztója.

Az 1-nek önmaga is 1, 
de ahhoz hogy prím legyen,

pontosan két osztójának 
kellene lennie.

Az 1-nek csak egy osztója van.

Ahhoz, hogy összetett szám legyen,

kettőnél több osztójának
kellene lennie,

1, önmaga és még valami.

Tehát az 1 nem összetett szám.

Az 1 akkor egyik sem.

És a végén itt van még a 17.

A 17 osztható 1-gyel és 17-tel,

nem osztható a 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

számok egyikével sem.

Úgyhogy pontosan két osztója van, 
az 1 és önmaga,

vagyis a 17 prímszám.