WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:02.810
Вече видяхме, че когато
повдигаме числото i

00:00:02.810 --> 00:00:06.740
на все по-големи степени,
резултатът се върти

00:00:06.740 --> 00:00:11.260
между 1, i, -1, -i
и после пак същото

00:00:11.260 --> 00:00:12.290
се повтаря.

00:00:12.290 --> 00:00:14.155
Искам да използвам това,

00:00:14.155 --> 00:00:15.780
за да решим някои по-сложни задачи.

00:00:15.780 --> 00:00:17.110
Ще видиш колко лесни ще станат.

00:00:17.110 --> 00:00:18.526
Те също са и забавни за решаване,

00:00:18.526 --> 00:00:22.180
когато използваш,
че степените на i

00:00:22.180 --> 00:00:23.320
се въртят между тези стойности.

00:00:23.320 --> 00:00:25.990
Така ще можеш да намериш бързо

00:00:25.990 --> 00:00:29.100
произволно големи степени на i.

00:00:29.100 --> 00:00:31.650
Да опитаме.

00:00:31.650 --> 00:00:35.310
От любопитство ще започнем
с i на степен 100.

00:00:35.310 --> 00:00:39.280
Тук е важно, че 100 се дели на 4.

00:00:39.280 --> 00:00:43.800
Това е равно на i

00:00:43.800 --> 00:00:47.467
на степен 4 по 25.

00:00:47.467 --> 00:00:50.050
От свойствата на степените следва,

00:00:50.050 --> 00:00:55.167
че това е равно на i на четвърта,
цялото на 25-та степен.

00:00:55.167 --> 00:00:57.000
Използвахме свойството,

00:00:57.000 --> 00:00:59.090
че степенуването на степен

00:00:59.090 --> 00:01:02.300
дава умножение на степените.

00:01:02.300 --> 00:01:04.170
Знаем колко е i на четвърта.

00:01:04.170 --> 00:01:05.420
Това е лесно.

00:01:05.420 --> 00:01:07.390
i на четвърта е 1.

00:01:07.390 --> 00:01:09.590
Значи тук имаме 1

00:01:09.590 --> 00:01:12.300
и търсим 1 на степен 25,

00:01:12.300 --> 00:01:15.910
което е равно на 1.

00:01:15.910 --> 00:01:18.867
Какво направихме?

00:01:18.867 --> 00:01:20.450
Използвахме повтарянето на степените,

00:01:20.450 --> 00:01:22.672
за да намерим i
на много голяма степен.

00:01:22.672 --> 00:01:24.880
Нека да опитаме нещо по-различно.

00:01:27.730 --> 00:01:31.200
Да опитаме с i на степен 501.

00:01:31.200 --> 00:01:34.620
В този случай степента 501
не се дели на 4.

00:01:34.620 --> 00:01:36.310
Не можем да я решим толкова просто.

00:01:36.310 --> 00:01:38.226
Но можем да я разложим

00:01:38.226 --> 00:01:41.500
на произведение от две числа,

00:01:41.500 --> 00:01:44.140
едното от които със степен,
която се дели на 4.

00:01:44.140 --> 00:01:45.580
Другият множител няма да е такъв.

00:01:45.580 --> 00:01:47.050
Можем да го преобразуваме.

00:01:47.050 --> 00:01:50.390
500 се дели на 4.

00:01:50.390 --> 00:01:56.000
Преобразуваме израза до
i на степен 500

00:01:56.000 --> 00:01:56.960
по i на първа степен.

00:01:56.960 --> 00:01:58.070
Нали? Основата е еднаква

00:01:58.070 --> 00:01:59.840
и при умножаването
степените се събират.

00:01:59.840 --> 00:02:02.960
Това е равно на i на степен 501.

00:02:02.960 --> 00:02:05.170
Можем да разложим

00:02:05.170 --> 00:02:07.920
i на степен 500

00:02:07.920 --> 00:02:10.050
до i на четвърта

00:02:10.050 --> 00:02:11.700
на някаква степен.

00:02:11.700 --> 00:02:14.760
4 по 125 е 500,

00:02:14.760 --> 00:02:17.280
значи i на степен 500

00:02:17.280 --> 00:02:21.510
е равно на i на четвърта,
цялото на степен 125.

00:02:21.510 --> 00:02:26.150
И това е умножено по i на първа.

00:02:26.150 --> 00:02:27.800
Знам, че i на четвърта степен
е 1.

00:02:27.800 --> 00:02:31.690
1 на степен 125 пак е 1.

00:02:31.690 --> 00:02:33.130
Цялото това е равно на 1.

00:02:33.130 --> 00:02:37.140
Остава ни само
i на първа.

00:02:37.140 --> 00:02:39.222
Значи това цялото е равно на i.

00:02:39.222 --> 00:02:41.430
Тази задача на пръв поглед

00:02:41.430 --> 00:02:43.180
изглежда сложна
и с дълги изчисления,

00:02:43.180 --> 00:02:46.090
но със зависимостта виждаме,
че i на степен 500

00:02:46.090 --> 00:02:47.620
е равно просто на 1.

00:02:47.620 --> 00:02:51.690
Оттук i на степен 501
е просто i по това.

00:02:51.690 --> 00:02:55.060
Нека да обобщя.

00:02:55.060 --> 00:03:00.450
Повдигаме i на произволна 
степен, кратна на 4.

00:03:00.450 --> 00:03:04.030
Записвам го като i на степен 4k,

00:03:04.030 --> 00:03:06.380
където k е положително,
по-голямо или равно на 0.

00:03:06.380 --> 00:03:10.250
Стойността на това число

00:03:10.250 --> 00:03:16.130
е равна на 1,
защото това е равно на

00:03:16.130 --> 00:03:19.280
i на четвърта,
цялото на степен k.

00:03:19.280 --> 00:03:22.180
Това е равно на 1 на степен k,

00:03:22.180 --> 00:03:23.960
което очевидно е равно на 1.

00:03:23.960 --> 00:03:25.510
Ако имаме друга степен,

00:03:25.510 --> 00:03:29.340
да речем 4k + 1
или 4k + 2,

00:03:29.340 --> 00:03:31.640
тогава можем да приложим
тази техника.

00:03:31.640 --> 00:03:33.640
Да опитаме с още
няколко задачи.

00:03:33.640 --> 00:03:35.920
Така ще е ясно,
че можем да намираме

00:03:35.920 --> 00:03:38.200
произволни степени.

00:03:38.200 --> 00:03:45.020
Да вземем i на степен 7321.

00:03:45.020 --> 00:03:47.540
Просто трябва да намерим
остатъка при деление на 4.

00:03:47.540 --> 00:03:52.940
Това е 4 по нещо
плюс нещо друго.

00:03:52.940 --> 00:03:55.870
Можем да намерим остатъка
и на око,

00:03:55.870 --> 00:03:58.870
като съобразим,
че 7320 се дели на 4.

00:03:58.870 --> 00:04:00.270
Може да се убедиш,
като го изчислиш.

00:04:00.270 --> 00:04:02.160
И остава
остатък 1.

00:04:02.160 --> 00:04:08.020
Числото е равно на
i на степен 7320

00:04:08.020 --> 00:04:09.770
по i на първа.

00:04:09.770 --> 00:04:12.905
Тази степен
се дели на 4,

00:04:12.905 --> 00:04:17.240
знам това, защото всяка
1000 се дели на 4,

00:04:17.240 --> 00:04:21.209
всеки 100 също,
и останалото 20 се дели на 4,

00:04:21.209 --> 00:04:24.497
значи това число се дели на 4.

00:04:24.497 --> 00:04:26.080
Това е 1 по i на първа,

00:04:26.080 --> 00:04:28.960
тук съм объркал 1 с i в степента.

00:04:28.960 --> 00:04:33.240
7321 е 7320 + 1.

00:04:33.240 --> 00:04:37.287
Тази част се опростява
до 1

00:04:37.287 --> 00:04:38.870
и остава само i на първа,

00:04:38.870 --> 00:04:41.100
или просто i.

00:04:41.100 --> 00:04:42.600
Да направим още една.

00:04:42.600 --> 00:04:50.860
Да опитам с нещо
по-интересно.

00:04:54.030 --> 00:04:56.230
i на степен 99.

00:04:56.230 --> 00:04:58.860
Коя е най-голямото
кратно на 4,

00:04:58.860 --> 00:05:01.490
което е по-малко от 99?

00:05:01.490 --> 00:05:02.590
Това е 96.

00:05:05.230 --> 00:05:08.930
Значи това е равно
на i на степен 96

00:05:08.930 --> 00:05:11.400
по i на трета. Нали?

00:05:11.400 --> 00:05:14.320
Двата множителя
са с еднаква основа

00:05:14.320 --> 00:05:16.840
и като съберем степените
става 99.

00:05:16.840 --> 00:05:20.410
i на 96 степен,
тъй като степента е кратна на 4,

00:05:20.410 --> 00:05:23.740
е равно на i на 4-та,
цялото на 16-та степен.

00:05:23.740 --> 00:05:26.850
Това е равно на
1 на 16-та, или само 1.

00:05:26.850 --> 00:05:29.670
Остава ни само i на трета.

00:05:29.670 --> 00:05:32.940
Можем просто да си спомним

00:05:32.940 --> 00:05:35.630
на колко е равно това,

00:05:35.630 --> 00:05:36.880
това е -1.

00:05:36.880 --> 00:05:39.270
Ако не го помниш,

00:05:39.270 --> 00:05:42.480
можеш да го разложиш до
i на втора по i.

00:05:42.480 --> 00:05:45.360
Това се пресмята лесно.

00:05:45.360 --> 00:05:48.800
По определение i на втора
е равно на -1.

00:05:48.800 --> 00:05:55.340
Имаме -1 по i,
което е -i.

00:05:55.340 --> 00:05:58.890
Нека се позабавляваме
с един последен пример.

00:05:58.890 --> 00:06:01.840
Да повдигнем i
на степен 38.

00:06:01.840 --> 00:06:03.450
По същия начин разлагам

00:06:03.450 --> 00:06:07.230
до i на степен 36
плюс i на втора.

00:06:07.230 --> 00:06:09.040
Избрах степента 36,
защото тя е

00:06:09.040 --> 00:06:11.920
най-голямото кратно на 4,
което се побира в 38.

00:06:11.920 --> 00:06:13.730
Остава ни 2.

00:06:13.730 --> 00:06:15.870
Тази степен е равна на 1

00:06:15.870 --> 00:06:20.530
и остава i на втора,
което е -1.