Вече видяхме, че когато повдигаме числото i
на все по-големи степени, резултатът се върти
между 1, i, -1, -i и после пак същото
се повтаря.
Искам да използвам това,
за да решим някои по-сложни задачи.
Ще видиш колко лесни ще станат.
Те също са и забавни за решаване,
когато използваш, че степените на i
се въртят между тези стойности.
Така ще можеш да намериш бързо
произволно големи степени на i.
Да опитаме.
От любопитство ще започнем с i на степен 100.
Тук е важно, че 100 се дели на 4.
Това е равно на i
на степен 4 по 25.
От свойствата на степените следва,
че това е равно на i на четвърта, цялото на 25-та степен.
Използвахме свойството,
че степенуването на степен
дава умножение на степените.
Знаем колко е i на четвърта.
Това е лесно.
i на четвърта е 1.
Значи тук имаме 1
и търсим 1 на степен 25,
което е равно на 1.
Какво направихме?
Използвахме повтарянето на степените,
за да намерим i на много голяма степен.
Нека да опитаме нещо по-различно.
Да опитаме с i на степен 501.
В този случай степента 501 не се дели на 4.
Не можем да я решим толкова просто.
Но можем да я разложим
на произведение от две числа,
едното от които със степен, която се дели на 4.
Другият множител няма да е такъв.
Можем да го преобразуваме.
500 се дели на 4.
Преобразуваме израза до i на степен 500
по i на първа степен.
Нали? Основата е еднаква
и при умножаването степените се събират.
Това е равно на i на степен 501.
Можем да разложим
i на степен 500
до i на четвърта
на някаква степен.
4 по 125 е 500,
значи i на степен 500
е равно на i на четвърта, цялото на степен 125.
И това е умножено по i на първа.
Знам, че i на четвърта степен е 1.
1 на степен 125 пак е 1.
Цялото това е равно на 1.
Остава ни само i на първа.
Значи това цялото е равно на i.
Тази задача на пръв поглед
изглежда сложна и с дълги изчисления,
но със зависимостта виждаме, че i на степен 500
е равно просто на 1.
Оттук i на степен 501 е просто i по това.
Нека да обобщя.
Повдигаме i на произволна степен, кратна на 4.
Записвам го като i на степен 4k,
където k е положително, по-голямо или равно на 0.
Стойността на това число
е равна на 1, защото това е равно на
i на четвърта, цялото на степен k.
Това е равно на 1 на степен k,
което очевидно е равно на 1.
Ако имаме друга степен,
да речем 4k + 1 или 4k + 2,
тогава можем да приложим тази техника.
Да опитаме с още няколко задачи.
Така ще е ясно, че можем да намираме
произволни степени.
Да вземем i на степен 7321.
Просто трябва да намерим остатъка при деление на 4.
Това е 4 по нещо плюс нещо друго.
Можем да намерим остатъка и на око,
като съобразим, че 7320 се дели на 4.
Може да се убедиш, като го изчислиш.
И остава остатък 1.
Числото е равно на i на степен 7320
по i на първа.
Тази степен се дели на 4,
знам това, защото всяка 1000 се дели на 4,
всеки 100 също, и останалото 20 се дели на 4,
значи това число се дели на 4.
Това е 1 по i на първа,
тук съм объркал 1 с i в степента.
7321 е 7320 + 1.
Тази част се опростява до 1
и остава само i на първа,
или просто i.
Да направим още една.
Да опитам с нещо по-интересно.
i на степен 99.
Коя е най-голямото кратно на 4,
което е по-малко от 99?
Това е 96.
Значи това е равно на i на степен 96
по i на трета. Нали?
Двата множителя са с еднаква основа
и като съберем степените става 99.
i на 96 степен, тъй като степента е кратна на 4,
е равно на i на 4-та, цялото на 16-та степен.
Това е равно на 1 на 16-та, или само 1.
Остава ни само i на трета.
Можем просто да си спомним
на колко е равно това,
това е -1.
Ако не го помниш,
можеш да го разложиш до i на втора по i.
Това се пресмята лесно.
По определение i на втора е равно на -1.
Имаме -1 по i, което е -i.
Нека се позабавляваме с един последен пример.
Да повдигнем i на степен 38.
По същия начин разлагам
до i на степен 36 плюс i на втора.
Избрах степента 36, защото тя е
най-голямото кратно на 4, което се побира в 38.
Остава ни 2.
Тази степен е равна на 1
и остава i на втора, което е -1.