0:00:00.372,0:00:09.400
Maintenant que nous avons vu que lorsque l'on élève i à une puissance entière, on oscille entre 1 ,i ,(-1) et (-i)

0:00:09.400,0:00:15.067
et que l'on revient à 1 puis i, (-1) et (-i) essayons d'utiliser

0:00:15.067,0:00:19.133
ces propriétés pour résoudre d'autres problèmes

0:00:19.133,0:00:24.381
plus complexes en utilisant la périodicité des puissances de i.

0:00:24.381,0:00:31.718
Par exemple, élevons i à une puissance arbitraire :

0:00:31.718,0:00:40.078
voyons ce que donne i élevé à la puissance 100. On sait que 100 est un multiple de 4, donc

0:00:40.078,0:00:48.267
on peut dire que c'est i puissance 4 élevé à la puissance 25,

0:00:48.267,0:00:56.400
grâce aux propriétés sur les exposants (cours de 4ème)

0:00:56.400,0:00:59.600
Un nombre a élevé à la puissance n lui même élevé à la puissance p revient à

0:00:59.600,0:01:04.900
élever le nombre a à la puissance n×p.

0:01:04.900,0:01:10.733
Donc comme i^4 donne 1, on remplace dans l'équation

0:01:10.733,0:01:17.021
et 1^25 donne 1.

0:01:17.021,0:01:21.200
Voici donc comment utiliser les propriétés périodiques des

0:01:21.200,0:01:27.267
puissances de i. Passons à quelque chose de

0:01:27.267,0:01:33.600
plus dur comme i^501. On voit ici que 501

0:01:33.600,0:01:37.826
n'est pas un multiple de 4 et que l'on ne peut pas simplifier de la même façon.

0:01:37.826,0:01:41.262
On arrange la situation en faisant apparaître un produit dont l'un des facteurs contient

0:01:41.262,0:01:49.482
i^4 et un autre facteur ne le contenant pas. Ici, on voit que

0:01:49.482,0:01:52.667
500 est multiple de 4 et on a donc la relation :

0:01:52.667,0:01:59.333
i^501=i^500^×i

0:01:59.333,0:02:03.693
Car on rappelle que les exposants s'additionnent quand on multiplie le même nombre élevé à deux puissances différentes.

0:02:03.693,0:02:07.933
Et i^500 va pouvoir s'écrire comme

0:02:07.933,0:02:15.156
i^4 multiplié par 125 car 125×4=500

0:02:15.156,0:02:19.413
On peut alors écrire i^500 = (i^4)^125

0:02:19.413,0:02:27.168
et on n'oublie pas le i qui reste pour arriver à i^501.

0:02:27.168,0:02:33.275
Donc i^4 donne 1 et 1^125 donne encore 1 donc ce bloc fait 1

0:02:33.275,0:02:39.962
et il ne nous reste donc plus que i donc au final i^501=i

0:02:39.962,0:02:43.600
Voilà comment résoudre un problème à priori difficile

0:02:43.600,0:02:48.667
grâce à la périodicité des puissances de i .

0:02:48.667,0:02:54.405
Ainsi, dans le cas d'un multiple quelconque de 4

0:02:54.405,0:03:01.867
qui s'écrira de façon générale comme i^(4k) avec k

0:03:01.867,0:03:06.201
un entier positif ou nul (on verra plus tard pour les valeurs négatives)

0:03:06.201,0:03:13.067
donc si i est élevé à une puissance multiple de 4, on obtiendra

0:03:13.067,0:03:19.133
forcément 1 car i^(4k)=(i^4)^k et que i^4=1

0:03:19.133,0:03:24.733
et 1^k=1 CQFD

0:03:24.733,0:03:30.333
Dans le cas où l'on aurait i^(4k+1) ou i^(4k+2), il suffit de procéder de la même façon qu'au-dessus.

0:03:30.333,0:03:34.333
Essayons maintenant avec quelques autres problèmes

0:03:34.333,0:03:39.638
pour se servir des formules. Si l'on prend totalement au hasard,

0:03:39.638,0:03:46.975
comme i^7321, il va falloir chercher

0:03:46.975,0:03:55.102
un multiple de 4 et réduire l'expression.

0:03:55.102,0:04:00.867
On voit facilement que 7320 est divisible par 4. On peut faire le calcul ou se servir de la divisibilté par 4.

0:04:00.867,0:04:10.474
On aura donc i^7321=i×i^7320

0:04:10.474,0:04:15.467
On a donc notre multiple de 4 car les deux derniers

0:04:15.467,0:04:20.272
chiffres sont 20 qui est un multiple de 4 donc

0:04:20.272,0:04:31.418
tout ce bloc va se simplifier et donner 1 et

0:04:31.418,0:04:41.078
il ne me restera donc plus que le terme en i

0:04:41.078,0:04:48.533
donc i^7321=i

0:04:48.533,0:04:55.799
Essayons maintenant autre chose : i^99.

0:04:55.799,0:05:05.459
Donc le multiple de 4 le plus proche mais inférieur à 99 est 96.

0:05:05.459,0:05:12.067
Donc i^99=i^96^×i^3

0:05:12.067,0:05:17.765
C'est toujours la même règle sur les exposants.

0:05:17.765,0:05:23.431
Or 96=4×24 donc i^96=(i^4)^24 ce qui

0:05:23.431,0:05:28.467
me donne 1^16 soit au final 1 et le terme en i^3

0:05:28.467,0:05:35.412
Pour i^3, on peut se souvenir que cela vaut

0:05:35.412,0:05:39.333
(-i) ou alors dire tout simplement que

0:05:39.333,0:05:46.140
i^3=i²×i et que par définition on sait que

0:05:46.140,0:05:51.800
i²=-1 alors i^3=(-1)×i = -i

0:05:51.800,0:05:59.886
Donc au final i^99=-i.

0:05:59.886,0:06:07.549
Faisons un dernier exemple : i^38. On sait que l'on aura

0:06:07.549,0:06:13.467
i^38=i²×i^36 car 36 est le multiple de 4 le plus proche. Il me reste donc au final (-1).

0:06:13.467,0:06:19.809
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