Maintenant que nous avons vu que lorsque l'on élève i à une puissance entière, on oscille entre 1 ,i ,(-1) et (-i)
et que l'on revient à 1 puis i, (-1) et (-i) essayons d'utiliser
ces propriétés pour résoudre d'autres problèmes
plus complexes en utilisant la périodicité des puissances de i.
Par exemple, élevons i à une puissance arbitraire :
voyons ce que donne i élevé à la puissance 100. On sait que 100 est un multiple de 4, donc
on peut dire que c'est i puissance 4 élevé à la puissance 25,
grâce aux propriétés sur les exposants (cours de 4ème)
Un nombre a élevé à la puissance n lui même élevé à la puissance p revient à
élever le nombre a à la puissance n×p.
Donc comme i^4 donne 1, on remplace dans l'équation
et 1^25 donne 1.
Voici donc comment utiliser les propriétés périodiques des
puissances de i. Passons à quelque chose de
plus dur comme i^501. On voit ici que 501
n'est pas un multiple de 4 et que l'on ne peut pas simplifier de la même façon.
On arrange la situation en faisant apparaître un produit dont l'un des facteurs contient
i^4 et un autre facteur ne le contenant pas. Ici, on voit que
500 est multiple de 4 et on a donc la relation :
i^501=i^500^×i
Car on rappelle que les exposants s'additionnent quand on multiplie le même nombre élevé à deux puissances différentes.
Et i^500 va pouvoir s'écrire comme
i^4 multiplié par 125 car 125×4=500
On peut alors écrire i^500 = (i^4)^125
et on n'oublie pas le i qui reste pour arriver à i^501.
Donc i^4 donne 1 et 1^125 donne encore 1 donc ce bloc fait 1
et il ne nous reste donc plus que i donc au final i^501=i
Voilà comment résoudre un problème à priori difficile
grâce à la périodicité des puissances de i .
Ainsi, dans le cas d'un multiple quelconque de 4
qui s'écrira de façon générale comme i^(4k) avec k
un entier positif ou nul (on verra plus tard pour les valeurs négatives)
donc si i est élevé à une puissance multiple de 4, on obtiendra
forcément 1 car i^(4k)=(i^4)^k et que i^4=1
et 1^k=1 CQFD
Dans le cas où l'on aurait i^(4k+1) ou i^(4k+2), il suffit de procéder de la même façon qu'au-dessus.
Essayons maintenant avec quelques autres problèmes
pour se servir des formules. Si l'on prend totalement au hasard,
comme i^7321, il va falloir chercher
un multiple de 4 et réduire l'expression.
On voit facilement que 7320 est divisible par 4. On peut faire le calcul ou se servir de la divisibilté par 4.
On aura donc i^7321=i×i^7320
On a donc notre multiple de 4 car les deux derniers
chiffres sont 20 qui est un multiple de 4 donc
tout ce bloc va se simplifier et donner 1 et
il ne me restera donc plus que le terme en i
donc i^7321=i
Essayons maintenant autre chose : i^99.
Donc le multiple de 4 le plus proche mais inférieur à 99 est 96.
Donc i^99=i^96^×i^3
C'est toujours la même règle sur les exposants.
Or 96=4×24 donc i^96=(i^4)^24 ce qui
me donne 1^16 soit au final 1 et le terme en i^3
Pour i^3, on peut se souvenir que cela vaut
(-i) ou alors dire tout simplement que
i^3=i²×i et que par définition on sait que
i²=-1 alors i^3=(-1)×i = -i
Donc au final i^99=-i.
Faisons un dernier exemple : i^38. On sait que l'on aura
i^38=i²×i^36 car 36 est le multiple de 4 le plus proche. Il me reste donc au final (-1).
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