WEBVTT

00:00:00.372 --> 00:00:09.400
앞에서 보았듯이 i를 거듭제곱하다 보면 그 값이 1,i,-1, -i

00:00:09.400 --> 00:00:12.644
그리고 다시 1,i,-1, -i로 돌아오는 것을 볼 수 있습니다

00:00:12.644 --> 00:00:17.488
자, 이제는 더 어려운 문제들을 풀 수 있는지 알아봅시다

00:00:17.488 --> 00:00:19.133
이제부터 풀 문제들이 재미있는 이유는

00:00:19.133 --> 00:00:24.381
i의 거듭제곱의 값들이 이 수들 사이에서 순환한다는 사실을 이용하여

00:00:24.381 --> 00:00:29.008
임의의 아주 큰 수들을 제곱하는 문제들도 간단하게 풀 수 있기 때문이에요

00:00:29.008 --> 00:00:40.078
자, 그러면 재미로 i의 100제곱은 무엇인지 알아봅시다
여기서 100은 4의 배수라는 것을 이용해야합니다

00:00:40.078 --> 00:00:48.267
i의 100제곱은 i의 4x25제곱이며

00:00:48.267 --> 00:00:56.400
지수법칙에 의해 이는 i의 4제곱의 25제곱이 됩니다

00:00:56.400 --> 00:00:59.600
어떤 수의 몇 제곱을 다시 몇 제곱한 값은

00:00:59.600 --> 00:01:04.900
두 지수를 곱한 값만큼 제곱하는 것과 같습니다
우리는 이미 i의 4제곱을 알고 있습니다

00:01:04.900 --> 00:01:10.733
i의 4제곱은 그냥 1입니다
즉 이 문제는

00:01:10.733 --> 00:01:17.021
1의 25제곱과 같게 되므로 1입니다
이 문제에서도 봤듯이

00:01:17.021 --> 00:01:20.790
i의 거듭제곱의 값들이 일정한 규칙을 가지고 순환한다는 사실을 이용해

00:01:20.790 --> 00:01:27.267
i에 커다란 수들을 제곱할 수 있게 됩니다
이번에는 조금 더 특이한 숫자들을 시도해 봅시다

00:01:27.267 --> 00:01:33.600
i의 501제곱은 무엇일까요?
이 문제에서 501은

00:01:33.600 --> 00:01:36.476
4의 배수가 아니기 때문에 앞에서 했던 것처럼 간단하게 값이 나오지는 않습니다

00:01:36.476 --> 00:01:44.512
하지만 두 수의 곱으로 나타내면 됩니다--
하나는 지수가 4의 배수인 i의 거듭제곱이고

00:01:44.512 --> 00:01:47.112
하나는 지수가 4의 배수가 아닌 i의 거듭제곱이지요
다시 써 보면

00:01:47.112 --> 00:01:55.297
500은 4의 배수이므로 주어진 수를 i의 500제곱과

00:01:55.297 --> 00:01:57.753
i의 1제곱의 곱으로 나타낼 수 있어요

00:01:57.753 --> 00:02:03.693
밑이 같은 수를 곱할 때에는 지수끼리 더해 주므로 두 수를 곱해 주면 i의 501제곱이 되겠지요

00:02:03.693 --> 00:02:07.933
i의 500제곱은 i의 4제곱의

00:02:07.933 --> 00:02:15.156
4 곱하기 125가 500이므로

00:02:15.156 --> 00:02:21.083
i의 500제곱은 i의 4제곱의 125제곱이고

00:02:21.083 --> 00:02:27.168
거기에 다시 i의 1제곱을 곱해 주어야겠지요

00:02:27.168 --> 00:02:33.275
i의 4제곱은 1이므로 1의 125제곱은 1이 됩니다
이 부분이 1이 되고

00:02:33.275 --> 00:02:39.962
그렇게 되면 i의 1제곱만 남게 되므로 값은 i가 됩니다

00:02:39.962 --> 00:02:43.600
이 문제는 얼핏 보면 하루 종일 쉬지 않고 계산해야 하는 무시무시한 문제 같아 보이지만

00:02:43.600 --> 00:02:48.127
값의 순환을 이용하면 쉽게 풀리죠
i의 500제곱은 1이고

00:02:48.127 --> 00:02:54.405
i의 501제곱은 i 곱하기 1입니다
이를 일반화해서 쓰면

00:02:54.405 --> 00:03:01.867
i의 지수가 4의 배수인 경우--여기에 있는 k는

00:03:01.867 --> 00:03:06.201
k는 지금은 양수인 것으로 제한하겠습니다--k는 0보다 크거나 같다

00:03:06.201 --> 00:03:10.427
i의 지수가 4의 배수인 경우

00:03:10.427 --> 00:03:19.133
그 값은 1이 되는데 이는 i의 4제곱의 k제곱이 되고

00:03:19.133 --> 00:03:24.733
1의 k제곱은 당연히 1이 되기 때문입니다

00:03:24.733 --> 00:03:29.553
만약 4의 배수 외에 다른 수가 남아 있다면, 예를 들어 i의 4k+1제곱이라든지 4k+2제곱이라면

00:03:29.553 --> 00:03:34.333
바로 전 문제에서 사용했던 방법을 쓰면 되겠지요
몇 문제만 더 풀어보면서

00:03:34.333 --> 00:03:39.638
여러분이 정말 괴상한 임의의 수도 풀 수 있도록 실력을 다져 봅시다

00:03:39.638 --> 00:03:46.975
이번에는 i의 7321제곱이에요
앞에서 했던 것처럼

00:03:46.975 --> 00:03:55.102
7321을 4의 배수와 아닌 것으로 나누어서 생각해 봅시다

00:03:55.102 --> 00:04:02.897
7320은 4로 나누어지고 1이 남게 되지요

00:04:02.897 --> 00:04:10.474
즉 i의 7320제곱 곱하기 i의 1제곱이 됩니다

00:04:10.474 --> 00:04:15.467
7320은 4의 배수인데

00:04:15.467 --> 00:04:20.272
몇천은 늘 4의 배수이고 몇백 역시 늘 4의 배수이며 20도 4의 배수이므로

00:04:20.272 --> 00:04:28.998
i의 7320은 1로 간단하게 나타내어집니다--
아, i의 i제곱이 아니라 1제곱이 되겠군요--

00:04:28.998 --> 00:04:37.658
7321은 7320 더하기 1이며 i의 7320제곱은 1로 간단하게 나타내어지고

00:04:37.658 --> 00:04:48.533
i의 1제곱, 다시 말해 i만 남게 되겠지요
다른 문제를 풀어 봅시다--

00:04:48.533 --> 00:04:55.799
좀 더 흥미로운 수로요--i의 99제곱을 구해 봅시다

00:04:55.799 --> 00:05:05.459
다시, 99보다 작으면서 99에 제일 가까운 4의 배수는 무엇인가요? 96이지요

00:05:05.459 --> 00:05:12.067
즉 i의 96제곱 곱하기 i의 3제곱이 됩니다

00:05:12.067 --> 00:05:17.765
밑이 같은 수를 곱하면 지수를 더해 주므로
i의 99제곱은 i의 96제곱 곱하기 i의 3제곱입니다

00:05:17.765 --> 00:05:23.431
96은 4의 배수이므로 i를 4제곱해준 뒤에 다시 24제곱을 해 줍니다

00:05:23.431 --> 00:05:27.227
즉 1을 24제곱하는 것이지요--1이 됩니다

00:05:27.227 --> 00:05:37.392
그러면 i의 3제곱만이 남게 되고 i의 3제곱은 -i로 기억하든지

00:05:37.392 --> 00:05:39.333
이를 잊어버리면 i의 3제곱은

00:05:39.333 --> 00:05:45.320
i의 제곱 곱하기 i로 나타낼 수 있습니다

00:05:45.320 --> 00:05:54.190
i의 제곱은 정의에 의해 -1이 되고 -1 곱하기 i은

00:05:54.190 --> 00:05:59.886
-i가 됩니다
한 문제만 재미로 더 풀어 보겠습니다

00:05:59.886 --> 00:06:07.549
이번에는 i의 38제곱을 풀어 봅시다
이는 i의 36제곱 곱하기 i의 제곱이므로--

00:06:07.549 --> 00:06:13.467
지금 38보다 작으면서 38에 가장 가까운 4의 배수인 36을 사용한 것입니다--2가 남게 되지요

00:06:13.467 --> 00:06:19.809
i의 36제곱은 1로 간단하게 되고 i의 제곱이 남게 되는데 -1입니다