1
00:00:00,372 --> 00:00:09,400
Widzieliśmy, że jak podnosimy "i" do coraz wyższych potęg, to ich wartości powtarzają się w kółko. Mamy: 1, i, -1, -i,

2
00:00:09,400 --> 00:00:15,067
potem od nowa: 1, i, -1, -i. Chce sprawdzić, czy poradzimy sobie z zadaniami,

3
00:00:15,067 --> 00:00:19,133
które moglibyście nazwać trudniejszymi i za chwile zobaczycie je na tej tablicy i przekonacie się,

4
00:00:19,133 --> 00:00:24,381
że możecie wykorzystać fakt, że potęgi liczby "i" przebiegają w kółko te wartości,

5
00:00:24,381 --> 00:00:31,718
możecie wykorzystać to, żeby bardzo szybko obliczyć dowolnie dużą potęgę liczby "i". Spróbujmy więc, tylko dla zabawy.

6
00:00:31,718 --> 00:00:40,078
Zobaczmy ile jest równe "i" do potęgi 100. Kluczem do rozwiązania jest tutaj obserwacja, że 100 jest wielokorotnością 4.

7
00:00:40,078 --> 00:00:48,267
Można więc powiedzieć, że to jest to samo, co "i" do potęgi 4 razy 25, a to jest to samo,

8
00:00:48,267 --> 00:00:56,400
co "i" do czwartej, podniesione potem do 25. Korzystamy tu z własności potęgowania.

9
00:00:56,400 --> 00:00:59,600
Jak mamy coś podniesione do potęgi i potem znowu podniesione do potęgi, to jest to równe podstawie

10
00:00:59,600 --> 00:01:04,900
podniesionej do potęgi gdzie wykładniki są pomnożone. A wiemy ile jest "i" do czwartej.

11
00:01:04,900 --> 00:01:10,733
To proste: "i" do czwartej jest równe 1. Czyli to jest 1.

12
00:01:10,733 --> 00:01:17,021
Czyli to jest równe 1 do potęgi 25, co jes z kolei równe 1. Tak więc znowu używamy

13
00:01:17,021 --> 00:01:21,200
tego rodzaju cykliczności potęg liczby "i" do obliczenia bardzo wysokiej

14
00:01:21,200 --> 00:01:27,267
potęgi "i". Spróbujmy teraz czegoś trochę dziwniejszego.

15
00:01:27,267 --> 00:01:33,600
Spróbujmy "i" do potęgi 501. Tym razem 501 nie jest

16
00:01:33,600 --> 00:01:37,826
wielokrotnością czterech, nie możemy więc zrobić tak prosto jak poprzednio. Możemy za to zapisać

17
00:01:37,826 --> 00:01:41,262
to jako iloczyn dwóch liczb: jednej, równej "i" do potęgi, która jest wielokrotnością 4

18
00:01:41,262 --> 00:01:49,482
oraz drugiej, która nie jest. Możemy więc przepisać to: 500 jest wielokrotnością 4,

19
00:01:49,482 --> 00:01:52,667
możemy więc napisać: i do potęgi 500, i do potęgi 500,

20
00:01:52,667 --> 00:01:59,333
razy "i" do potęgi pierwszej, tak? Mamy tę samą podstawę, kiedy mnożymy te czynniki,

21
00:01:59,333 --> 00:02:03,693
to dodajemy wykładniki. To jest więc równe "i" do potęgi 501.

22
00:02:03,693 --> 00:02:07,933
A wiemy, że to jest tym samym co "i" do... "i" do potęgi 500 jest tym samym ,

23
00:02:07,933 --> 00:02:15,156
co "i" do czwartej razy co? 4 razy 125 jest równe 500,

24
00:02:15,156 --> 00:02:19,413
czyli ta część tutaj: "i" do potęgi 500 jest tym samym, co "i" do potęgi 4,

25
00:02:19,413 --> 00:02:27,168
a potem do potęgi 125, a potem to mnożymy jeszcze przez "i" do pierwszej potęgi. A zatem "i" do potęgi

26
00:02:27,168 --> 00:02:33,275
czwartej jest równe 1, 1 do potęgi 125 jest równe 1, to całe wyrażenie jest więc równe 1, czyli

27
00:02:33,275 --> 00:02:39,962
otrzymujemy "i" do pierwszej, to będie równe "i".

28
00:02:39,962 --> 00:02:43,600
To wygląda na trudne zadanie, coś nad czym można siedzieć cały dzień,

29
00:02:43,600 --> 00:02:48,667
ale wystarczy użyć tej cykliczności: "i" do potęgi 500 jest równe 1, więc "i"

30
00:02:48,667 --> 00:02:54,405
do potęgi 501 jet równe "i". A więc "i" do dowolnej wielokrotności 4 - napiszę to

31
00:02:54,405 --> 00:03:01,867
ogólnie - jeżeli mamy "i" do dowolnej wielokrotności 4, to ta liczba tutaj jest, coż ograniczmy się na razie

32
00:03:01,867 --> 00:03:06,201
do "k" nieujemnych całkowitych; "k" jest większe lub równe zero,

33
00:03:06,201 --> 00:03:13,067
więc jeżeli mamy "i" do potęgi będącej dowolną wielokrotnością 4, to dostaniemy tutaj, dostaniemy tutaj

34
00:03:13,067 --> 00:03:19,133
1, ponieważ to jest to samo, co "i" do czwartej, podniesione potem do k-tej potęgi,

35
00:03:19,133 --> 00:03:24,733
a to jest to samo co 1 do k-tej potęgi, co jest oczywiście równe 1, a jeżeli mamy

36
00:03:24,733 --> 00:03:30,333
coś jeszcze, jeżeli mamy "i" do potęki 4 razy k dodać 1, albo dodać 2, możemy wtedy

37
00:03:30,333 --> 00:03:34,333
rozwiązać to tym samym sposobem. Spróbujmy zrobić kilka zadań więcej,

38
00:03:34,333 --> 00:03:39,638
żeby przekonać się, że możemy zrobić na prawdę, na prawdę dowolnie zwariowane rzeczy. Weźmy więc

39
00:03:39,638 --> 00:03:46,975
"i" do potęgi 7321. Teraz musimy wykombinować

40
00:03:46,975 --> 00:03:55,102
- to ma być coś razy 4 dodać coś innego, żeby to zrobić, no cóż

41
00:03:55,102 --> 00:04:00,867
widać po prostu, że 7320 jest podzielne przez 4, możecie to sprawdzić licząc ręcznie, wtedy zostanie 1,

42
00:04:00,867 --> 00:04:10,474
a więc to będzie równe "i" do 7320 potęgi, razy "i" do pierwszej potęgi, to jest wielokrotność 4,

43
00:04:10,474 --> 00:04:15,467
to jest wielokrotność 4. Wiem to, ponieważ 100 jest wielokrotnością 4,

44
00:04:15,467 --> 00:04:20,272
1000 jest wielokrotnością 4 i 100 jest wielokrotnością 4 i 20 jest wielokrotnością 4.

45
00:04:20,272 --> 00:04:31,418
A więc to tutaj upraszcza się do 1... przepraszam to nie jest "i" do potęgi "i", tylko "i" do potęgi 1. 7321 jest równe

46
00:04:31,418 --> 00:04:41,078
7320 dodać 1, więc ta część tutaj upraszcza się do jedynki, a to co zostanie,

47
00:04:41,078 --> 00:04:48,533
to "i" do potęgi pierwszej, czyli po prostu "i". Zróbmy inny przykład. "i" do potęgi 99,

48
00:04:48,533 --> 00:04:55,799
zróbmy coś ciekawego, "i" do potęgi 99. "i" do 99 potęgi.

49
00:04:55,799 --> 00:05:05,459
Jeszcze raz: jaka liczba jest największą wielokrotnością 4, która jest mniejsza niż 99? Jest to 96,

50
00:05:05,459 --> 00:05:12,067
a więc to jest tym samym co, "i" do potęgi 96 razy i do potęgi 3, zgadza się?

51
00:05:12,067 --> 00:05:17,765
Jeżeli pomnożymy te czynniki, które mają tę samą podstawę, dodamy wykładniki, dostaniemy "i" do potęgi 99

52
00:05:17,765 --> 00:05:23,431
"i" do potęgi 96, a to jest wielokrotność czterech, to jest "i" do 4, a potem do 16 (24 - przypis tłum.)

53
00:05:23,431 --> 00:05:28,467
A więc to jest po prostu 1, pozostaje tylko podnieść "i"

54
00:05:28,467 --> 00:05:35,412
do potęgi trzeciej, a to możecie pamiętać, że "i" do trzeciej równa się...

55
00:05:35,412 --> 00:05:39,333
może pamiętacie, że to jest "-i", a jeżeli zapomnieliście, to możecie powiedzieć:

56
00:05:39,333 --> 00:05:46,140
to jest to samo co "i" do kwadratu razy "i", to jest równe "i" do kwadratu razy "i",

57
00:05:46,140 --> 00:05:51,800
"i" do kwadratu jest z definicji równe -1, mamy więc -1 razy "i",

58
00:05:51,800 --> 00:05:59,886
a to jest równe "-i". Pozwólcie mi zrobić jeszcze jeden przykład, tak dla zabawy. Weźmy "i"

59
00:05:59,886 --> 00:06:07,549
do potęgi 38. Czli znowu: to jest równe "i" do 36 razy "i" do kwadratu,

60
00:06:07,549 --> 00:06:13,467
wziąłem "i" do 36, bo to jest największa wielokrotność czterech, która mieści się w 38, to co zostaje jest równe 2.

61
00:06:13,467 --> 00:06:19,809
To upraszcza się do jedynki i zostaje nam "i" do kwadratu, które jest równe -1.