1
00:00:00,520 --> 00:00:02,810
现在我们已经看到对 i

2
00:00:02,810 --> 00:00:06,740
进行幕次越来越高的乘方运算，其结果可能是 1，i，

3
00:00:06,740 --> 00:00:11,260
－1，－i，然后又回到

4
00:00:11,260 --> 00:00:12,290
1，i，－1，－i。

5
00:00:12,290 --> 00:00:14,155
我们现在来做些练习，

6
00:00:14,155 --> 00:00:15,780
也许就是所谓的难题。

7
00:00:15,780 --> 00:00:17,110
可能看起来是这样。

8
00:00:17,110 --> 00:00:18,526
解题时如果你能利用 i 的

9
00:00:18,526 --> 00:00:22,180
乘方值就在这几个数里循环

10
00:00:22,180 --> 00:00:23,320
的规律，也是有意思的。

11
00:00:23,320 --> 00:00:25,990
如果利用这个规律，可以不费力

12
00:00:25,990 --> 00:00:29,100
就算出 i 的 任意高的次方。

13
00:00:29,100 --> 00:00:31,650
现在我们先来试一下，

14
00:00:31,650 --> 00:00:35,310
计算 i 的 100 次方。

15
00:00:35,310 --> 00:00:39,280
这里关键是 100 是 4 的倍数。

16
00:00:39,280 --> 00:00:43,800
因此可以说这等同于 i 的

17
00:00:43,800 --> 00:00:47,467
4 乘以 25 次方。

18
00:00:47,467 --> 00:00:50,050
而根据指数乘方的性质，它也

19
00:00:50,050 --> 00:00:55,167
就是 i 的 4 次方的结果的 25 次方。

20
00:00:55,167 --> 00:00:57,000
如果计算某数的一个指数次方，

21
00:00:57,000 --> 00:00:59,090
然后用其结果再算另一个指数次方，

22
00:00:59,090 --> 00:01:02,300
就等于算该数的两个指数的积次方。

23
00:01:02,300 --> 00:01:04,170
我们要计算 i 的 4 次方，

24
00:01:04,170 --> 00:01:05,420
很容易。

25
00:01:05,420 --> 00:01:07,390
i 的 4 次方 就是 1。

26
00:01:07,390 --> 00:01:09,590
i 的平方是 －1，再平方得 1。

27
00:01:09,590 --> 00:01:12,300
因此这就等于 1 的 25 次方，

28
00:01:12,300 --> 00:01:15,910
就只能等于 1。

29
00:01:15,910 --> 00:01:18,867
这里我们又利用了 i 的乘方值

30
00:01:18,867 --> 00:01:20,450
的循环性质，这样就能

31
00:01:20,450 --> 00:01:22,672
算出 i 的很高次方值。

32
00:01:22,672 --> 00:01:24,880
现在我们来算稍微怪的题。

33
00:01:27,730 --> 00:01:31,200
我们算 i 的 501 次方。

34
00:01:31,200 --> 00:01:34,620
现在，501 不是 4 的倍数。

35
00:01:34,620 --> 00:01:36,310
所以你不能完全抄上一题的方法。

36
00:01:36,310 --> 00:01:38,226
但是你可以把它分解成

37
00:01:38,226 --> 00:01:41,500
两个因数相乘，而其中一个

38
00:01:41,500 --> 00:01:44,140
因数的指数是 4 的倍数,

39
00:01:44,140 --> 00:01:45,580
当然另一个 i 的指数不是 4 的倍数。

40
00:01:45,580 --> 00:01:47,050
因此你可以把原式重写一下。

41
00:01:47,050 --> 00:01:50,390
500 是 4 的 倍数。

42
00:01:50,390 --> 00:01:56,000
所以原式可写成 i 的 500 次方

43
00:01:56,000 --> 00:01:56,960
乘以 i。

44
00:01:56,960 --> 00:01:57,230
对不对？

45
00:01:57,230 --> 00:01:58,070
底数都是 i。

46
00:01:58,070 --> 00:01:59,840
当两个同底乘方数相乘，它们的指数相加。

47
00:01:59,840 --> 00:02:02,960
这还是 i 的 501 次方。

48
00:02:02,960 --> 00:02:05,170
我们知道这等于

49
00:02:05,170 --> 00:02:07,920
－ i 的 500 次方就是 i

50
00:02:07,920 --> 00:02:10,050
的 4 次方的 125 次方。

51
00:02:10,050 --> 00:02:11,700
4 乘以什么等于 500？

52
00:02:11,700 --> 00:02:14,760
4 乘以 125 得 500。

53
00:02:14,760 --> 00:02:17,280
所以这部分就在这里。i 的 500 次方

54
00:02:17,280 --> 00:02:21,510
等于 i 的 4 次方 的 125 次方。

55
00:02:21,510 --> 00:02:26,150
然后再乘以 i 的一次方。

56
00:02:26,150 --> 00:02:27,800
i 的 4 次方就是等于 1。

57
00:02:27,800 --> 00:02:31,690
1 的 125 次方还是等于 1。

58
00:02:31,690 --> 00:02:33,130
这第一项整个就是 1。

59
00:02:33,130 --> 00:02:37,140
我们就只剩下 i 的 1 次方。

60
00:02:37,140 --> 00:02:39,222
所以就等于 i。

61
00:02:39,222 --> 00:02:41,430
原来看起来是很吓人的题目，

62
00:02:41,430 --> 00:02:43,180
似乎要很费时间,

63
00:02:43,180 --> 00:02:46,090
但是利用 i 的乘方值循环的性质,

64
00:02:46,090 --> 00:02:47,620
发现 i 的 500 次方就等于 1。

65
00:02:47,620 --> 00:02:51,690
所以 i 的 501 次方就等于 i。

66
00:02:51,690 --> 00:02:55,060
这样我可以写一个总结。

67
00:02:55,060 --> 00:03:00,450
如果 i 的指数是任何 4 的倍数， 那么这个式子

68
00:03:00,450 --> 00:03:04,030
等于 －这里的 k 应当为非负整数。

69
00:03:04,030 --> 00:03:06,380
k 大于或等于 0。

70
00:03:06,380 --> 00:03:10,250
因此如果 i 的任何 4 的倍数次方，

71
00:03:10,250 --> 00:03:16,130
就会等于 1，因为

72
00:03:16,130 --> 00:03:19,280
就相当于 i 的 4 次方的 k 次方,

73
00:03:19,280 --> 00:03:22,180
而那就相当于 1 的 k 次方，

74
00:03:22,180 --> 00:03:23,960
显然就等于 1。

75
00:03:23,960 --> 00:03:25,510
如果我们的指数不是 4 的倍数 － 比如

76
00:03:25,510 --> 00:03:29,340
说 i 的 4k 加 1 次方，或者 i 的 4k 加 2 次方，

77
00:03:29,340 --> 00:03:31,640
那样我们就能用这里的方法。

78
00:03:31,640 --> 00:03:33,640
我们再举几个例子，

79
00:03:33,640 --> 00:03:35,920
说明如何对付有些

80
00:03:35,920 --> 00:03:38,200
似乎没有头绪的问题。

81
00:03:38,200 --> 00:03:45,020
试着求 i 的 7321 次方。

82
00:03:45,020 --> 00:03:47,540
要解这一题，我们得认识到

83
00:03:47,540 --> 00:03:52,940
7321 不是 4 的倍数，还有余数。

84
00:03:52,940 --> 00:03:55,870
要能看得出，

85
00:03:55,870 --> 00:03:58,870
7320 可以被 4 整除。

86
00:03:58,870 --> 00:04:00,270
这是可以核实的。

87
00:04:00,270 --> 00:04:02,160
然后就只有 余数 1。

88
00:04:02,160 --> 00:04:08,020
因此原题等于 i 的 7320 次方

89
00:04:08,020 --> 00:04:09,770
乘以 i。

90
00:04:09,770 --> 00:04:12,905
这个数是 4 的 倍数，

91
00:04:12,905 --> 00:04:17,240
因为 1000 是 4 的倍数，

92
00:04:17,240 --> 00:04:21,209
100 也是 4 的倍数， 20 更是 4 的倍数。

93
00:04:21,209 --> 00:04:24,497
所以这一项就简化为 1。

94
00:04:24,497 --> 00:04:26,080
后面这一项

95
00:04:26,080 --> 00:04:28,960
就是 i 的一次方。

96
00:04:28,960 --> 00:04:33,240
7321 等于 7320 加上 1。

97
00:04:33,240 --> 00:04:37,287
这一部分就化简为 1，

98
00:04:37,287 --> 00:04:38,870
结果我们得到的是 i 的

99
00:04:38,870 --> 00:04:41,100
一次方，或者说就是 i。

100
00:04:41,100 --> 00:04:42,600
再举一个例子。

101
00:04:42,600 --> 00:04:50,860
试着解一个有意思的题目。

102
00:04:54,030 --> 00:04:56,230
i 的 99 次方。

103
00:04:56,230 --> 00:04:58,860
同样的思路，小于 99 的

104
00:04:58,860 --> 00:05:01,490
最大的 4 的倍数是多少？

105
00:05:01,490 --> 00:05:02,590
那就是 96。

106
00:05:05,230 --> 00:05:08,930
所以它就等于 i 的 96 次方

107
00:05:08,930 --> 00:05:11,400
乘以 i 的 3 次方，对吧？

108
00:05:11,400 --> 00:05:14,320
两个同底的乘方数相乘，可以把它们的指数相加，

109
00:05:14,320 --> 00:05:16,840
就得到 i 的 99 次方。

110
00:05:16,840 --> 00:05:20,410
其中 i 的 96 次方，

111
00:05:20,410 --> 00:05:23,740
因为是 4 的 倍数， 就可以看成 i 的 4 次方的 16 次方。

112
00:05:23,740 --> 00:05:26,850
那就是 1 的 16 次方，因此就是 1。

113
00:05:26,850 --> 00:05:29,670
这样只剩下 i 的 3 次方。

114
00:05:29,670 --> 00:05:32,940
你可能还

115
00:05:32,940 --> 00:05:35,630
记得 i 的 3 次

116
00:05:35,630 --> 00:05:36,880
方 等于 －i。

117
00:05:36,880 --> 00:05:39,270
当然你如果不记得了，也可以把 i 的 3 次方

118
00:05:39,270 --> 00:05:42,480
看成 i 平方乘以 i。

119
00:05:42,480 --> 00:05:45,360


120
00:05:45,360 --> 00:05:48,800


121
00:05:48,800 --> 00:05:55,340


122
00:05:55,340 --> 00:05:58,890


123
00:05:58,890 --> 00:06:01,840


124
00:06:01,840 --> 00:06:03,450


125
00:06:03,450 --> 00:06:07,230


126
00:06:07,230 --> 00:06:09,040


127
00:06:09,040 --> 00:06:11,920


128
00:06:11,920 --> 00:06:13,730


129
00:06:13,730 --> 00:06:15,870


130
00:06:15,870 --> 00:06:20,530