WEBVTT

00:00:00.520 --> 00:00:02.810
现在我们已经看到对 i

00:00:02.810 --> 00:00:06.740
进行幕次越来越高的乘方运算，其结果可能是 1，i，

00:00:06.740 --> 00:00:11.260
－1，－i，然后又回到

00:00:11.260 --> 00:00:12.290
1，i，－1，－i。

00:00:12.290 --> 00:00:14.155
我们现在来做些练习，

00:00:14.155 --> 00:00:15.780
也许就是所谓的难题。

00:00:15.780 --> 00:00:17.110
可能看起来是这样。

00:00:17.110 --> 00:00:18.526
解题时如果你能利用 i 的

00:00:18.526 --> 00:00:22.180
乘方值就在这几个数里循环

00:00:22.180 --> 00:00:23.320
的规律，也是有意思的。

00:00:23.320 --> 00:00:25.990
如果利用这个规律，可以不费力

00:00:25.990 --> 00:00:29.100
就算出 i 的 任意高的次方。

00:00:29.100 --> 00:00:31.650
现在我们先来试一下，

00:00:31.650 --> 00:00:35.310
计算 i 的 100 次方。

00:00:35.310 --> 00:00:39.280
这里关键是 100 是 4 的倍数。

00:00:39.280 --> 00:00:43.800
因此可以说这等同于 i 的

00:00:43.800 --> 00:00:47.467
4 乘以 25 次方。

00:00:47.467 --> 00:00:50.050
而根据指数乘方的性质，它也

00:00:50.050 --> 00:00:55.167
就是 i 的 4 次方的结果的 25 次方。

00:00:55.167 --> 00:00:57.000
如果计算某数的一个指数次方，

00:00:57.000 --> 00:00:59.090
然后用其结果再算另一个指数次方，

00:00:59.090 --> 00:01:02.300
就等于算该数的两个指数的积次方。

00:01:02.300 --> 00:01:04.170
我们要计算 i 的 4 次方，

00:01:04.170 --> 00:01:05.420
很容易。

00:01:05.420 --> 00:01:07.390
i 的 4 次方 就是 1。

00:01:07.390 --> 00:01:09.590
i 的平方是 －1，再平方得 1。

00:01:09.590 --> 00:01:12.300
因此这就等于 1 的 25 次方，

00:01:12.300 --> 00:01:15.910
就只能等于 1。

00:01:15.910 --> 00:01:18.867
这里我们又利用了 i 的乘方值

00:01:18.867 --> 00:01:20.450
的循环性质，这样就能

00:01:20.450 --> 00:01:22.672
算出 i 的很高次方值。

00:01:22.672 --> 00:01:24.880
现在我们来算稍微怪的题。

00:01:27.730 --> 00:01:31.200
我们算 i 的 501 次方。

00:01:31.200 --> 00:01:34.620
现在，501 不是 4 的倍数。

00:01:34.620 --> 00:01:36.310
所以你不能完全抄上一题的方法。

00:01:36.310 --> 00:01:38.226
但是你可以把它分解成

00:01:38.226 --> 00:01:41.500
两个因数相乘，而其中一个

00:01:41.500 --> 00:01:44.140
因数的指数是 4 的倍数,

00:01:44.140 --> 00:01:45.580
当然另一个 i 的指数不是 4 的倍数。

00:01:45.580 --> 00:01:47.050
因此你可以把原式重写一下。

00:01:47.050 --> 00:01:50.390
500 是 4 的 倍数。

00:01:50.390 --> 00:01:56.000
所以原式可写成 i 的 500 次方

00:01:56.000 --> 00:01:56.960
乘以 i。

00:01:56.960 --> 00:01:57.230
对不对？

00:01:57.230 --> 00:01:58.070
底数都是 i。

00:01:58.070 --> 00:01:59.840
当两个同底乘方数相乘，它们的指数相加。

00:01:59.840 --> 00:02:02.960
这还是 i 的 501 次方。

00:02:02.960 --> 00:02:05.170
我们知道这等于

00:02:05.170 --> 00:02:07.920
－ i 的 500 次方就是 i

00:02:07.920 --> 00:02:10.050
的 4 次方的 125 次方。

00:02:10.050 --> 00:02:11.700
4 乘以什么等于 500？

00:02:11.700 --> 00:02:14.760
4 乘以 125 得 500。

00:02:14.760 --> 00:02:17.280
所以这部分就在这里。i 的 500 次方

00:02:17.280 --> 00:02:21.510
等于 i 的 4 次方 的 125 次方。

00:02:21.510 --> 00:02:26.150
然后再乘以 i 的一次方。

00:02:26.150 --> 00:02:27.800
i 的 4 次方就是等于 1。

00:02:27.800 --> 00:02:31.690
1 的 125 次方还是等于 1。

00:02:31.690 --> 00:02:33.130
这第一项整个就是 1。

00:02:33.130 --> 00:02:37.140
我们就只剩下 i 的 1 次方。

00:02:37.140 --> 00:02:39.222
所以就等于 i。

00:02:39.222 --> 00:02:41.430
原来看起来是很吓人的题目，

00:02:41.430 --> 00:02:43.180
似乎要很费时间,

00:02:43.180 --> 00:02:46.090
但是利用 i 的乘方值循环的性质,

00:02:46.090 --> 00:02:47.620
发现 i 的 500 次方就等于 1。

00:02:47.620 --> 00:02:51.690
所以 i 的 501 次方就等于 i。

00:02:51.690 --> 00:02:55.060
这样我可以写一个总结。

00:02:55.060 --> 00:03:00.450
如果 i 的指数是任何 4 的倍数， 那么这个式子

00:03:00.450 --> 00:03:04.030
等于 －这里的 k 应当为非负整数。

00:03:04.030 --> 00:03:06.380
k 大于或等于 0。

00:03:06.380 --> 00:03:10.250
因此如果 i 的任何 4 的倍数次方，

00:03:10.250 --> 00:03:16.130
就会等于 1，因为

00:03:16.130 --> 00:03:19.280
就相当于 i 的 4 次方的 k 次方,

00:03:19.280 --> 00:03:22.180
而那就相当于 1 的 k 次方，

00:03:22.180 --> 00:03:23.960
显然就等于 1。

00:03:23.960 --> 00:03:25.510
如果我们的指数不是 4 的倍数 － 比如

00:03:25.510 --> 00:03:29.340
说 i 的 4k 加 1 次方，或者 i 的 4k 加 2 次方，

00:03:29.340 --> 00:03:31.640
那样我们就能用这里的方法。

00:03:31.640 --> 00:03:33.640
我们再举几个例子，

00:03:33.640 --> 00:03:35.920
说明如何对付有些

00:03:35.920 --> 00:03:38.200
似乎没有头绪的问题。

00:03:38.200 --> 00:03:45.020
试着求 i 的 7321 次方。

00:03:45.020 --> 00:03:47.540
要解这一题，我们得认识到

00:03:47.540 --> 00:03:52.940
7321 不是 4 的倍数，还有余数。

00:03:52.940 --> 00:03:55.870
要能看得出，

00:03:55.870 --> 00:03:58.870
7320 可以被 4 整除。

00:03:58.870 --> 00:04:00.270
这是可以核实的。

00:04:00.270 --> 00:04:02.160
然后就只有 余数 1。

00:04:02.160 --> 00:04:08.020
因此原题等于 i 的 7320 次方

00:04:08.020 --> 00:04:09.770
乘以 i。

00:04:09.770 --> 00:04:12.905
这个数是 4 的 倍数，

00:04:12.905 --> 00:04:17.240
因为 1000 是 4 的倍数，

00:04:17.240 --> 00:04:21.209
100 也是 4 的倍数， 20 更是 4 的倍数。

00:04:21.209 --> 00:04:24.497
所以这一项就简化为 1。

00:04:24.497 --> 00:04:26.080
后面这一项

00:04:26.080 --> 00:04:28.960
就是 i 的一次方。

00:04:28.960 --> 00:04:33.240
7321 等于 7320 加上 1。

00:04:33.240 --> 00:04:37.287
这一部分就化简为 1，

00:04:37.287 --> 00:04:38.870
结果我们得到的是 i 的

00:04:38.870 --> 00:04:41.100
一次方，或者说就是 i。

00:04:41.100 --> 00:04:42.600
再举一个例子。

00:04:42.600 --> 00:04:50.860
试着解一个有意思的题目。

00:04:54.030 --> 00:04:56.230
i 的 99 次方。

00:04:56.230 --> 00:04:58.860
同样的思路，小于 99 的

00:04:58.860 --> 00:05:01.490
最大的 4 的倍数是多少？

00:05:01.490 --> 00:05:02.590
那就是 96。

00:05:05.230 --> 00:05:08.930
所以它就等于 i 的 96 次方

00:05:08.930 --> 00:05:11.400
乘以 i 的 3 次方，对吧？

00:05:11.400 --> 00:05:14.320
两个同底的乘方数相乘，可以把它们的指数相加，

00:05:14.320 --> 00:05:16.840
就得到 i 的 99 次方。

00:05:16.840 --> 00:05:20.410
其中 i 的 96 次方，

00:05:20.410 --> 00:05:23.740
因为是 4 的 倍数， 就可以看成 i 的 4 次方的 16 次方。

00:05:23.740 --> 00:05:26.850
那就是 1 的 16 次方，因此就是 1。

00:05:26.850 --> 00:05:29.670
这样只剩下 i 的 3 次方。

00:05:29.670 --> 00:05:32.940
你可能还

00:05:32.940 --> 00:05:35.630
记得 i 的 3 次

00:05:35.630 --> 00:05:36.880
方 等于 －i。

00:05:36.880 --> 00:05:39.270
当然你如果不记得了，也可以把 i 的 3 次方

00:05:39.270 --> 00:05:42.480
看成 i 平方乘以 i。

00:05:42.480 --> 00:05:45.360


00:05:45.360 --> 00:05:48.800


00:05:48.800 --> 00:05:55.340


00:05:55.340 --> 00:05:58.890


00:05:58.890 --> 00:06:01.840


00:06:01.840 --> 00:06:03.450


00:06:03.450 --> 00:06:07.230


00:06:07.230 --> 00:06:09.040


00:06:09.040 --> 00:06:11.920


00:06:11.920 --> 00:06:13.730


00:06:13.730 --> 00:06:15.870


00:06:15.870 --> 00:06:20.530