Burada Riman cəmimiz var.
Limiti n sonsuzluğa yaxınlaşırmış kimi
götürəcəyik
və bu videoda
bu ifadəni müəyyən inteqral şəklində
yenidən yazmağı sınayacağıq.
Videonu dayandırıb
misalı özünüz həll etməyə
çalışa bilərsiniz.
Gəlin
Riman cəminin müəyyən inteqralla
necə əlaqəli olduğunu xatırlayaq.
Əgər a-dan b-yə
f(x) dx-in müəyyən inteqralı varsa,
başqa videolardan da bildiyimiz kimi,
o,
n sonsuzluğa yaxınlaşdıqda
i bərabərdir 1-dən n-ə cəmin limitinə
bərabər olacaq.
Əslində,
biz enini
delta x şəklində yazacağımız düzbucaqlıların
cəmini tapacağıq.
Yəni enimiz
delta x olacaq və
hündürlüyümüz isə
delta x-də hesablanan
funksiyamızın qiyməti olacaq.
Əgər düzgün Riman cəmi ediriksə,
---
---
yəni biz aşağı sərhəd olaraq
a-dan başlayacağıq
və indeksimizin müəyyən etdiyi qədər
delta x-ləri əlavə edəcəyik.
Əgər i 1-ə bərabərdirsə,
biz bir delta x əlavə edəcəyik,
---
Əgər i 2 olsa, biz 2 delta x əlavə edəcəkdik.
Bu, delta x vur
indeksə bərabər olacaq.
Bu, daha əvvəl də gördüyümüz
ümumi formadır.
Burada nümunələri
uyğunlaşdıra bilərik.
Funksiyamız natural loqarifma
kimi görünür?
Yəni bizim funksiyamız
natural loqarifmadır.
Deməli, biz
f(x) bərabərdir lnx yaza bilərik.
Başqa nə görürük?
Belə görünür ki, a 2-yə bərabərdir.
a 2-yə bərabərdir.
Delta x nəyə bərabər olacaq?
Buradan da görə bildiyimiz kimi,
bu vuruğumuz
hansı ki, n-ə bölünüb
və i-yə vurulmayıb
delta x-ə bənzəyir.
Buradakı isə delta x vur i-dir.
Yəni delta x-miz
5 böl n-ə bərabərdir.
Bütün bunlar haqqında nə deyə bilərik?
Buradakı ifadə
bir müəyyən
inteqrala bərabər olacaq.
Biz aşağı sərhədi müəyyən etmişik,
ancaq üst sərhəd hələ bəlli deyil,
b-ni müəyyən etməmişik.
Funksiyamız isə natural loqarifmadır
və buraya həm də dx yazacağıq.
Müəyyən inteqralı
yazıb bitirmək üçün
üst sərhədi bilməliyik
və onu müəyyən edə bilmək üçün isə
delta x-ə nəzər yetirəcəyik.
Ona görə ki, delta x-i
buradakı Riman cəmindən əldə edirik.
Belə ki, delta x
sərhədlərimizin fərqinin
n-ə bölünməsinə bərabərdir.
Bu,
b çıx a böl n-ə bərabərdir
və bunu buradakı nümunəyə
uyğunlaşdıra bilərik.
Buradakı delta x, b çıx a
böl n-ə bərabər olur.
Gəlin yazaq.
Bu,
b çıx 2
böl n-ə bərabər olacaq,
yəni b çıx 2
5-ə bərabərdir.
B isə 7-yə bərabərdir.
B 7-yə bərabərdir.
Tamamladıq.
Burada orijinal Riman cəmimiz,
daha doğrusu müəyyən inteqral şəklində
yenidən yazılan Riman cəmimizin limiti var.
Təkrardan bunun niyə
məna kəsb etdiyini vurğulayaq.
Əgər bunu çəkmək istəsək,
o, təxminən belə görünəcək.
Natural loqarifma funksiyası
çəkməyə çalışaq.
O, belə bir şeyə bənzəyir və
burada 1 yazacağıq,
deyək ki, bura 2-dir.
Bu, 2-dən 7-yə
uzanır.
Yəni bizim müəyyən inteqralımız
bu əyrinin altında
2-dən 7-yə qədər olan sahədən ibarətdir.
Burada Riman cəminə
n sonsuzluğa yaxınlaşmır kimi nəzər yetirə bilərsiniz,
ancaq biz deyirik ki,
baxın, i 1-ə bərabər olduqda,
birincisi en böl n-ə
bərabər olacaq.
Əslində bu bizim
2 və 7 arasındakı fərqimizi deyir,
biz 5-i götürürük
və onu n düzbucaqlıya bölürük.
Birincinin eni 5 böl
n olacaq, hündürlük nəyə
bərabər olacaq?
Bu, Riman cəmidir,
yəni biz funksiyanın
buradakı qiymətini götürəcəyik.
2 üstəgəl 5 böl n yazacağıq.
Burada qiymət
natural loqarifmadır,
2 üstəgəl 5 böl n-in natural loqarifması
və birinci düzbucaqlı olduğundan
vur 1 yazırıq.
Belə davam etdirəcəyik.
Buradakı üçün də
en eynidir,
bəs hündürlük?
Hündürlük burada
yenə
2 üstəgəl 5 böl n vur 2-nin natural
loqarifması olacaq.
Bu, i 2-yə bərabər olduğundandır.
Burada isə i 1-dir.
Ümid edirəm ki, bütün bunları
anlayırsınız.
Birinci düzbucaqlının sahəsi
2 üstəgəl
5 böl n-in natural loqarifması vur 1
vur 5 böl n.
İkincisi isə
2 üstəgəl 5 böl n vur 2-in natural
loqarifması
vur 5 böl n-dir.
Yəni bu,
düzbucaqlıların sahələrinin cəmini hesablayır,
ancaq burada n-i sonsuzluğa yaxınlaşır
şəklində götürür,
yəni biz dəqiq sahənin tapılmasında
daha yaxşı hesablamalar ala bilirik.