0:00:00.760,0:00:02.395
Дадена е Риманова сума.

0:00:02.395,0:00:04.925
Ще изчислим границата ѝ, когато[br]n клони към безкрайност.

0:00:04.925,0:00:06.157
Целта на настоящия урок,

0:00:06.157,0:00:08.137
е да проверим дали можем да[br]представим тази граница

0:00:08.137,0:00:09.756
като определен интеграл.

0:00:09.756,0:00:11.176
Насърчавам те да спреш видеото

0:00:11.176,0:00:14.775
и да видиш дали можеш да се[br]справиш самостоятелно.

0:00:14.775,0:00:16.054
Нека да си припомним

0:00:16.054,0:00:20.428
как определеният интеграл е свързан[br]с Римановата сума.

0:00:20.428,0:00:27.160
Даден е определен интеграл от a до b,

0:00:27.280,0:00:33.840
от f от x dx.

0:00:34.060,0:00:36.391
В предни уроци видяхме,

0:00:36.391,0:00:38.900
че това ще бъде равно на границата,

0:00:38.900,0:00:44.120
когато n клони към безкрайност, от[br]сумата сигма,

0:00:44.740,0:00:47.680
като i е в интервала от 1 до n.

0:00:47.920,0:00:49.760
Действително образуваме сумата от[br]лицата

0:00:49.760,0:00:51.720
на множество правоъгълници,

0:00:51.720,0:00:55.093
където широчината на всеки един от[br]тях

0:00:55.100,0:00:57.600
може да се представи като dx[br](делта х).

0:00:58.140,0:01:00.916
Широчината ще бъде равна на делта х

0:01:00.916,0:01:02.777
за всеки от тези правоъгълници.

0:01:02.780,0:01:04.100
Височината ще бъде

0:01:04.100,0:01:06.292
равна на стойността на функцията,

0:01:06.292,0:01:08.434
изчислена за някакво място в този[br]интервал делта х.

0:01:08.434,0:01:10.128
Ако образуваме дясна Риманова сума,

0:01:10.128,0:01:12.799
вземаме дясната граница на[br]правоъгълника,

0:01:12.799,0:01:14.412
или на този подинтервал.

0:01:14.412,0:01:18.580
Следователно започваме от долната[br]граница а

0:01:18.580,0:01:23.620
и прибавяме толкова пъти делта х,[br]колкото са зададени в индекса ( i ).

0:01:23.780,0:01:25.440
Ако i е равно на 1,

0:01:25.440,0:01:26.940
ще прибавим един път делта х.

0:01:26.940,0:01:29.200
Намираме се в десния край на първия[br]правоъгълник.

0:01:29.200,0:01:31.356
Ако i е равно на 2, то прибавяме 2 пъти[br]делта х.

0:01:31.356,0:01:34.630
Тогава тук ще запиша делта х,

0:01:34.630,0:01:36.520
умножено по индекса i.

0:01:37.060,0:01:38.620
Ето това е общата форма,

0:01:38.623,0:01:40.649
която сме виждали преди.

0:01:40.649,0:01:42.383
Възможно е дори да потърсиш[br]съответствия

0:01:42.383,0:01:44.373
в модела на запис ето тук.

0:01:44.373,0:01:47.406
Функцията изглежда като натурален[br]логаритъм,

0:01:47.406,0:01:49.480
т.е. ето това изглежда като функцията[br]f от х,

0:01:49.480,0:01:51.940
или функцията натурален логаритъм.

0:01:51.952,0:01:53.330
Мога да го запиша.

0:01:53.330,0:01:57.760
f от х изглежда като натурален[br]логаритъм от х.

0:01:58.460,0:02:00.079
Какво друго виждаме тук?

0:02:00.080,0:02:03.380
Това 2 изглежда като стойността а.

0:02:03.580,0:02:05.575
а е равно на 2.

0:02:05.575,0:02:08.110
А на какво е равно делта х?

0:02:08.110,0:02:10.572
Може да разгледаш това тук,

0:02:10.572,0:02:12.368
или числото, по което умножаваме,

0:02:12.368,0:02:14.572
и което е разделено на n.

0:02:14.572,0:02:17.191
Това не е умножение по i,

0:02:17.191,0:02:19.582
т.е. изглежда като делта х.

0:02:19.582,0:02:22.798
А пък този израз тук изглежда като[br]делта х, умножено по i.

0:02:22.800,0:02:27.460
Тогава изглежда, че делта х е равно[br]на 5/n.

0:02:28.280,0:02:30.816
Добре, какво открихме дотук?

0:02:30.816,0:02:33.469
Може да кажем, че този израз тук горе,

0:02:33.469,0:02:36.660
т.е. първоначалният израз, ще бъде[br]равен

0:02:36.660,0:02:38.109
на следния определен интеграл.

0:02:38.109,0:02:41.089
Знаем, че долната граница започва[br]от 2,

0:02:41.089,0:02:43.148
но все още не сме дефинирали горната[br]граница.

0:02:43.148,0:02:45.077
Все още не сме намерили числото b.

0:02:45.080,0:02:50.220
Дадената функция обаче е натурален[br]логаритъм от х,

0:02:50.220,0:02:53.140
така че просто ще запиша dx ето тук.

0:02:53.580,0:02:55.199
За да завърша със записа на

0:02:55.199,0:02:56.205
този определен интеграл,

0:02:56.205,0:02:58.887
следва да мога да запиша горната[br]граница.

0:02:58.887,0:03:00.553
Начинът да намеря горната граница,

0:03:00.553,0:03:03.189
е като използвам делта х,

0:03:03.189,0:03:05.943
защото начинът, по който намираме[br]делта х

0:03:05.943,0:03:08.481
за Римановата сума тук, е следният.

0:03:08.481,0:03:12.178
Казваме, че делта х е равно на[br]разликата

0:03:12.180,0:03:15.080
между двете граници, разделена на[br]броя на участъците,

0:03:15.080,0:03:17.700
на които искаме да разделим[br]интервала, т.е. разделено на n.

0:03:17.700,0:03:21.160
Тогава делта х е равно на b минус а...

0:03:21.900,0:03:29.260
b минус а, върху n.

0:03:29.400,0:03:31.320
Отново търсим съответствие ето тук.

0:03:31.320,0:03:34.380
Ето това делта х е равно на b минус а[br]върху n.

0:03:34.391,0:03:35.520
Нека го запиша.

0:03:35.520,0:03:38.320
Това ще бъде равно на

0:03:38.320,0:03:42.960
b минус a, което е равно на 2,

0:03:43.140,0:03:45.700
и цялото върху n.

0:03:45.840,0:03:50.360
Тогава b минус 2

0:03:50.500,0:03:52.520
е равно на 5.

0:03:52.523,0:03:55.754
Което означава, че b е равно на 7.

0:03:55.754,0:03:57.861
b е равно на 7.

0:03:57.861,0:03:59.220
Ето че намерихме горната граница.

0:03:59.220,0:04:02.460
Разполагаме с първоначалната[br]граница,

0:04:02.460,0:04:05.551
т.е. границата на Римановата сума,

0:04:05.551,0:04:08.654
записана като определен интеграл.

0:04:08.660,0:04:11.200
И отново искам да наблегна на това [br]защо това има смисъл.

0:04:11.205,0:04:13.182
Ако искахме да начертаем това,

0:04:13.182,0:04:14.582
то би изглеждало по следния начин.

0:04:14.582,0:04:19.356
Ще опитам да начертая функцията[br]натурален логаритъм на ръка.

0:04:19.360,0:04:26.100
Изглежда като нещо такова.

0:04:27.380,0:04:30.258
Това ето тук ще бъде равно на 1.

0:04:30.258,0:04:33.211
Нека да изберем ето тук да е 2.

0:04:33.211,0:04:35.664
И така стигаме от 2 до 7.

0:04:35.664,0:04:37.840
Така направено не е съвсем точно.

0:04:38.580,0:04:42.932
Определеният интеграл представлява[br]площта

0:04:42.932,0:04:46.571
под кривата от 2 до 7.

0:04:46.571,0:04:48.154
А тази Риманова сума може да се[br]разглежда

0:04:48.154,0:04:51.505
като приближение, т.е. когато n не[br]клони към безкрайност,

0:04:51.505,0:04:52.740
а това, което правим, е следното.

0:04:52.740,0:04:55.080
Когато i е равно на 1,

0:04:55.085,0:04:59.054
първият участък има широчина от 5/n.

0:04:59.054,0:05:01.573
Всъщност това представлява[br]разликата

0:05:01.573,0:05:02.654
между 2 и 7.

0:05:02.654,0:05:04.273
Вземаме тази разлика от 5

0:05:04.273,0:05:06.319
и я разделяме на n броя[br]правоъгълници.

0:05:06.320,0:05:12.140
Тогава първият ще има широчина[br]от 5/n.

0:05:12.140,0:05:14.340
А на какво ще бъде равна височината му?

0:05:14.340,0:05:16.270
Дадената Риманова сума е дясна,

0:05:16.270,0:05:19.966
т.е. изчисляваме стойността на[br]функцията ето тук,

0:05:19.966,0:05:22.298
която е 2 плюс 5/n.

0:05:22.298,0:05:24.638
Вземаме тази стойност ето тук.

0:05:24.638,0:05:26.788
Това е натурален логаритъм...

0:05:26.788,0:05:31.740
Натурален логаритъм от 2 плюс 5/n.

0:05:32.160,0:05:33.996
И това е първият правоъгълник,

0:05:33.996,0:05:35.746
т.е. умножаваме по 1.

0:05:36.687,0:05:38.564
Продължаваме по същия начин.

0:05:38.564,0:05:40.310
Следващият ето тук

0:05:40.310,0:05:43.320
има същата широчина 5/n.

0:05:43.320,0:05:45.218
На какво обаче е равна височината[br]му?

0:05:45.218,0:05:47.988
Височината тук...Тази височина точно[br]тук

0:05:47.988,0:05:49.561
ще бъде равна на натурален[br]логаритъм

0:05:49.561,0:05:54.980
от 2 плюс 5/n по 2.

0:05:55.140,0:05:58.460
Това тук е за i равно на 2.

0:05:58.460,0:06:00.800
Това е за i равно на 1.

0:06:00.800,0:06:02.880
Надявам се, че разбираш защо това[br]е вярно.

0:06:02.880,0:06:04.879
Лицето на първия правоъгълник

0:06:04.879,0:06:06.866
ще бъде натурален логаритъм

0:06:06.866,0:06:09.038
от 2 плюс 5/n по 1,

0:06:09.040,0:06:11.400
и умножено по 5/n.

0:06:12.200,0:06:13.840
А лицето на втория правоъгълник ето[br]тук,

0:06:13.840,0:06:18.740
е равно на натурален логаритъм от[br]2 плюс 5/n по 2,

0:06:18.900,0:06:21.100
и умножено по 5/n.

0:06:21.500,0:06:23.620
Това представлява изчислението[br]на сумата

0:06:23.620,0:06:25.384
от лицата на тези правоъгълници.

0:06:25.384,0:06:28.520
Границата на сумата, когато n клони[br]към безкрайност,

0:06:28.520,0:06:30.740
ни дава все по-точно и по-точно[br]приближение,

0:06:30.740,0:06:33.120
докато не намерим истинската площ.