1
00:00:00,760 --> 00:00:02,395
Дадена е Риманова сума.

2
00:00:02,395 --> 00:00:04,925
Ще изчислим границата ѝ, когато
n клони към безкрайност.

3
00:00:04,925 --> 00:00:06,157
Целта на настоящия урок,

4
00:00:06,157 --> 00:00:08,137
е да проверим дали можем да
представим тази граница

5
00:00:08,137 --> 00:00:09,756
като определен интеграл.

6
00:00:09,756 --> 00:00:11,176
Насърчавам те да спреш видеото

7
00:00:11,176 --> 00:00:14,775
и да видиш дали можеш да се
справиш самостоятелно.

8
00:00:14,775 --> 00:00:16,054
Нека да си припомним

9
00:00:16,054 --> 00:00:20,428
как определеният интеграл е свързан
с Римановата сума.

10
00:00:20,428 --> 00:00:27,160
Даден е определен интеграл от a до b,

11
00:00:27,280 --> 00:00:33,840
от f от x dx.

12
00:00:34,060 --> 00:00:36,391
В предни уроци видяхме,

13
00:00:36,391 --> 00:00:38,900
че това ще бъде равно на границата,

14
00:00:38,900 --> 00:00:44,120
когато n клони към безкрайност, от
сумата сигма,

15
00:00:44,740 --> 00:00:47,680
като i е в интервала от 1 до n.

16
00:00:47,920 --> 00:00:49,760
Действително образуваме сумата от
лицата

17
00:00:49,760 --> 00:00:51,720
на множество правоъгълници,

18
00:00:51,720 --> 00:00:55,093
където широчината на всеки един от
тях

19
00:00:55,100 --> 00:00:57,600
може да се представи като dx
(делта х).

20
00:00:58,140 --> 00:01:00,916
Широчината ще бъде равна на делта х

21
00:01:00,916 --> 00:01:02,777
за всеки от тези правоъгълници.

22
00:01:02,780 --> 00:01:04,100
Височината ще бъде

23
00:01:04,100 --> 00:01:06,292
равна на стойността на функцията,

24
00:01:06,292 --> 00:01:08,434
изчислена за някакво място в този
интервал делта х.

25
00:01:08,434 --> 00:01:10,128
Ако образуваме дясна Риманова сума,

26
00:01:10,128 --> 00:01:12,799
вземаме дясната граница на
правоъгълника,

27
00:01:12,799 --> 00:01:14,412
или на този подинтервал.

28
00:01:14,412 --> 00:01:18,580
Следователно започваме от долната
граница а

29
00:01:18,580 --> 00:01:23,620
и прибавяме толкова пъти делта х,
колкото са зададени в индекса ( i ).

30
00:01:23,780 --> 00:01:25,440
Ако i е равно на 1,

31
00:01:25,440 --> 00:01:26,940
ще прибавим един път делта х.

32
00:01:26,940 --> 00:01:29,200
Намираме се в десния край на първия
правоъгълник.

33
00:01:29,200 --> 00:01:31,356
Ако i е равно на 2, то прибавяме 2 пъти
делта х.

34
00:01:31,356 --> 00:01:34,630
Тогава тук ще запиша делта х,

35
00:01:34,630 --> 00:01:36,520
умножено по индекса i.

36
00:01:37,060 --> 00:01:38,620
Ето това е общата форма,

37
00:01:38,623 --> 00:01:40,649
която сме виждали преди.

38
00:01:40,649 --> 00:01:42,383
Възможно е дори да потърсиш
съответствия

39
00:01:42,383 --> 00:01:44,373
в модела на запис ето тук.

40
00:01:44,373 --> 00:01:47,406
Функцията изглежда като натурален
логаритъм,

41
00:01:47,406 --> 00:01:49,480
т.е. ето това изглежда като функцията
f от х,

42
00:01:49,480 --> 00:01:51,940
или функцията натурален логаритъм.

43
00:01:51,952 --> 00:01:53,330
Мога да го запиша.

44
00:01:53,330 --> 00:01:57,760
f от х изглежда като натурален
логаритъм от х.

45
00:01:58,460 --> 00:02:00,079
Какво друго виждаме тук?

46
00:02:00,080 --> 00:02:03,380
Това 2 изглежда като стойността а.

47
00:02:03,580 --> 00:02:05,575
а е равно на 2.

48
00:02:05,575 --> 00:02:08,110
А на какво е равно делта х?

49
00:02:08,110 --> 00:02:10,572
Може да разгледаш това тук,

50
00:02:10,572 --> 00:02:12,368
или числото, по което умножаваме,

51
00:02:12,368 --> 00:02:14,572
и което е разделено на n.

52
00:02:14,572 --> 00:02:17,191
Това не е умножение по i,

53
00:02:17,191 --> 00:02:19,582
т.е. изглежда като делта х.

54
00:02:19,582 --> 00:02:22,798
А пък този израз тук изглежда като
делта х, умножено по i.

55
00:02:22,800 --> 00:02:27,460
Тогава изглежда, че делта х е равно
на 5/n.

56
00:02:28,280 --> 00:02:30,816
Добре, какво открихме дотук?

57
00:02:30,816 --> 00:02:33,469
Може да кажем, че този израз тук горе,

58
00:02:33,469 --> 00:02:36,660
т.е. първоначалният израз, ще бъде
равен

59
00:02:36,660 --> 00:02:38,109
на следния определен интеграл.

60
00:02:38,109 --> 00:02:41,089
Знаем, че долната граница започва
от 2,

61
00:02:41,089 --> 00:02:43,148
но все още не сме дефинирали горната
граница.

62
00:02:43,148 --> 00:02:45,077
Все още не сме намерили числото b.

63
00:02:45,080 --> 00:02:50,220
Дадената функция обаче е натурален
логаритъм от х,

64
00:02:50,220 --> 00:02:53,140
така че просто ще запиша dx ето тук.

65
00:02:53,580 --> 00:02:55,199
За да завърша със записа на

66
00:02:55,199 --> 00:02:56,205
този определен интеграл,

67
00:02:56,205 --> 00:02:58,887
следва да мога да запиша горната
граница.

68
00:02:58,887 --> 00:03:00,553
Начинът да намеря горната граница,

69
00:03:00,553 --> 00:03:03,189
е като използвам делта х,

70
00:03:03,189 --> 00:03:05,943
защото начинът, по който намираме
делта х

71
00:03:05,943 --> 00:03:08,481
за Римановата сума тук, е следният.

72
00:03:08,481 --> 00:03:12,178
Казваме, че делта х е равно на
разликата

73
00:03:12,180 --> 00:03:15,080
между двете граници, разделена на
броя на участъците,

74
00:03:15,080 --> 00:03:17,700
на които искаме да разделим
интервала, т.е. разделено на n.

75
00:03:17,700 --> 00:03:21,160
Тогава делта х е равно на b минус а...

76
00:03:21,900 --> 00:03:29,260
b минус а, върху n.

77
00:03:29,400 --> 00:03:31,320
Отново търсим съответствие ето тук.

78
00:03:31,320 --> 00:03:34,380
Ето това делта х е равно на b минус а
върху n.

79
00:03:34,391 --> 00:03:35,520
Нека го запиша.

80
00:03:35,520 --> 00:03:38,320
Това ще бъде равно на

81
00:03:38,320 --> 00:03:42,960
b минус a, което е равно на 2,

82
00:03:43,140 --> 00:03:45,700
и цялото върху n.

83
00:03:45,840 --> 00:03:50,360
Тогава b минус 2

84
00:03:50,500 --> 00:03:52,520
е равно на 5.

85
00:03:52,523 --> 00:03:55,754
Което означава, че b е равно на 7.

86
00:03:55,754 --> 00:03:57,861
b е равно на 7.

87
00:03:57,861 --> 00:03:59,220
Ето че намерихме горната граница.

88
00:03:59,220 --> 00:04:02,460
Разполагаме с първоначалната
граница,

89
00:04:02,460 --> 00:04:05,551
т.е. границата на Римановата сума,

90
00:04:05,551 --> 00:04:08,654
записана като определен интеграл.

91
00:04:08,660 --> 00:04:11,200
И отново искам да наблегна на това 
защо това има смисъл.

92
00:04:11,205 --> 00:04:13,182
Ако искахме да начертаем това,

93
00:04:13,182 --> 00:04:14,582
то би изглеждало по следния начин.

94
00:04:14,582 --> 00:04:19,356
Ще опитам да начертая функцията
натурален логаритъм на ръка.

95
00:04:19,360 --> 00:04:26,100
Изглежда като нещо такова.

96
00:04:27,380 --> 00:04:30,258
Това ето тук ще бъде равно на 1.

97
00:04:30,258 --> 00:04:33,211
Нека да изберем ето тук да е 2.

98
00:04:33,211 --> 00:04:35,664
И така стигаме от 2 до 7.

99
00:04:35,664 --> 00:04:37,840
Така направено не е съвсем точно.

100
00:04:38,580 --> 00:04:42,932
Определеният интеграл представлява
площта

101
00:04:42,932 --> 00:04:46,571
под кривата от 2 до 7.

102
00:04:46,571 --> 00:04:48,154
А тази Риманова сума може да се
разглежда

103
00:04:48,154 --> 00:04:51,505
като приближение, т.е. когато n не
клони към безкрайност,

104
00:04:51,505 --> 00:04:52,740
а това, което правим, е следното.

105
00:04:52,740 --> 00:04:55,080
Когато i е равно на 1,

106
00:04:55,085 --> 00:04:59,054
първият участък има широчина от 5/n.

107
00:04:59,054 --> 00:05:01,573
Всъщност това представлява
разликата

108
00:05:01,573 --> 00:05:02,654
между 2 и 7.

109
00:05:02,654 --> 00:05:04,273
Вземаме тази разлика от 5

110
00:05:04,273 --> 00:05:06,319
и я разделяме на n броя
правоъгълници.

111
00:05:06,320 --> 00:05:12,140
Тогава първият ще има широчина
от 5/n.

112
00:05:12,140 --> 00:05:14,340
А на какво ще бъде равна височината му?

113
00:05:14,340 --> 00:05:16,270
Дадената Риманова сума е дясна,

114
00:05:16,270 --> 00:05:19,966
т.е. изчисляваме стойността на
функцията ето тук,

115
00:05:19,966 --> 00:05:22,298
която е 2 плюс 5/n.

116
00:05:22,298 --> 00:05:24,638
Вземаме тази стойност ето тук.

117
00:05:24,638 --> 00:05:26,788
Това е натурален логаритъм...

118
00:05:26,788 --> 00:05:31,740
Натурален логаритъм от 2 плюс 5/n.

119
00:05:32,160 --> 00:05:33,996
И това е първият правоъгълник,

120
00:05:33,996 --> 00:05:35,746
т.е. умножаваме по 1.

121
00:05:36,687 --> 00:05:38,564
Продължаваме по същия начин.

122
00:05:38,564 --> 00:05:40,310
Следващият ето тук

123
00:05:40,310 --> 00:05:43,320
има същата широчина 5/n.

124
00:05:43,320 --> 00:05:45,218
На какво обаче е равна височината
му?

125
00:05:45,218 --> 00:05:47,988
Височината тук...Тази височина точно
тук

126
00:05:47,988 --> 00:05:49,561
ще бъде равна на натурален
логаритъм

127
00:05:49,561 --> 00:05:54,980
от 2 плюс 5/n по 2.

128
00:05:55,140 --> 00:05:58,460
Това тук е за i равно на 2.

129
00:05:58,460 --> 00:06:00,800
Това е за i равно на 1.

130
00:06:00,800 --> 00:06:02,880
Надявам се, че разбираш защо това
е вярно.

131
00:06:02,880 --> 00:06:04,879
Лицето на първия правоъгълник

132
00:06:04,879 --> 00:06:06,866
ще бъде натурален логаритъм

133
00:06:06,866 --> 00:06:09,038
от 2 плюс 5/n по 1,

134
00:06:09,040 --> 00:06:11,400
и умножено по 5/n.

135
00:06:12,200 --> 00:06:13,840
А лицето на втория правоъгълник ето
тук,

136
00:06:13,840 --> 00:06:18,740
е равно на натурален логаритъм от
2 плюс 5/n по 2,

137
00:06:18,900 --> 00:06:21,100
и умножено по 5/n.

138
00:06:21,500 --> 00:06:23,620
Това представлява изчислението
на сумата

139
00:06:23,620 --> 00:06:25,384
от лицата на тези правоъгълници.

140
00:06:25,384 --> 00:06:28,520
Границата на сумата, когато n клони
към безкрайност,

141
00:06:28,520 --> 00:06:30,740
ни дава все по-точно и по-точно
приближение,

142
00:06:30,740 --> 00:06:33,120
докато не намерим истинската площ.