[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.76,0:00:02.40,Default,,0000,0000,0000,,Дадена е Риманова сума.
Dialogue: 0,0:00:02.40,0:00:04.92,Default,,0000,0000,0000,,Ще изчислим границата ѝ, когато\Nn клони към безкрайност.
Dialogue: 0,0:00:04.92,0:00:06.16,Default,,0000,0000,0000,,Целта на настоящия урок,
Dialogue: 0,0:00:06.16,0:00:08.14,Default,,0000,0000,0000,,е да проверим дали можем да\Nпредставим тази граница
Dialogue: 0,0:00:08.14,0:00:09.76,Default,,0000,0000,0000,,като определен интеграл.
Dialogue: 0,0:00:09.76,0:00:11.18,Default,,0000,0000,0000,,Насърчавам те да спреш видеото
Dialogue: 0,0:00:11.18,0:00:14.78,Default,,0000,0000,0000,,и да видиш дали можеш да се\Nсправиш самостоятелно.
Dialogue: 0,0:00:14.78,0:00:16.05,Default,,0000,0000,0000,,Нека да си припомним
Dialogue: 0,0:00:16.05,0:00:20.43,Default,,0000,0000,0000,,как определеният интеграл е свързан\Nс Римановата сума.
Dialogue: 0,0:00:20.43,0:00:27.16,Default,,0000,0000,0000,,Даден е определен интеграл от a до b,
Dialogue: 0,0:00:27.28,0:00:33.84,Default,,0000,0000,0000,,от f от x dx.
Dialogue: 0,0:00:34.06,0:00:36.39,Default,,0000,0000,0000,,В предни уроци видяхме,
Dialogue: 0,0:00:36.39,0:00:38.90,Default,,0000,0000,0000,,че това ще бъде равно на границата,
Dialogue: 0,0:00:38.90,0:00:44.12,Default,,0000,0000,0000,,когато n клони към безкрайност, от\Nсумата сигма,
Dialogue: 0,0:00:44.74,0:00:47.68,Default,,0000,0000,0000,,като i е в интервала от 1 до n.
Dialogue: 0,0:00:47.92,0:00:49.76,Default,,0000,0000,0000,,Действително образуваме сумата от\Nлицата
Dialogue: 0,0:00:49.76,0:00:51.72,Default,,0000,0000,0000,,на множество правоъгълници,
Dialogue: 0,0:00:51.72,0:00:55.09,Default,,0000,0000,0000,,където широчината на всеки един от\Nтях
Dialogue: 0,0:00:55.10,0:00:57.60,Default,,0000,0000,0000,,може да се представи като dx\N(делта х).
Dialogue: 0,0:00:58.14,0:01:00.92,Default,,0000,0000,0000,,Широчината ще бъде равна на делта х
Dialogue: 0,0:01:00.92,0:01:02.78,Default,,0000,0000,0000,,за всеки от тези правоъгълници.
Dialogue: 0,0:01:02.78,0:01:04.10,Default,,0000,0000,0000,,Височината ще бъде
Dialogue: 0,0:01:04.10,0:01:06.29,Default,,0000,0000,0000,,равна на стойността на функцията,
Dialogue: 0,0:01:06.29,0:01:08.43,Default,,0000,0000,0000,,изчислена за някакво място в този\Nинтервал делта х.
Dialogue: 0,0:01:08.43,0:01:10.13,Default,,0000,0000,0000,,Ако образуваме дясна Риманова сума,
Dialogue: 0,0:01:10.13,0:01:12.80,Default,,0000,0000,0000,,вземаме дясната граница на\Nправоъгълника,
Dialogue: 0,0:01:12.80,0:01:14.41,Default,,0000,0000,0000,,или на този подинтервал.
Dialogue: 0,0:01:14.41,0:01:18.58,Default,,0000,0000,0000,,Следователно започваме от долната\Nграница а
Dialogue: 0,0:01:18.58,0:01:23.62,Default,,0000,0000,0000,,и прибавяме толкова пъти делта х,\Nколкото са зададени в индекса ( i ).
Dialogue: 0,0:01:23.78,0:01:25.44,Default,,0000,0000,0000,,Ако i е равно на 1,
Dialogue: 0,0:01:25.44,0:01:26.94,Default,,0000,0000,0000,,ще прибавим един път делта х.
Dialogue: 0,0:01:26.94,0:01:29.20,Default,,0000,0000,0000,,Намираме се в десния край на първия\Nправоъгълник.
Dialogue: 0,0:01:29.20,0:01:31.36,Default,,0000,0000,0000,,Ако i е равно на 2, то прибавяме 2 пъти\Nделта х.
Dialogue: 0,0:01:31.36,0:01:34.63,Default,,0000,0000,0000,,Тогава тук ще запиша делта х,
Dialogue: 0,0:01:34.63,0:01:36.52,Default,,0000,0000,0000,,умножено по индекса i.
Dialogue: 0,0:01:37.06,0:01:38.62,Default,,0000,0000,0000,,Ето това е общата форма,
Dialogue: 0,0:01:38.62,0:01:40.65,Default,,0000,0000,0000,,която сме виждали преди.
Dialogue: 0,0:01:40.65,0:01:42.38,Default,,0000,0000,0000,,Възможно е дори да потърсиш\Nсъответствия
Dialogue: 0,0:01:42.38,0:01:44.37,Default,,0000,0000,0000,,в модела на запис ето тук.
Dialogue: 0,0:01:44.37,0:01:47.41,Default,,0000,0000,0000,,Функцията изглежда като натурален\Nлогаритъм,
Dialogue: 0,0:01:47.41,0:01:49.48,Default,,0000,0000,0000,,т.е. ето това изглежда като функцията\Nf от х,
Dialogue: 0,0:01:49.48,0:01:51.94,Default,,0000,0000,0000,,или функцията натурален логаритъм.
Dialogue: 0,0:01:51.95,0:01:53.33,Default,,0000,0000,0000,,Мога да го запиша.
Dialogue: 0,0:01:53.33,0:01:57.76,Default,,0000,0000,0000,,f от х изглежда като натурален\Nлогаритъм от х.
Dialogue: 0,0:01:58.46,0:02:00.08,Default,,0000,0000,0000,,Какво друго виждаме тук?
Dialogue: 0,0:02:00.08,0:02:03.38,Default,,0000,0000,0000,,Това 2 изглежда като стойността а.
Dialogue: 0,0:02:03.58,0:02:05.58,Default,,0000,0000,0000,,а е равно на 2.
Dialogue: 0,0:02:05.58,0:02:08.11,Default,,0000,0000,0000,,А на какво е равно делта х?
Dialogue: 0,0:02:08.11,0:02:10.57,Default,,0000,0000,0000,,Може да разгледаш това тук,
Dialogue: 0,0:02:10.57,0:02:12.37,Default,,0000,0000,0000,,или числото, по което умножаваме,
Dialogue: 0,0:02:12.37,0:02:14.57,Default,,0000,0000,0000,,и което е разделено на n.
Dialogue: 0,0:02:14.57,0:02:17.19,Default,,0000,0000,0000,,Това не е умножение по i,
Dialogue: 0,0:02:17.19,0:02:19.58,Default,,0000,0000,0000,,т.е. изглежда като делта х.
Dialogue: 0,0:02:19.58,0:02:22.80,Default,,0000,0000,0000,,А пък този израз тук изглежда като\Nделта х, умножено по i.
Dialogue: 0,0:02:22.80,0:02:27.46,Default,,0000,0000,0000,,Тогава изглежда, че делта х е равно\Nна 5/n.
Dialogue: 0,0:02:28.28,0:02:30.82,Default,,0000,0000,0000,,Добре, какво открихме дотук?
Dialogue: 0,0:02:30.82,0:02:33.47,Default,,0000,0000,0000,,Може да кажем, че този израз тук горе,
Dialogue: 0,0:02:33.47,0:02:36.66,Default,,0000,0000,0000,,т.е. първоначалният израз, ще бъде\Nравен
Dialogue: 0,0:02:36.66,0:02:38.11,Default,,0000,0000,0000,,на следния определен интеграл.
Dialogue: 0,0:02:38.11,0:02:41.09,Default,,0000,0000,0000,,Знаем, че долната граница започва\Nот 2,
Dialogue: 0,0:02:41.09,0:02:43.15,Default,,0000,0000,0000,,но все още не сме дефинирали горната\Nграница.
Dialogue: 0,0:02:43.15,0:02:45.08,Default,,0000,0000,0000,,Все още не сме намерили числото b.
Dialogue: 0,0:02:45.08,0:02:50.22,Default,,0000,0000,0000,,Дадената функция обаче е натурален\Nлогаритъм от х,
Dialogue: 0,0:02:50.22,0:02:53.14,Default,,0000,0000,0000,,така че просто ще запиша dx ето тук.
Dialogue: 0,0:02:53.58,0:02:55.20,Default,,0000,0000,0000,,За да завърша със записа на
Dialogue: 0,0:02:55.20,0:02:56.20,Default,,0000,0000,0000,,този определен интеграл,
Dialogue: 0,0:02:56.20,0:02:58.89,Default,,0000,0000,0000,,следва да мога да запиша горната\Nграница.
Dialogue: 0,0:02:58.89,0:03:00.55,Default,,0000,0000,0000,,Начинът да намеря горната граница,
Dialogue: 0,0:03:00.55,0:03:03.19,Default,,0000,0000,0000,,е като използвам делта х,
Dialogue: 0,0:03:03.19,0:03:05.94,Default,,0000,0000,0000,,защото начинът, по който намираме\Nделта х
Dialogue: 0,0:03:05.94,0:03:08.48,Default,,0000,0000,0000,,за Римановата сума тук, е следният.
Dialogue: 0,0:03:08.48,0:03:12.18,Default,,0000,0000,0000,,Казваме, че делта х е равно на\Nразликата
Dialogue: 0,0:03:12.18,0:03:15.08,Default,,0000,0000,0000,,между двете граници, разделена на\Nброя на участъците,
Dialogue: 0,0:03:15.08,0:03:17.70,Default,,0000,0000,0000,,на които искаме да разделим\Nинтервала, т.е. разделено на n.
Dialogue: 0,0:03:17.70,0:03:21.16,Default,,0000,0000,0000,,Тогава делта х е равно на b минус а...
Dialogue: 0,0:03:21.90,0:03:29.26,Default,,0000,0000,0000,,b минус а, върху n.
Dialogue: 0,0:03:29.40,0:03:31.32,Default,,0000,0000,0000,,Отново търсим съответствие ето тук.
Dialogue: 0,0:03:31.32,0:03:34.38,Default,,0000,0000,0000,,Ето това делта х е равно на b минус а\Nвърху n.
Dialogue: 0,0:03:34.39,0:03:35.52,Default,,0000,0000,0000,,Нека го запиша.
Dialogue: 0,0:03:35.52,0:03:38.32,Default,,0000,0000,0000,,Това ще бъде равно на
Dialogue: 0,0:03:38.32,0:03:42.96,Default,,0000,0000,0000,,b минус a, което е равно на 2,
Dialogue: 0,0:03:43.14,0:03:45.70,Default,,0000,0000,0000,,и цялото върху n.
Dialogue: 0,0:03:45.84,0:03:50.36,Default,,0000,0000,0000,,Тогава b минус 2
Dialogue: 0,0:03:50.50,0:03:52.52,Default,,0000,0000,0000,,е равно на 5.
Dialogue: 0,0:03:52.52,0:03:55.75,Default,,0000,0000,0000,,Което означава, че b е равно на 7.
Dialogue: 0,0:03:55.75,0:03:57.86,Default,,0000,0000,0000,,b е равно на 7.
Dialogue: 0,0:03:57.86,0:03:59.22,Default,,0000,0000,0000,,Ето че намерихме горната граница.
Dialogue: 0,0:03:59.22,0:04:02.46,Default,,0000,0000,0000,,Разполагаме с първоначалната\Nграница,
Dialogue: 0,0:04:02.46,0:04:05.55,Default,,0000,0000,0000,,т.е. границата на Римановата сума,
Dialogue: 0,0:04:05.55,0:04:08.65,Default,,0000,0000,0000,,записана като определен интеграл.
Dialogue: 0,0:04:08.66,0:04:11.20,Default,,0000,0000,0000,,И отново искам да наблегна на това \Nзащо това има смисъл.
Dialogue: 0,0:04:11.20,0:04:13.18,Default,,0000,0000,0000,,Ако искахме да начертаем това,
Dialogue: 0,0:04:13.18,0:04:14.58,Default,,0000,0000,0000,,то би изглеждало по следния начин.
Dialogue: 0,0:04:14.58,0:04:19.36,Default,,0000,0000,0000,,Ще опитам да начертая функцията\Nнатурален логаритъм на ръка.
Dialogue: 0,0:04:19.36,0:04:26.10,Default,,0000,0000,0000,,Изглежда като нещо такова.
Dialogue: 0,0:04:27.38,0:04:30.26,Default,,0000,0000,0000,,Това ето тук ще бъде равно на 1.
Dialogue: 0,0:04:30.26,0:04:33.21,Default,,0000,0000,0000,,Нека да изберем ето тук да е 2.
Dialogue: 0,0:04:33.21,0:04:35.66,Default,,0000,0000,0000,,И така стигаме от 2 до 7.
Dialogue: 0,0:04:35.66,0:04:37.84,Default,,0000,0000,0000,,Така направено не е съвсем точно.
Dialogue: 0,0:04:38.58,0:04:42.93,Default,,0000,0000,0000,,Определеният интеграл представлява\Nплощта
Dialogue: 0,0:04:42.93,0:04:46.57,Default,,0000,0000,0000,,под кривата от 2 до 7.
Dialogue: 0,0:04:46.57,0:04:48.15,Default,,0000,0000,0000,,А тази Риманова сума може да се\Nразглежда
Dialogue: 0,0:04:48.15,0:04:51.50,Default,,0000,0000,0000,,като приближение, т.е. когато n не\Nклони към безкрайност,
Dialogue: 0,0:04:51.50,0:04:52.74,Default,,0000,0000,0000,,а това, което правим, е следното.
Dialogue: 0,0:04:52.74,0:04:55.08,Default,,0000,0000,0000,,Когато i е равно на 1,
Dialogue: 0,0:04:55.08,0:04:59.05,Default,,0000,0000,0000,,първият участък има широчина от 5/n.
Dialogue: 0,0:04:59.05,0:05:01.57,Default,,0000,0000,0000,,Всъщност това представлява\Nразликата
Dialogue: 0,0:05:01.57,0:05:02.65,Default,,0000,0000,0000,,между 2 и 7.
Dialogue: 0,0:05:02.65,0:05:04.27,Default,,0000,0000,0000,,Вземаме тази разлика от 5
Dialogue: 0,0:05:04.27,0:05:06.32,Default,,0000,0000,0000,,и я разделяме на n броя\Nправоъгълници.
Dialogue: 0,0:05:06.32,0:05:12.14,Default,,0000,0000,0000,,Тогава първият ще има широчина\Nот 5/n.
Dialogue: 0,0:05:12.14,0:05:14.34,Default,,0000,0000,0000,,А на какво ще бъде равна височината му?
Dialogue: 0,0:05:14.34,0:05:16.27,Default,,0000,0000,0000,,Дадената Риманова сума е дясна,
Dialogue: 0,0:05:16.27,0:05:19.97,Default,,0000,0000,0000,,т.е. изчисляваме стойността на\Nфункцията ето тук,
Dialogue: 0,0:05:19.97,0:05:22.30,Default,,0000,0000,0000,,която е 2 плюс 5/n.
Dialogue: 0,0:05:22.30,0:05:24.64,Default,,0000,0000,0000,,Вземаме тази стойност ето тук.
Dialogue: 0,0:05:24.64,0:05:26.79,Default,,0000,0000,0000,,Това е натурален логаритъм...
Dialogue: 0,0:05:26.79,0:05:31.74,Default,,0000,0000,0000,,Натурален логаритъм от 2 плюс 5/n.
Dialogue: 0,0:05:32.16,0:05:33.100,Default,,0000,0000,0000,,И това е първият правоъгълник,
Dialogue: 0,0:05:33.100,0:05:35.75,Default,,0000,0000,0000,,т.е. умножаваме по 1.
Dialogue: 0,0:05:36.69,0:05:38.56,Default,,0000,0000,0000,,Продължаваме по същия начин.
Dialogue: 0,0:05:38.56,0:05:40.31,Default,,0000,0000,0000,,Следващият ето тук
Dialogue: 0,0:05:40.31,0:05:43.32,Default,,0000,0000,0000,,има същата широчина 5/n.
Dialogue: 0,0:05:43.32,0:05:45.22,Default,,0000,0000,0000,,На какво обаче е равна височината\Nму?
Dialogue: 0,0:05:45.22,0:05:47.99,Default,,0000,0000,0000,,Височината тук...Тази височина точно\Nтук
Dialogue: 0,0:05:47.99,0:05:49.56,Default,,0000,0000,0000,,ще бъде равна на натурален\Nлогаритъм
Dialogue: 0,0:05:49.56,0:05:54.98,Default,,0000,0000,0000,,от 2 плюс 5/n по 2.
Dialogue: 0,0:05:55.14,0:05:58.46,Default,,0000,0000,0000,,Това тук е за i равно на 2.
Dialogue: 0,0:05:58.46,0:06:00.80,Default,,0000,0000,0000,,Това е за i равно на 1.
Dialogue: 0,0:06:00.80,0:06:02.88,Default,,0000,0000,0000,,Надявам се, че разбираш защо това\Nе вярно.
Dialogue: 0,0:06:02.88,0:06:04.88,Default,,0000,0000,0000,,Лицето на първия правоъгълник
Dialogue: 0,0:06:04.88,0:06:06.87,Default,,0000,0000,0000,,ще бъде натурален логаритъм
Dialogue: 0,0:06:06.87,0:06:09.04,Default,,0000,0000,0000,,от 2 плюс 5/n по 1,
Dialogue: 0,0:06:09.04,0:06:11.40,Default,,0000,0000,0000,,и умножено по 5/n.
Dialogue: 0,0:06:12.20,0:06:13.84,Default,,0000,0000,0000,,А лицето на втория правоъгълник ето\Nтук,
Dialogue: 0,0:06:13.84,0:06:18.74,Default,,0000,0000,0000,,е равно на натурален логаритъм от\N2 плюс 5/n по 2,
Dialogue: 0,0:06:18.90,0:06:21.10,Default,,0000,0000,0000,,и умножено по 5/n.
Dialogue: 0,0:06:21.50,0:06:23.62,Default,,0000,0000,0000,,Това представлява изчислението\Nна сумата
Dialogue: 0,0:06:23.62,0:06:25.38,Default,,0000,0000,0000,,от лицата на тези правоъгълници.
Dialogue: 0,0:06:25.38,0:06:28.52,Default,,0000,0000,0000,,Границата на сумата, когато n клони\Nкъм безкрайност,
Dialogue: 0,0:06:28.52,0:06:30.74,Default,,0000,0000,0000,,ни дава все по-точно и по-точно\Nприближение,
Dialogue: 0,0:06:30.74,0:06:33.12,Default,,0000,0000,0000,,докато не намерим истинската площ.