WEBVTT

00:00:00.760 --> 00:00:02.395
Дадена е Риманова сума.

00:00:02.395 --> 00:00:04.925
Ще изчислим границата ѝ, когато
n клони към безкрайност.

00:00:04.925 --> 00:00:06.157
Целта на настоящия урок,

00:00:06.157 --> 00:00:08.137
е да проверим дали можем да
представим тази граница

00:00:08.137 --> 00:00:09.756
като определен интеграл.

00:00:09.756 --> 00:00:11.176
Насърчавам те да спреш видеото

00:00:11.176 --> 00:00:14.775
и да видиш дали можеш да се
справиш самостоятелно.

00:00:14.775 --> 00:00:16.054
Нека да си припомним

00:00:16.054 --> 00:00:20.428
как определеният интеграл е свързан
с Римановата сума.

00:00:20.428 --> 00:00:27.160
Даден е определен интеграл от a до b,

00:00:27.280 --> 00:00:33.840
от f от x dx.

00:00:34.060 --> 00:00:36.391
В предни уроци видяхме,

00:00:36.391 --> 00:00:38.900
че това ще бъде равно на границата,

00:00:38.900 --> 00:00:44.120
когато n клони към безкрайност, от
сумата сигма,

00:00:44.740 --> 00:00:47.680
като i е в интервала от 1 до n.

00:00:47.920 --> 00:00:49.760
Действително образуваме сумата от
лицата

00:00:49.760 --> 00:00:51.720
на множество правоъгълници,

00:00:51.720 --> 00:00:55.093
където широчината на всеки един от
тях

00:00:55.100 --> 00:00:57.600
може да се представи като dx
(делта х).

00:00:58.140 --> 00:01:00.916
Широчината ще бъде равна на делта х

00:01:00.916 --> 00:01:02.777
за всеки от тези правоъгълници.

00:01:02.780 --> 00:01:04.100
Височината ще бъде

00:01:04.100 --> 00:01:06.292
равна на стойността на функцията,

00:01:06.292 --> 00:01:08.434
изчислена за някакво място в този
интервал делта х.

00:01:08.434 --> 00:01:10.128
Ако образуваме дясна Риманова сума,

00:01:10.128 --> 00:01:12.799
вземаме дясната граница на
правоъгълника,

00:01:12.799 --> 00:01:14.412
или на този подинтервал.

00:01:14.412 --> 00:01:18.580
Следователно започваме от долната
граница а

00:01:18.580 --> 00:01:23.620
и прибавяме толкова пъти делта х,
колкото са зададени в индекса ( i ).

00:01:23.780 --> 00:01:25.440
Ако i е равно на 1,

00:01:25.440 --> 00:01:26.940
ще прибавим един път делта х.

00:01:26.940 --> 00:01:29.200
Намираме се в десния край на първия
правоъгълник.

00:01:29.200 --> 00:01:31.356
Ако i е равно на 2, то прибавяме 2 пъти
делта х.

00:01:31.356 --> 00:01:34.630
Тогава тук ще запиша делта х,

00:01:34.630 --> 00:01:36.520
умножено по индекса i.

00:01:37.060 --> 00:01:38.620
Ето това е общата форма,

00:01:38.623 --> 00:01:40.649
която сме виждали преди.

00:01:40.649 --> 00:01:42.383
Възможно е дори да потърсиш
съответствия

00:01:42.383 --> 00:01:44.373
в модела на запис ето тук.

00:01:44.373 --> 00:01:47.406
Функцията изглежда като натурален
логаритъм,

00:01:47.406 --> 00:01:49.480
т.е. ето това изглежда като функцията
f от х,

00:01:49.480 --> 00:01:51.940
или функцията натурален логаритъм.

00:01:51.952 --> 00:01:53.330
Мога да го запиша.

00:01:53.330 --> 00:01:57.760
f от х изглежда като натурален
логаритъм от х.

00:01:58.460 --> 00:02:00.079
Какво друго виждаме тук?

00:02:00.080 --> 00:02:03.380
Това 2 изглежда като стойността а.

00:02:03.580 --> 00:02:05.575
а е равно на 2.

00:02:05.575 --> 00:02:08.110
А на какво е равно делта х?

00:02:08.110 --> 00:02:10.572
Може да разгледаш това тук,

00:02:10.572 --> 00:02:12.368
или числото, по което умножаваме,

00:02:12.368 --> 00:02:14.572
и което е разделено на n.

00:02:14.572 --> 00:02:17.191
Това не е умножение по i,

00:02:17.191 --> 00:02:19.582
т.е. изглежда като делта х.

00:02:19.582 --> 00:02:22.798
А пък този израз тук изглежда като
делта х, умножено по i.

00:02:22.800 --> 00:02:27.460
Тогава изглежда, че делта х е равно
на 5/n.

00:02:28.280 --> 00:02:30.816
Добре, какво открихме дотук?

00:02:30.816 --> 00:02:33.469
Може да кажем, че този израз тук горе,

00:02:33.469 --> 00:02:36.660
т.е. първоначалният израз, ще бъде
равен

00:02:36.660 --> 00:02:38.109
на следния определен интеграл.

00:02:38.109 --> 00:02:41.089
Знаем, че долната граница започва
от 2,

00:02:41.089 --> 00:02:43.148
но все още не сме дефинирали горната
граница.

00:02:43.148 --> 00:02:45.077
Все още не сме намерили числото b.

00:02:45.080 --> 00:02:50.220
Дадената функция обаче е натурален
логаритъм от х,

00:02:50.220 --> 00:02:53.140
така че просто ще запиша dx ето тук.

00:02:53.580 --> 00:02:55.199
За да завърша със записа на

00:02:55.199 --> 00:02:56.205
този определен интеграл,

00:02:56.205 --> 00:02:58.887
следва да мога да запиша горната
граница.

00:02:58.887 --> 00:03:00.553
Начинът да намеря горната граница,

00:03:00.553 --> 00:03:03.189
е като използвам делта х,

00:03:03.189 --> 00:03:05.943
защото начинът, по който намираме
делта х

00:03:05.943 --> 00:03:08.481
за Римановата сума тук, е следният.

00:03:08.481 --> 00:03:12.178
Казваме, че делта х е равно на
разликата

00:03:12.180 --> 00:03:15.080
между двете граници, разделена на
броя на участъците,

00:03:15.080 --> 00:03:17.700
на които искаме да разделим
интервала, т.е. разделено на n.

00:03:17.700 --> 00:03:21.160
Тогава делта х е равно на b минус а...

00:03:21.900 --> 00:03:29.260
b минус а, върху n.

00:03:29.400 --> 00:03:31.320
Отново търсим съответствие ето тук.

00:03:31.320 --> 00:03:34.380
Ето това делта х е равно на b минус а
върху n.

00:03:34.391 --> 00:03:35.520
Нека го запиша.

00:03:35.520 --> 00:03:38.320
Това ще бъде равно на

00:03:38.320 --> 00:03:42.960
b минус a, което е равно на 2,

00:03:43.140 --> 00:03:45.700
и цялото върху n.

00:03:45.840 --> 00:03:50.360
Тогава b минус 2

00:03:50.500 --> 00:03:52.520
е равно на 5.

00:03:52.523 --> 00:03:55.754
Което означава, че b е равно на 7.

00:03:55.754 --> 00:03:57.861
b е равно на 7.

00:03:57.861 --> 00:03:59.220
Ето че намерихме горната граница.

00:03:59.220 --> 00:04:02.460
Разполагаме с първоначалната
граница,

00:04:02.460 --> 00:04:05.551
т.е. границата на Римановата сума,

00:04:05.551 --> 00:04:08.654
записана като определен интеграл.

00:04:08.660 --> 00:04:11.200
И отново искам да наблегна на това 
защо това има смисъл.

00:04:11.205 --> 00:04:13.182
Ако искахме да начертаем това,

00:04:13.182 --> 00:04:14.582
то би изглеждало по следния начин.

00:04:14.582 --> 00:04:19.356
Ще опитам да начертая функцията
натурален логаритъм на ръка.

00:04:19.360 --> 00:04:26.100
Изглежда като нещо такова.

00:04:27.380 --> 00:04:30.258
Това ето тук ще бъде равно на 1.

00:04:30.258 --> 00:04:33.211
Нека да изберем ето тук да е 2.

00:04:33.211 --> 00:04:35.664
И така стигаме от 2 до 7.

00:04:35.664 --> 00:04:37.840
Така направено не е съвсем точно.

00:04:38.580 --> 00:04:42.932
Определеният интеграл представлява
площта

00:04:42.932 --> 00:04:46.571
под кривата от 2 до 7.

00:04:46.571 --> 00:04:48.154
А тази Риманова сума може да се
разглежда

00:04:48.154 --> 00:04:51.505
като приближение, т.е. когато n не
клони към безкрайност,

00:04:51.505 --> 00:04:52.740
а това, което правим, е следното.

00:04:52.740 --> 00:04:55.080
Когато i е равно на 1,

00:04:55.085 --> 00:04:59.054
първият участък има широчина от 5/n.

00:04:59.054 --> 00:05:01.573
Всъщност това представлява
разликата

00:05:01.573 --> 00:05:02.654
между 2 и 7.

00:05:02.654 --> 00:05:04.273
Вземаме тази разлика от 5

00:05:04.273 --> 00:05:06.319
и я разделяме на n броя
правоъгълници.

00:05:06.320 --> 00:05:12.140
Тогава първият ще има широчина
от 5/n.

00:05:12.140 --> 00:05:14.340
А на какво ще бъде равна височината му?

00:05:14.340 --> 00:05:16.270
Дадената Риманова сума е дясна,

00:05:16.270 --> 00:05:19.966
т.е. изчисляваме стойността на
функцията ето тук,

00:05:19.966 --> 00:05:22.298
която е 2 плюс 5/n.

00:05:22.298 --> 00:05:24.638
Вземаме тази стойност ето тук.

00:05:24.638 --> 00:05:26.788
Това е натурален логаритъм...

00:05:26.788 --> 00:05:31.740
Натурален логаритъм от 2 плюс 5/n.

00:05:32.160 --> 00:05:33.996
И това е първият правоъгълник,

00:05:33.996 --> 00:05:35.746
т.е. умножаваме по 1.

00:05:36.687 --> 00:05:38.564
Продължаваме по същия начин.

00:05:38.564 --> 00:05:40.310
Следващият ето тук

00:05:40.310 --> 00:05:43.320
има същата широчина 5/n.

00:05:43.320 --> 00:05:45.218
На какво обаче е равна височината
му?

00:05:45.218 --> 00:05:47.988
Височината тук...Тази височина точно
тук

00:05:47.988 --> 00:05:49.561
ще бъде равна на натурален
логаритъм

00:05:49.561 --> 00:05:54.980
от 2 плюс 5/n по 2.

00:05:55.140 --> 00:05:58.460
Това тук е за i равно на 2.

00:05:58.460 --> 00:06:00.800
Това е за i равно на 1.

00:06:00.800 --> 00:06:02.880
Надявам се, че разбираш защо това
е вярно.

00:06:02.880 --> 00:06:04.879
Лицето на първия правоъгълник

00:06:04.879 --> 00:06:06.866
ще бъде натурален логаритъм

00:06:06.866 --> 00:06:09.038
от 2 плюс 5/n по 1,

00:06:09.040 --> 00:06:11.400
и умножено по 5/n.

00:06:12.200 --> 00:06:13.840
А лицето на втория правоъгълник ето
тук,

00:06:13.840 --> 00:06:18.740
е равно на натурален логаритъм от
2 плюс 5/n по 2,

00:06:18.900 --> 00:06:21.100
и умножено по 5/n.

00:06:21.500 --> 00:06:23.620
Това представлява изчислението
на сумата

00:06:23.620 --> 00:06:25.384
от лицата на тези правоъгълници.

00:06:25.384 --> 00:06:28.520
Границата на сумата, когато n клони
към безкрайност,

00:06:28.520 --> 00:06:30.740
ни дава все по-точно и по-точно
приближение,

00:06:30.740 --> 00:06:33.120
докато не намерим истинската площ.