리만합이 있고
n이 무한대에 가까워질 때의 극한을 구하고자 합니다
이번 동영상의 목표는
이것을 정적분으로 다시 쓸 수 있는지 알아보는 것입니다
동영상을 멈추고
스스로 풀어보는 걸 추천합니다
정적분이 어떻게 리만합과 연관되어 있는지 기억해 봅시다
a에서 b까지 f(x) dx의 정적분이 있다면
다른 동영상에서
n이 무한대에 가까워질 때
i가 1에서 n까지의 합의 극한이란 것을 보았습니다
결국 직사각형의 넓이를
여러 개 더하는 것입니다
각 직사각형의 너비는 Δx이고
높이는
Δx 사이에 있는 어떤 함숫값으로 계산합니다
오른쪽 리만합을 계산한다면
그 직사각형 혹은 부분 구간의
오른쪽 끝을 사용합니다
하한 a에서 시작해서
인덱스에 나와있는 것만큼 Δx를 더합니다
i가 1이라면
Δx를 하나 더합니다
그러면 첫 직사각형의 오른쪽에 해당합니다
i가 2라면 Δx를 두 개 더합니다
Δx에 인덱스를 곱합니다
이전부터 보았던 일반적인 형태는 이렇습니다
한 가지 가능성으로
규칙을 찾아볼 수 있습니다
함수가 자연로그 함수 같은데
이게 f(x)에 해당합니다
자연로그 함수이죠
써 봅시다
f(x) = ln(x)입니다
무엇이 더 보이나요?
a는 2에 해당해 보입니다
a = 2입니다
Δx는 무엇일까요?
여기를 보면
여기에 곱해진 것이
n으로 나누기만 하고
i로 곱하지 않습니다
이게 Δx 같아 보입니다
이건 Δx · i 같아 보입니다
Δx = 5/n입니다
지금 알 수 있는 것은 무엇인가요?
여기 위의 이것은 무엇과 같냐면
정적분으로
하한은 2임을 알고
상한은 아직 구하지 않았습니다
아직 b를 구하지 않았죠
하지만 함수 ln(x)이고
dx도 적어주겠습니다
이 정적분을 끝마치려면
상한을 쓸 수 있어야 합니다
상한을 구하는 방법은
Δx를 보는 것입니다
여기 리만합에서 Δx를 구하는 방법을 보면
Δx가
한계의 차이를 구간의 개수 n으로 나눈 것이라 할 수 있습니다
따라서 b - a / n입니다
여기서 규칙을 찾을 수 있습니다
이 Δx가 b - a / n이면
적어 볼게요
이건 b에서 a인 2를 뺀 것이며
이것을 n으로 나눕니다
따라서 b - 2는 5입니다
그러면 b는 7입니다
되었네요
리만합의 극한을
정적분으로 다시 썼습니다
이것이 왜 말이 되는지 강조하고 싶습니다
이걸 그리면
이럴 것입니다
자연로그를 손으로 그려볼게요
이럴 것입니다
그리고 여기는 1이고요
여기가 2라고 하고
2부터 7까지입니다
이 그림은 정확하지 않습니다
그러면 이 정적분은
2에서 7까지 이 곡선 아래의 넓이입니다
이 리만합은 n이 무한대에 가까워지지 않을 때의
근삿값이라고 볼 수 있고
지금 말하는 것은
i = 1일 때
첫 번째는 너비 5/n에
이게 말하는 것은
2와 7의 차이의 거리 5를
n개의 직사각형을 나눈다고 하는 것입니다
그래서 처음 이것은 5/n의 너비를 가지고
높이는 무엇일까요?
오른쪽 리만합이니까
여기의 함숫값을 사용합니다
2 + 5/n이라 씁니다
여기 이 값은
ln(2 + 5/n)입니다
이건 첫 직사각형이므로
1을 곱합니다
계속 하면 됩니다
여기 이건
너비는 5/n으로 똑같습니다
높이는 어떤가요?
높이는 바로 여기로
ln(2 + 5/n · 2)입니다
이게 i = 2인 경우이고
이건 i = 1인 경우입니다
이게 이해가 되었으면 좋겠습니다
첫 직사각형의 넓이는
ln(2 + 5/n · 1)에
5/n를 곱한 것이고
두 번째는
ln(2 + 5/n · 2)에
5/n를 곱한 것입니다
따라서 이것은 직사각형의 넓이들의 합이고
n이 무한대에 가까워질 때의 극한을 구하면
더 나은 근사값을 정확히 참값까지 구할 수 있습니다