WEBVTT

00:00:00.760 --> 00:00:02.395
리만합이 있고

00:00:02.395 --> 00:00:04.925
n이 무한대에 가까워질 때의
극한을 구하고자 합니다

00:00:04.925 --> 00:00:06.157
이번 동영상의 목표는

00:00:06.157 --> 00:00:08.137
이것을 정적분으로 다시
쓸 수 있는지 알아보는 것입니다

00:00:08.137 --> 00:00:09.756
이것을 정적분으로 다시
쓸 수 있는지 알아보는 것입니다

00:00:09.756 --> 00:00:11.176
동영상을 멈추고

00:00:11.176 --> 00:00:14.775
스스로 풀어보는 걸
추천합니다

00:00:14.775 --> 00:00:16.054
정적분이 어떻게 리만합과
연관되어 있는지 기억해 봅시다

00:00:16.054 --> 00:00:20.428
정적분이 어떻게 리만합과
연관되어 있는지 기억해 봅시다

00:00:20.428 --> 00:00:27.360
a에서 b까지
f(x) dx의 정적분이 있다면

00:00:27.360 --> 00:00:34.080
a에서 b까지
f(x) dx의 정적분이 있다면

00:00:34.080 --> 00:00:36.391
다른 동영상에서

00:00:36.391 --> 00:00:38.900
n이 무한대에 
가까워질 때

00:00:38.900 --> 00:00:42.440
n이 무한대에 
가까워질 때

00:00:42.440 --> 00:00:47.900
i가 1에서 n까지의
합의 극한이란 것을 보았습니다

00:00:47.920 --> 00:00:49.560
결국 직사각형의 넓이를

00:00:49.566 --> 00:00:51.720
여러 개 더하는 것입니다

00:00:51.720 --> 00:00:55.093
각 직사각형의 너비는
Δx이고

00:00:55.100 --> 00:00:58.100
각 직사각형의 너비는
Δx이고

00:00:58.140 --> 00:01:00.916
각 직사각형의 너비는
Δx이고

00:01:00.916 --> 00:01:02.777
각 직사각형의 너비는
Δx이고

00:01:02.777 --> 00:01:03.736
높이는

00:01:03.736 --> 00:01:06.292
Δx 사이에 있는
어떤 함숫값으로 계산합니다

00:01:06.292 --> 00:01:08.434
Δx 사이에 있는
어떤 함숫값으로 계산합니다

00:01:08.434 --> 00:01:10.128
오른쪽 리만합을 계산한다면

00:01:10.128 --> 00:01:12.799
그 직사각형
혹은 부분 구간의

00:01:12.799 --> 00:01:14.412
오른쪽 끝을 사용합니다

00:01:14.420 --> 00:01:18.500
하한 a에서 시작해서

00:01:18.500 --> 00:01:23.800
인덱스에 나와있는 것만큼
Δx를 더합니다

00:01:23.800 --> 00:01:25.198
i가 1이라면

00:01:25.198 --> 00:01:26.942
Δx를 하나 더합니다

00:01:26.942 --> 00:01:28.962
그러면 첫 직사각형의
오른쪽에 해당합니다

00:01:28.962 --> 00:01:31.356
i가 2라면
Δx를 두 개 더합니다

00:01:31.356 --> 00:01:34.630
Δx에 인덱스를 곱합니다

00:01:34.630 --> 00:01:37.120
Δx에 인덱스를 곱합니다

00:01:37.120 --> 00:01:38.620
이전부터 보았던
일반적인 형태는 이렇습니다

00:01:38.623 --> 00:01:40.649
이전부터 보았던
일반적인 형태는 이렇습니다

00:01:40.649 --> 00:01:42.160
한 가지 가능성으로

00:01:42.160 --> 00:01:44.373
규칙을 찾아볼 수 있습니다

00:01:44.373 --> 00:01:47.406
함수가 자연로그 함수 같은데

00:01:47.406 --> 00:01:49.129
이게 f(x)에 해당합니다

00:01:49.129 --> 00:01:51.952
자연로그 함수이죠

00:01:51.952 --> 00:01:53.330
써 봅시다

00:01:53.330 --> 00:01:58.520
f(x) = ln(x)입니다

00:01:58.520 --> 00:02:00.079
무엇이 더 보이나요?

00:02:00.080 --> 00:02:03.660
a는 2에 해당해 보입니다

00:02:03.660 --> 00:02:05.575
a = 2입니다

00:02:05.575 --> 00:02:08.110
Δx는 무엇일까요?

00:02:08.110 --> 00:02:10.572
여기를 보면

00:02:10.572 --> 00:02:12.368
여기에 곱해진 것이

00:02:12.368 --> 00:02:14.572
n으로 나누기만 하고

00:02:14.572 --> 00:02:17.191
i로 곱하지 않습니다

00:02:17.191 --> 00:02:19.582
이게 Δx 같아 보입니다

00:02:19.582 --> 00:02:22.798
이건 Δx · i 같아 보입니다

00:02:22.800 --> 00:02:28.280
Δx = 5/n입니다

00:02:28.280 --> 00:02:30.816
지금 알 수 있는 것은
무엇인가요?

00:02:30.816 --> 00:02:33.469
여기 위의 이것은
무엇과 같냐면

00:02:33.469 --> 00:02:36.340
여기 위의 이것은
무엇과 같냐면

00:02:36.340 --> 00:02:38.100
정적분으로

00:02:38.109 --> 00:02:41.089
하한은 2임을 알고

00:02:41.089 --> 00:02:43.148
상한은 아직
구하지 않았습니다

00:02:43.148 --> 00:02:45.077
아직 b를 구하지 않았죠

00:02:45.080 --> 00:02:49.540
하지만 함수
ln(x)이고

00:02:49.540 --> 00:02:53.640
dx도 적어주겠습니다

00:02:53.640 --> 00:02:55.199
이 정적분을 
끝마치려면

00:02:55.199 --> 00:02:56.205
이 정적분을 
끝마치려면

00:02:56.205 --> 00:02:58.887
상한을 쓸 수 있어야 합니다

00:02:58.887 --> 00:03:00.553
상한을 구하는 방법은

00:03:00.553 --> 00:03:03.189
Δx를 보는 것입니다

00:03:03.189 --> 00:03:05.943
여기 리만합에서
Δx를 구하는 방법을 보면

00:03:05.943 --> 00:03:08.481
여기 리만합에서
Δx를 구하는 방법을 보면

00:03:08.481 --> 00:03:11.720
Δx가

00:03:11.720 --> 00:03:15.300
한계의 차이를 구간의 개수
n으로 나눈 것이라 할 수 있습니다

00:03:15.304 --> 00:03:17.614
한계의 차이를 구간의 개수
n으로 나눈 것이라 할 수 있습니다

00:03:17.620 --> 00:03:22.180
따라서 b - a / n입니다

00:03:22.180 --> 00:03:29.440
따라서 b - a / n입니다

00:03:29.440 --> 00:03:31.100
여기서 규칙을 찾을 수 있습니다

00:03:31.102 --> 00:03:34.391
이 Δx가 b - a / n이면

00:03:34.391 --> 00:03:35.520
적어 볼게요

00:03:35.520 --> 00:03:39.200
이건 b에서 a인
2를 뺀 것이며

00:03:39.200 --> 00:03:42.900
이건 b에서 a인
2를 뺀 것이며

00:03:42.900 --> 00:03:45.920
이것을 n으로 나눕니다

00:03:45.920 --> 00:03:50.680
따라서 b - 2는 5입니다

00:03:50.680 --> 00:03:52.520
따라서 b - 2는 5입니다

00:03:52.523 --> 00:03:55.754
그러면 b는 7입니다

00:03:55.754 --> 00:03:57.861
그러면 b는 7입니다

00:03:57.861 --> 00:03:58.699
되었네요

00:03:58.700 --> 00:04:03.920
리만합의 극한을

00:04:03.920 --> 00:04:05.551
리만합의 극한을

00:04:05.551 --> 00:04:08.654
정적분으로 다시 썼습니다

00:04:08.654 --> 00:04:09.623
이것이 왜 말이 되는지
강조하고 싶습니다

00:04:09.623 --> 00:04:11.205
이것이 왜 말이 되는지
강조하고 싶습니다

00:04:11.205 --> 00:04:13.182
이걸 그리면

00:04:13.182 --> 00:04:14.582
이럴 것입니다

00:04:14.582 --> 00:04:19.356
자연로그를 손으로
그려볼게요

00:04:19.360 --> 00:04:27.360
이럴 것입니다

00:04:27.380 --> 00:04:30.258
그리고 여기는 1이고요

00:04:30.258 --> 00:04:33.211
여기가 2라고 하고

00:04:33.211 --> 00:04:35.664
2부터 7까지입니다

00:04:35.664 --> 00:04:38.660
이 그림은 정확하지 않습니다

00:04:38.660 --> 00:04:41.300
그러면 이 정적분은

00:04:41.300 --> 00:04:46.571
2에서 7까지
이 곡선 아래의 넓이입니다

00:04:46.580 --> 00:04:49.300
이 리만합은 n이 무한대에
가까워지지 않을 때의

00:04:49.300 --> 00:04:51.505
근삿값이라고 볼 수 있고

00:04:51.505 --> 00:04:52.538
지금 말하는 것은

00:04:52.538 --> 00:04:55.085
i = 1일 때

00:04:55.085 --> 00:04:59.054
첫 번째는
너비 5/n에

00:04:59.060 --> 00:05:01.380
이게 말하는 것은

00:05:01.380 --> 00:05:02.654
2와 7의 차이의
거리 5를

00:05:02.654 --> 00:05:04.273
2와 7의 차이의
거리 5를

00:05:04.273 --> 00:05:06.319
n개의 직사각형을
나눈다고 하는 것입니다

00:05:06.320 --> 00:05:12.140
그래서 처음 이것은
5/n의 너비를 가지고

00:05:12.140 --> 00:05:14.160
높이는 무엇일까요?

00:05:14.172 --> 00:05:16.270
오른쪽 리만합이니까

00:05:16.270 --> 00:05:19.966
여기의 함숫값을 사용합니다

00:05:19.966 --> 00:05:22.298
2 + 5/n이라 씁니다

00:05:22.298 --> 00:05:24.638
여기 이 값은

00:05:24.638 --> 00:05:26.788
ln(2 + 5/n)입니다

00:05:26.788 --> 00:05:32.180
ln(2 + 5/n)입니다

00:05:32.180 --> 00:05:33.996
이건 첫 직사각형이므로

00:05:34.000 --> 00:05:36.740
1을 곱합니다

00:05:36.740 --> 00:05:38.560
계속 하면 됩니다

00:05:38.564 --> 00:05:40.310
여기 이건

00:05:40.310 --> 00:05:43.320
너비는 5/n으로
똑같습니다

00:05:43.320 --> 00:05:45.218
높이는 어떤가요?

00:05:45.218 --> 00:05:47.988
높이는 바로 여기로

00:05:47.988 --> 00:05:49.561
ln(2 + 5/n · 2)입니다

00:05:49.561 --> 00:05:55.200
ln(2 + 5/n · 2)입니다

00:05:55.200 --> 00:05:58.480
이게 i = 2인 경우이고

00:05:58.480 --> 00:06:00.800
이건 i = 1인 경우입니다

00:06:00.800 --> 00:06:02.725
이게 이해가
되었으면 좋겠습니다

00:06:02.725 --> 00:06:04.879
첫 직사각형의 넓이는

00:06:04.879 --> 00:06:06.866
ln(2 + 5/n · 1)에

00:06:06.866 --> 00:06:09.038
ln(2 + 5/n · 1)에

00:06:09.040 --> 00:06:12.260
5/n를 곱한 것이고

00:06:12.260 --> 00:06:13.555
두 번째는

00:06:13.560 --> 00:06:18.960
ln(2 + 5/n · 2)에

00:06:18.960 --> 00:06:21.520
5/n를 곱한 것입니다

00:06:21.520 --> 00:06:23.414
따라서 이것은
직사각형의 넓이들의 합이고

00:06:23.414 --> 00:06:25.384
따라서 이것은
직사각형의 넓이들의 합이고

00:06:25.384 --> 00:06:28.263
n이 무한대에 가까워질 때의
극한을 구하면

00:06:28.263 --> 00:06:30.046
더 나은 근사값을
정확히 참값까지 구할 수 있습니다

00:06:30.046 --> 00:06:33.129
더 나은 근사값을
정확히 참값까지 구할 수 있습니다