0:00:00.760,0:00:02.395
[讲师] 我们已知一个黎曼和，

0:00:02.395,0:00:04.925
求在n趋向于无穷大时它的极限。

0:00:04.925,0:00:06.157
这个视频的目标是

0:00:06.157,0:00:08.137
看看我们能否将它改写

0:00:08.137,0:00:09.756
为一个定积分。

0:00:09.756,0:00:11.176
在这里鼓励你暂停这个视频，

0:00:11.176,0:00:14.775
尝试看看你能不能独立解决这个问题。

0:00:14.775,0:00:16.054
现在让我们回忆一下，

0:00:16.054,0:00:20.428
定积分是如何与黎曼积分关联起来的。

0:00:20.428,0:00:27.287
那么如果我有从a到b，

0:00:27.287,0:00:34.030
对f(x)dx的定积分。

0:00:34.052,0:00:36.391
我们在其它的视频中看过了，

0:00:36.391,0:00:38.900
这就等于

0:00:38.900,0:00:44.743
当n趋向于无穷时的极限，求和符号，

0:00:44.743,0:00:47.918
从i等于1，到n，

0:00:47.918,0:00:49.566
本质上来说我们要求

0:00:49.566,0:00:51.720
多个矩形的面积的和，

0:00:51.720,0:00:55.093
其中每一个矩形的宽度

0:00:55.093,0:00:58.140
我们可以写作Δx。

0:00:58.142,0:01:02.777
所以每个矩形宽度等于Δx，

0:01:02.777,0:01:03.736
然后高度

0:01:03.736,0:01:06.292
就等于这个函数

0:01:06.292,0:01:08.434
在Δx某个部分的值。

0:01:08.434,0:01:10.128
如果我们求右黎曼和，

0:01:10.128,0:01:12.799
我们就可以取矩形的右边，

0:01:12.799,0:01:14.412
或者说这个区间的最右边的点。

0:01:14.412,0:01:18.580
所以，我们从下限a开始，

0:01:18.580,0:01:23.751
然后我们在这之上加相应个数的Δx。

0:01:23.775,0:01:25.198
如果i等于1，

0:01:25.198,0:01:26.942
我们就加上一个Δx。

0:01:26.942,0:01:28.962
也就是在第一个矩形的右边。

0:01:28.962,0:01:31.356
如果i等于2，我们就加上两个Δx。

0:01:31.356,0:01:34.630
所以这就是Δx

0:01:34.630,0:01:37.058
乘以i。

0:01:37.058,0:01:38.623
这就是我们的公式，

0:01:38.623,0:01:40.649
以前也见过的，

0:01:40.649,0:01:42.383
所以一种可能性是，

0:01:42.383,0:01:44.373
在这里可以对号入座一下，

0:01:44.373,0:01:47.406
我们的函数看起来像是自然对数函数，

0:01:47.406,0:01:49.129
这里就是我们的f(x)，

0:01:49.129,0:01:51.952
自然对数函数，

0:01:51.952,0:01:53.330
我可以将它写成

0:01:53.330,0:01:56.830
f(x)看起来就是ln(x)。

0:01:58.463,0:02:00.079
我们还能看到什么？

0:02:00.079,0:02:03.583
a，看上去是2。

0:02:03.583,0:02:05.575
a等于2。

0:02:05.575,0:02:08.110
我们的Δx等于什么？

0:02:08.110,0:02:10.572
这里你可以看到，

0:02:10.572,0:02:12.368
我们乘的这个项

0:02:12.368,0:02:14.572
是被n除的，

0:02:14.572,0:02:17.191
并且不是被i乘的，

0:02:17.191,0:02:19.582
这个看起来就是我们的Δx。

0:02:19.582,0:02:22.798
而这一项看起来是Δx乘以i。

0:02:22.798,0:02:26.965
所以我们的Δx就等于5/n。

0:02:28.275,0:02:30.816
所以我们已知的都有什么呢？

0:02:30.816,0:02:33.469
我们可以说，这个式子，

0:02:33.469,0:02:36.660
原式，就等于

0:02:36.660,0:02:38.109
定积分，

0:02:38.109,0:02:41.089
从下限2，

0:02:41.089,0:02:43.148
到我们还不知道的一个上限，

0:02:43.148,0:02:45.077
我们还不知道b是什么，

0:02:45.077,0:02:48.638
但是我们的函数是

0:02:48.638,0:02:53.580
ln(x)，然后写一个dx。

0:02:53.580,0:02:55.199
所以想要完整的写出

0:02:55.199,0:02:56.205
这个定积分，

0:02:56.205,0:02:58.887
我需要能写出它的上限。

0:02:58.887,0:03:00.553
找出这个上限的方法需要

0:03:00.553,0:03:03.189
我们来看一下Δx。

0:03:03.189,0:03:05.943
因为我们找到这个黎曼和

0:03:05.943,0:03:08.481
的Δx的方法是

0:03:08.481,0:03:11.391
我们可以说Δx等于

0:03:11.391,0:03:15.304
上限和下限的差，除以我们要将其分成

0:03:15.304,0:03:17.614
多少个部分，也就是除以n。

0:03:17.614,0:03:21.891
也就是说，它等于b减a，

0:03:21.891,0:03:29.141
b减a，除以n。

0:03:29.404,0:03:31.102
所以，你就可以模式匹配一下，

0:03:31.102,0:03:34.391
如果Δx等于b减a除以n...

0:03:34.391,0:03:35.520
让我把它写下来。

0:03:35.520,0:03:38.437
这就等于b，

0:03:38.514,0:03:43.074
减去我们的a，也就是2，

0:03:43.137,0:03:44.720
整体除以n。

0:03:45.845,0:03:50.502
所以b减2

0:03:50.510,0:03:52.523
就等于5。

0:03:52.523,0:03:55.754
所以b就等于7。

0:03:55.754,0:03:57.861
b等于7。

0:03:57.861,0:03:58.699
这就行了。

0:03:58.699,0:04:03.811
我们就把黎曼和的极限，

0:04:03.811,0:04:05.551
或者说是我们的黎曼和的极限，

0:04:05.551,0:04:08.654
改写为了一个定积分。

0:04:08.654,0:04:09.623
我想再强调一下

0:04:09.623,0:04:11.205
为什么这是合理的。

0:04:11.205,0:04:13.182
如果我们想把它画出来，

0:04:13.182,0:04:14.582
它看起来差不多是这样的。

0:04:14.582,0:04:19.356
让我尝试手绘自然对数函数的图象，

0:04:19.356,0:04:27.359
看起来差不多应该是这样的。

0:04:27.386,0:04:30.258
这个点是1，

0:04:30.258,0:04:33.211
这里是2，

0:04:33.211,0:04:35.664
我们要看从2，到7，

0:04:35.664,0:04:38.582
这个不完全正确。

0:04:38.582,0:04:42.932
那么，我们的定积分，是找

0:04:42.932,0:04:46.571
在2到7之间，曲线下的面积。

0:04:46.571,0:04:48.154
所以这个黎曼和

0:04:48.154,0:04:51.505
在n不趋向于无穷的时候可以看作是求它的近似值。

0:04:51.505,0:04:52.538
在这里，

0:04:52.538,0:04:55.085
当i等于1时，

0:04:55.085,0:04:59.054
你的第一个矩形宽度是5/n，

0:04:59.054,0:05:01.573
这也就是说，

0:05:01.573,0:05:02.654
我们将2和7之间的差，

0:05:02.654,0:05:04.273
也就是5，

0:05:04.273,0:05:06.319
将它划分为n个矩形。

0:05:06.319,0:05:11.804
第一个矩形，宽度为5/n，

0:05:11.804,0:05:14.172
它的高度是多少？

0:05:14.172,0:05:16.270
这是一个右黎曼和，

0:05:16.270,0:05:19.966
所以我们要用最右点的函数值，

0:05:19.966,0:05:22.298
在2加5/n的这个点。

0:05:22.298,0:05:24.638
这里的值，

0:05:24.638,0:05:26.788
就是

0:05:26.788,0:05:32.158
ln(2+5/n)。

0:05:32.158,0:05:33.996
因为这是第一个四边形，

0:05:33.996,0:05:36.687
所以这里要乘以1。

0:05:36.687,0:05:38.564
接下来，

0:05:38.564,0:05:40.310
这个矩形，

0:05:40.310,0:05:43.320
宽度和上一个一样，5/n，

0:05:43.320,0:05:45.218
高度是什么呢？

0:05:45.218,0:05:47.988
这里的高度

0:05:47.988,0:05:49.561
就是

0:05:49.561,0:05:55.101
ln(2+5/n · 2)。

0:05:55.150,0:05:58.484
这是i等于2时的高度。

0:05:58.484,0:06:00.800
这里是i等于1。

0:06:00.800,0:06:02.725
希望这样你就可以看出它是合理的了。

0:06:02.725,0:06:04.879
第一个矩形的面积

0:06:04.879,0:06:06.866
等于

0:06:06.866,0:06:09.038
ln(2+5/n · 1)

0:06:09.038,0:06:10.455
乘以5/n。

0:06:12.201,0:06:13.555
然后第二个矩形的面积

0:06:13.555,0:06:17.305
等于 ln(2+5/n · 2)

0:06:18.905,0:06:20.322
乘以5/n。

0:06:21.498,0:06:23.414
所以原始是在计算

0:06:23.414,0:06:25.384
这些矩形的面积的和。

0:06:25.384,0:06:28.263
但是它是在找当n趋向于无穷大时的极限，

0:06:28.263,0:06:30.046
这样我们可以找到越来越准确的近似值，

0:06:30.046,0:06:33.129
一直到准确的面积。