1
00:00:00,760 --> 00:00:02,395
[讲师] 我们已知一个黎曼和，

2
00:00:02,395 --> 00:00:04,925
求在n趋向于无穷大时它的极限。

3
00:00:04,925 --> 00:00:06,157
这个视频的目标是

4
00:00:06,157 --> 00:00:08,137
看看我们能否将它改写

5
00:00:08,137 --> 00:00:09,756
为一个定积分。

6
00:00:09,756 --> 00:00:11,176
在这里鼓励你暂停这个视频，

7
00:00:11,176 --> 00:00:14,775
尝试看看你能不能独立解决这个问题。

8
00:00:14,775 --> 00:00:16,054
现在让我们回忆一下，

9
00:00:16,054 --> 00:00:20,428
定积分是如何与黎曼积分关联起来的。

10
00:00:20,428 --> 00:00:27,287
那么如果我有从a到b，

11
00:00:27,287 --> 00:00:34,030
对f(x)dx的定积分。

12
00:00:34,052 --> 00:00:36,391
我们在其它的视频中看过了，

13
00:00:36,391 --> 00:00:38,900
这就等于

14
00:00:38,900 --> 00:00:44,743
当n趋向于无穷时的极限，求和符号，

15
00:00:44,743 --> 00:00:47,918
从i等于1，到n，

16
00:00:47,918 --> 00:00:49,566
本质上来说我们要求

17
00:00:49,566 --> 00:00:51,720
多个矩形的面积的和，

18
00:00:51,720 --> 00:00:55,093
其中每一个矩形的宽度

19
00:00:55,093 --> 00:00:58,140
我们可以写作Δx。

20
00:00:58,142 --> 00:01:02,777
所以每个矩形宽度等于Δx，

21
00:01:02,777 --> 00:01:03,736
然后高度

22
00:01:03,736 --> 00:01:06,292
就等于这个函数

23
00:01:06,292 --> 00:01:08,434
在Δx某个部分的值。

24
00:01:08,434 --> 00:01:10,128
如果我们求右黎曼和，

25
00:01:10,128 --> 00:01:12,799
我们就可以取矩形的右边，

26
00:01:12,799 --> 00:01:14,412
或者说这个区间的最右边的点。

27
00:01:14,412 --> 00:01:18,580
所以，我们从下限a开始，

28
00:01:18,580 --> 00:01:23,751
然后我们在这之上加相应个数的Δx。

29
00:01:23,775 --> 00:01:25,198
如果i等于1，

30
00:01:25,198 --> 00:01:26,942
我们就加上一个Δx。

31
00:01:26,942 --> 00:01:28,962
也就是在第一个矩形的右边。

32
00:01:28,962 --> 00:01:31,356
如果i等于2，我们就加上两个Δx。

33
00:01:31,356 --> 00:01:34,630
所以这就是Δx

34
00:01:34,630 --> 00:01:37,058
乘以i。

35
00:01:37,058 --> 00:01:38,623
这就是我们的公式，

36
00:01:38,623 --> 00:01:40,649
以前也见过的，

37
00:01:40,649 --> 00:01:42,383
所以一种可能性是，

38
00:01:42,383 --> 00:01:44,373
在这里可以对号入座一下，

39
00:01:44,373 --> 00:01:47,406
我们的函数看起来像是自然对数函数，

40
00:01:47,406 --> 00:01:49,129
这里就是我们的f(x)，

41
00:01:49,129 --> 00:01:51,952
自然对数函数，

42
00:01:51,952 --> 00:01:53,330
我可以将它写成

43
00:01:53,330 --> 00:01:56,830
f(x)看起来就是ln(x)。

44
00:01:58,463 --> 00:02:00,079
我们还能看到什么？

45
00:02:00,079 --> 00:02:03,583
a，看上去是2。

46
00:02:03,583 --> 00:02:05,575
a等于2。

47
00:02:05,575 --> 00:02:08,110
我们的Δx等于什么？

48
00:02:08,110 --> 00:02:10,572
这里你可以看到，

49
00:02:10,572 --> 00:02:12,368
我们乘的这个项

50
00:02:12,368 --> 00:02:14,572
是被n除的，

51
00:02:14,572 --> 00:02:17,191
并且不是被i乘的，

52
00:02:17,191 --> 00:02:19,582
这个看起来就是我们的Δx。

53
00:02:19,582 --> 00:02:22,798
而这一项看起来是Δx乘以i。

54
00:02:22,798 --> 00:02:26,965
所以我们的Δx就等于5/n。

55
00:02:28,275 --> 00:02:30,816
所以我们已知的都有什么呢？

56
00:02:30,816 --> 00:02:33,469
我们可以说，这个式子，

57
00:02:33,469 --> 00:02:36,660
原式，就等于

58
00:02:36,660 --> 00:02:38,109
定积分，

59
00:02:38,109 --> 00:02:41,089
从下限2，

60
00:02:41,089 --> 00:02:43,148
到我们还不知道的一个上限，

61
00:02:43,148 --> 00:02:45,077
我们还不知道b是什么，

62
00:02:45,077 --> 00:02:48,638
但是我们的函数是

63
00:02:48,638 --> 00:02:53,580
ln(x)，然后写一个dx。

64
00:02:53,580 --> 00:02:55,199
所以想要完整的写出

65
00:02:55,199 --> 00:02:56,205
这个定积分，

66
00:02:56,205 --> 00:02:58,887
我需要能写出它的上限。

67
00:02:58,887 --> 00:03:00,553
找出这个上限的方法需要

68
00:03:00,553 --> 00:03:03,189
我们来看一下Δx。

69
00:03:03,189 --> 00:03:05,943
因为我们找到这个黎曼和

70
00:03:05,943 --> 00:03:08,481
的Δx的方法是

71
00:03:08,481 --> 00:03:11,391
我们可以说Δx等于

72
00:03:11,391 --> 00:03:15,304
上限和下限的差，除以我们要将其分成

73
00:03:15,304 --> 00:03:17,614
多少个部分，也就是除以n。

74
00:03:17,614 --> 00:03:21,891
也就是说，它等于b减a，

75
00:03:21,891 --> 00:03:29,141
b减a，除以n。

76
00:03:29,404 --> 00:03:31,102
所以，你就可以模式匹配一下，

77
00:03:31,102 --> 00:03:34,391
如果Δx等于b减a除以n...

78
00:03:34,391 --> 00:03:35,520
让我把它写下来。

79
00:03:35,520 --> 00:03:38,437
这就等于b，

80
00:03:38,514 --> 00:03:43,074
减去我们的a，也就是2，

81
00:03:43,137 --> 00:03:44,720
整体除以n。

82
00:03:45,845 --> 00:03:50,502
所以b减2

83
00:03:50,510 --> 00:03:52,523
就等于5。

84
00:03:52,523 --> 00:03:55,754
所以b就等于7。

85
00:03:55,754 --> 00:03:57,861
b等于7。

86
00:03:57,861 --> 00:03:58,699
这就行了。

87
00:03:58,699 --> 00:04:03,811
我们就把黎曼和的极限，

88
00:04:03,811 --> 00:04:05,551
或者说是我们的黎曼和的极限，

89
00:04:05,551 --> 00:04:08,654
改写为了一个定积分。

90
00:04:08,654 --> 00:04:09,623
我想再强调一下

91
00:04:09,623 --> 00:04:11,205
为什么这是合理的。

92
00:04:11,205 --> 00:04:13,182
如果我们想把它画出来，

93
00:04:13,182 --> 00:04:14,582
它看起来差不多是这样的。

94
00:04:14,582 --> 00:04:19,356
让我尝试手绘自然对数函数的图象，

95
00:04:19,356 --> 00:04:27,359
看起来差不多应该是这样的。

96
00:04:27,386 --> 00:04:30,258
这个点是1，

97
00:04:30,258 --> 00:04:33,211
这里是2，

98
00:04:33,211 --> 00:04:35,664
我们要看从2，到7，

99
00:04:35,664 --> 00:04:38,582
这个不完全正确。

100
00:04:38,582 --> 00:04:42,932
那么，我们的定积分，是找

101
00:04:42,932 --> 00:04:46,571
在2到7之间，曲线下的面积。

102
00:04:46,571 --> 00:04:48,154
所以这个黎曼和

103
00:04:48,154 --> 00:04:51,505
在n不趋向于无穷的时候可以看作是求它的近似值。

104
00:04:51,505 --> 00:04:52,538
在这里，

105
00:04:52,538 --> 00:04:55,085
当i等于1时，

106
00:04:55,085 --> 00:04:59,054
你的第一个矩形宽度是5/n，

107
00:04:59,054 --> 00:05:01,573
这也就是说，

108
00:05:01,573 --> 00:05:02,654
我们将2和7之间的差，

109
00:05:02,654 --> 00:05:04,273
也就是5，

110
00:05:04,273 --> 00:05:06,319
将它划分为n个矩形。

111
00:05:06,319 --> 00:05:11,804
第一个矩形，宽度为5/n，

112
00:05:11,804 --> 00:05:14,172
它的高度是多少？

113
00:05:14,172 --> 00:05:16,270
这是一个右黎曼和，

114
00:05:16,270 --> 00:05:19,966
所以我们要用最右点的函数值，

115
00:05:19,966 --> 00:05:22,298
在2加5/n的这个点。

116
00:05:22,298 --> 00:05:24,638
这里的值，

117
00:05:24,638 --> 00:05:26,788
就是

118
00:05:26,788 --> 00:05:32,158
ln(2+5/n)。

119
00:05:32,158 --> 00:05:33,996
因为这是第一个四边形，

120
00:05:33,996 --> 00:05:36,687
所以这里要乘以1。

121
00:05:36,687 --> 00:05:38,564
接下来，

122
00:05:38,564 --> 00:05:40,310
这个矩形，

123
00:05:40,310 --> 00:05:43,320
宽度和上一个一样，5/n，

124
00:05:43,320 --> 00:05:45,218
高度是什么呢？

125
00:05:45,218 --> 00:05:47,988
这里的高度

126
00:05:47,988 --> 00:05:49,561
就是

127
00:05:49,561 --> 00:05:55,101
ln(2+5/n · 2)。

128
00:05:55,150 --> 00:05:58,484
这是i等于2时的高度。

129
00:05:58,484 --> 00:06:00,800
这里是i等于1。

130
00:06:00,800 --> 00:06:02,725
希望这样你就可以看出它是合理的了。

131
00:06:02,725 --> 00:06:04,879
第一个矩形的面积

132
00:06:04,879 --> 00:06:06,866
等于

133
00:06:06,866 --> 00:06:09,038
ln(2+5/n · 1)

134
00:06:09,038 --> 00:06:10,455
乘以5/n。

135
00:06:12,201 --> 00:06:13,555
然后第二个矩形的面积

136
00:06:13,555 --> 00:06:17,305
等于 ln(2+5/n · 2)

137
00:06:18,905 --> 00:06:20,322
乘以5/n。

138
00:06:21,498 --> 00:06:23,414
所以原始是在计算

139
00:06:23,414 --> 00:06:25,384
这些矩形的面积的和。

140
00:06:25,384 --> 00:06:28,263
但是它是在找当n趋向于无穷大时的极限，

141
00:06:28,263 --> 00:06:30,046
这样我们可以找到越来越准确的近似值，

142
00:06:30,046 --> 00:06:33,129
一直到准确的面积。