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Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.76,0:00:02.40,Default,,0000,0000,0000,,[讲师] 我们已知一个黎曼和，
Dialogue: 0,0:00:02.40,0:00:04.92,Default,,0000,0000,0000,,求在n趋向于无穷大时它的极限。
Dialogue: 0,0:00:04.92,0:00:06.16,Default,,0000,0000,0000,,这个视频的目标是
Dialogue: 0,0:00:06.16,0:00:08.14,Default,,0000,0000,0000,,看看我们能否将它改写
Dialogue: 0,0:00:08.14,0:00:09.76,Default,,0000,0000,0000,,为一个定积分。
Dialogue: 0,0:00:09.76,0:00:11.18,Default,,0000,0000,0000,,在这里鼓励你暂停这个视频，
Dialogue: 0,0:00:11.18,0:00:14.78,Default,,0000,0000,0000,,尝试看看你能不能独立解决这个问题。
Dialogue: 0,0:00:14.78,0:00:16.05,Default,,0000,0000,0000,,现在让我们回忆一下，
Dialogue: 0,0:00:16.05,0:00:20.43,Default,,0000,0000,0000,,定积分是如何与黎曼积分关联起来的。
Dialogue: 0,0:00:20.43,0:00:27.29,Default,,0000,0000,0000,,那么如果我有从a到b，
Dialogue: 0,0:00:27.29,0:00:34.03,Default,,0000,0000,0000,,对f(x)dx的定积分。
Dialogue: 0,0:00:34.05,0:00:36.39,Default,,0000,0000,0000,,我们在其它的视频中看过了，
Dialogue: 0,0:00:36.39,0:00:38.90,Default,,0000,0000,0000,,这就等于
Dialogue: 0,0:00:38.90,0:00:44.74,Default,,0000,0000,0000,,当n趋向于无穷时的极限，求和符号，
Dialogue: 0,0:00:44.74,0:00:47.92,Default,,0000,0000,0000,,从i等于1，到n，
Dialogue: 0,0:00:47.92,0:00:49.57,Default,,0000,0000,0000,,本质上来说我们要求
Dialogue: 0,0:00:49.57,0:00:51.72,Default,,0000,0000,0000,,多个矩形的面积的和，
Dialogue: 0,0:00:51.72,0:00:55.09,Default,,0000,0000,0000,,其中每一个矩形的宽度
Dialogue: 0,0:00:55.09,0:00:58.14,Default,,0000,0000,0000,,我们可以写作Δx。
Dialogue: 0,0:00:58.14,0:01:02.78,Default,,0000,0000,0000,,所以每个矩形宽度等于Δx，
Dialogue: 0,0:01:02.78,0:01:03.74,Default,,0000,0000,0000,,然后高度
Dialogue: 0,0:01:03.74,0:01:06.29,Default,,0000,0000,0000,,就等于这个函数
Dialogue: 0,0:01:06.29,0:01:08.43,Default,,0000,0000,0000,,在Δx某个部分的值。
Dialogue: 0,0:01:08.43,0:01:10.13,Default,,0000,0000,0000,,如果我们求右黎曼和，
Dialogue: 0,0:01:10.13,0:01:12.80,Default,,0000,0000,0000,,我们就可以取矩形的右边，
Dialogue: 0,0:01:12.80,0:01:14.41,Default,,0000,0000,0000,,或者说这个区间的最右边的点。
Dialogue: 0,0:01:14.41,0:01:18.58,Default,,0000,0000,0000,,所以，我们从下限a开始，
Dialogue: 0,0:01:18.58,0:01:23.75,Default,,0000,0000,0000,,然后我们在这之上加相应个数的Δx。
Dialogue: 0,0:01:23.78,0:01:25.20,Default,,0000,0000,0000,,如果i等于1，
Dialogue: 0,0:01:25.20,0:01:26.94,Default,,0000,0000,0000,,我们就加上一个Δx。
Dialogue: 0,0:01:26.94,0:01:28.96,Default,,0000,0000,0000,,也就是在第一个矩形的右边。
Dialogue: 0,0:01:28.96,0:01:31.36,Default,,0000,0000,0000,,如果i等于2，我们就加上两个Δx。
Dialogue: 0,0:01:31.36,0:01:34.63,Default,,0000,0000,0000,,所以这就是Δx
Dialogue: 0,0:01:34.63,0:01:37.06,Default,,0000,0000,0000,,乘以i。
Dialogue: 0,0:01:37.06,0:01:38.62,Default,,0000,0000,0000,,这就是我们的公式，
Dialogue: 0,0:01:38.62,0:01:40.65,Default,,0000,0000,0000,,以前也见过的，
Dialogue: 0,0:01:40.65,0:01:42.38,Default,,0000,0000,0000,,所以一种可能性是，
Dialogue: 0,0:01:42.38,0:01:44.37,Default,,0000,0000,0000,,在这里可以对号入座一下，
Dialogue: 0,0:01:44.37,0:01:47.41,Default,,0000,0000,0000,,我们的函数看起来像是自然对数函数，
Dialogue: 0,0:01:47.41,0:01:49.13,Default,,0000,0000,0000,,这里就是我们的f(x)，
Dialogue: 0,0:01:49.13,0:01:51.95,Default,,0000,0000,0000,,自然对数函数，
Dialogue: 0,0:01:51.95,0:01:53.33,Default,,0000,0000,0000,,我可以将它写成
Dialogue: 0,0:01:53.33,0:01:56.83,Default,,0000,0000,0000,,f(x)看起来就是ln(x)。
Dialogue: 0,0:01:58.46,0:02:00.08,Default,,0000,0000,0000,,我们还能看到什么？
Dialogue: 0,0:02:00.08,0:02:03.58,Default,,0000,0000,0000,,a，看上去是2。
Dialogue: 0,0:02:03.58,0:02:05.58,Default,,0000,0000,0000,,a等于2。
Dialogue: 0,0:02:05.58,0:02:08.11,Default,,0000,0000,0000,,我们的Δx等于什么？
Dialogue: 0,0:02:08.11,0:02:10.57,Default,,0000,0000,0000,,这里你可以看到，
Dialogue: 0,0:02:10.57,0:02:12.37,Default,,0000,0000,0000,,我们乘的这个项
Dialogue: 0,0:02:12.37,0:02:14.57,Default,,0000,0000,0000,,是被n除的，
Dialogue: 0,0:02:14.57,0:02:17.19,Default,,0000,0000,0000,,并且不是被i乘的，
Dialogue: 0,0:02:17.19,0:02:19.58,Default,,0000,0000,0000,,这个看起来就是我们的Δx。
Dialogue: 0,0:02:19.58,0:02:22.80,Default,,0000,0000,0000,,而这一项看起来是Δx乘以i。
Dialogue: 0,0:02:22.80,0:02:26.96,Default,,0000,0000,0000,,所以我们的Δx就等于5/n。
Dialogue: 0,0:02:28.28,0:02:30.82,Default,,0000,0000,0000,,所以我们已知的都有什么呢？
Dialogue: 0,0:02:30.82,0:02:33.47,Default,,0000,0000,0000,,我们可以说，这个式子，
Dialogue: 0,0:02:33.47,0:02:36.66,Default,,0000,0000,0000,,原式，就等于
Dialogue: 0,0:02:36.66,0:02:38.11,Default,,0000,0000,0000,,定积分，
Dialogue: 0,0:02:38.11,0:02:41.09,Default,,0000,0000,0000,,从下限2，
Dialogue: 0,0:02:41.09,0:02:43.15,Default,,0000,0000,0000,,到我们还不知道的一个上限，
Dialogue: 0,0:02:43.15,0:02:45.08,Default,,0000,0000,0000,,我们还不知道b是什么，
Dialogue: 0,0:02:45.08,0:02:48.64,Default,,0000,0000,0000,,但是我们的函数是
Dialogue: 0,0:02:48.64,0:02:53.58,Default,,0000,0000,0000,,ln(x)，然后写一个dx。
Dialogue: 0,0:02:53.58,0:02:55.20,Default,,0000,0000,0000,,所以想要完整的写出
Dialogue: 0,0:02:55.20,0:02:56.20,Default,,0000,0000,0000,,这个定积分，
Dialogue: 0,0:02:56.20,0:02:58.89,Default,,0000,0000,0000,,我需要能写出它的上限。
Dialogue: 0,0:02:58.89,0:03:00.55,Default,,0000,0000,0000,,找出这个上限的方法需要
Dialogue: 0,0:03:00.55,0:03:03.19,Default,,0000,0000,0000,,我们来看一下Δx。
Dialogue: 0,0:03:03.19,0:03:05.94,Default,,0000,0000,0000,,因为我们找到这个黎曼和
Dialogue: 0,0:03:05.94,0:03:08.48,Default,,0000,0000,0000,,的Δx的方法是
Dialogue: 0,0:03:08.48,0:03:11.39,Default,,0000,0000,0000,,我们可以说Δx等于
Dialogue: 0,0:03:11.39,0:03:15.30,Default,,0000,0000,0000,,上限和下限的差，除以我们要将其分成
Dialogue: 0,0:03:15.30,0:03:17.61,Default,,0000,0000,0000,,多少个部分，也就是除以n。
Dialogue: 0,0:03:17.61,0:03:21.89,Default,,0000,0000,0000,,也就是说，它等于b减a，
Dialogue: 0,0:03:21.89,0:03:29.14,Default,,0000,0000,0000,,b减a，除以n。
Dialogue: 0,0:03:29.40,0:03:31.10,Default,,0000,0000,0000,,所以，你就可以模式匹配一下，
Dialogue: 0,0:03:31.10,0:03:34.39,Default,,0000,0000,0000,,如果Δx等于b减a除以n...
Dialogue: 0,0:03:34.39,0:03:35.52,Default,,0000,0000,0000,,让我把它写下来。
Dialogue: 0,0:03:35.52,0:03:38.44,Default,,0000,0000,0000,,这就等于b，
Dialogue: 0,0:03:38.51,0:03:43.07,Default,,0000,0000,0000,,减去我们的a，也就是2，
Dialogue: 0,0:03:43.14,0:03:44.72,Default,,0000,0000,0000,,整体除以n。
Dialogue: 0,0:03:45.84,0:03:50.50,Default,,0000,0000,0000,,所以b减2
Dialogue: 0,0:03:50.51,0:03:52.52,Default,,0000,0000,0000,,就等于5。
Dialogue: 0,0:03:52.52,0:03:55.75,Default,,0000,0000,0000,,所以b就等于7。
Dialogue: 0,0:03:55.75,0:03:57.86,Default,,0000,0000,0000,,b等于7。
Dialogue: 0,0:03:57.86,0:03:58.70,Default,,0000,0000,0000,,这就行了。
Dialogue: 0,0:03:58.70,0:04:03.81,Default,,0000,0000,0000,,我们就把黎曼和的极限，
Dialogue: 0,0:04:03.81,0:04:05.55,Default,,0000,0000,0000,,或者说是我们的黎曼和的极限，
Dialogue: 0,0:04:05.55,0:04:08.65,Default,,0000,0000,0000,,改写为了一个定积分。
Dialogue: 0,0:04:08.65,0:04:09.62,Default,,0000,0000,0000,,我想再强调一下
Dialogue: 0,0:04:09.62,0:04:11.20,Default,,0000,0000,0000,,为什么这是合理的。
Dialogue: 0,0:04:11.20,0:04:13.18,Default,,0000,0000,0000,,如果我们想把它画出来，
Dialogue: 0,0:04:13.18,0:04:14.58,Default,,0000,0000,0000,,它看起来差不多是这样的。
Dialogue: 0,0:04:14.58,0:04:19.36,Default,,0000,0000,0000,,让我尝试手绘自然对数函数的图象，
Dialogue: 0,0:04:19.36,0:04:27.36,Default,,0000,0000,0000,,看起来差不多应该是这样的。
Dialogue: 0,0:04:27.39,0:04:30.26,Default,,0000,0000,0000,,这个点是1，
Dialogue: 0,0:04:30.26,0:04:33.21,Default,,0000,0000,0000,,这里是2，
Dialogue: 0,0:04:33.21,0:04:35.66,Default,,0000,0000,0000,,我们要看从2，到7，
Dialogue: 0,0:04:35.66,0:04:38.58,Default,,0000,0000,0000,,这个不完全正确。
Dialogue: 0,0:04:38.58,0:04:42.93,Default,,0000,0000,0000,,那么，我们的定积分，是找
Dialogue: 0,0:04:42.93,0:04:46.57,Default,,0000,0000,0000,,在2到7之间，曲线下的面积。
Dialogue: 0,0:04:46.57,0:04:48.15,Default,,0000,0000,0000,,所以这个黎曼和
Dialogue: 0,0:04:48.15,0:04:51.50,Default,,0000,0000,0000,,在n不趋向于无穷的时候可以看作是求它的近似值。
Dialogue: 0,0:04:51.50,0:04:52.54,Default,,0000,0000,0000,,在这里，
Dialogue: 0,0:04:52.54,0:04:55.08,Default,,0000,0000,0000,,当i等于1时，
Dialogue: 0,0:04:55.08,0:04:59.05,Default,,0000,0000,0000,,你的第一个矩形宽度是5/n，
Dialogue: 0,0:04:59.05,0:05:01.57,Default,,0000,0000,0000,,这也就是说，
Dialogue: 0,0:05:01.57,0:05:02.65,Default,,0000,0000,0000,,我们将2和7之间的差，
Dialogue: 0,0:05:02.65,0:05:04.27,Default,,0000,0000,0000,,也就是5，
Dialogue: 0,0:05:04.27,0:05:06.32,Default,,0000,0000,0000,,将它划分为n个矩形。
Dialogue: 0,0:05:06.32,0:05:11.80,Default,,0000,0000,0000,,第一个矩形，宽度为5/n，
Dialogue: 0,0:05:11.80,0:05:14.17,Default,,0000,0000,0000,,它的高度是多少？
Dialogue: 0,0:05:14.17,0:05:16.27,Default,,0000,0000,0000,,这是一个右黎曼和，
Dialogue: 0,0:05:16.27,0:05:19.97,Default,,0000,0000,0000,,所以我们要用最右点的函数值，
Dialogue: 0,0:05:19.97,0:05:22.30,Default,,0000,0000,0000,,在2加5/n的这个点。
Dialogue: 0,0:05:22.30,0:05:24.64,Default,,0000,0000,0000,,这里的值，
Dialogue: 0,0:05:24.64,0:05:26.79,Default,,0000,0000,0000,,就是
Dialogue: 0,0:05:26.79,0:05:32.16,Default,,0000,0000,0000,,ln(2+5/n)。
Dialogue: 0,0:05:32.16,0:05:33.100,Default,,0000,0000,0000,,因为这是第一个四边形，
Dialogue: 0,0:05:33.100,0:05:36.69,Default,,0000,0000,0000,,所以这里要乘以1。
Dialogue: 0,0:05:36.69,0:05:38.56,Default,,0000,0000,0000,,接下来，
Dialogue: 0,0:05:38.56,0:05:40.31,Default,,0000,0000,0000,,这个矩形，
Dialogue: 0,0:05:40.31,0:05:43.32,Default,,0000,0000,0000,,宽度和上一个一样，5/n，
Dialogue: 0,0:05:43.32,0:05:45.22,Default,,0000,0000,0000,,高度是什么呢？
Dialogue: 0,0:05:45.22,0:05:47.99,Default,,0000,0000,0000,,这里的高度
Dialogue: 0,0:05:47.99,0:05:49.56,Default,,0000,0000,0000,,就是
Dialogue: 0,0:05:49.56,0:05:55.10,Default,,0000,0000,0000,,ln(2+5/n · 2)。
Dialogue: 0,0:05:55.15,0:05:58.48,Default,,0000,0000,0000,,这是i等于2时的高度。
Dialogue: 0,0:05:58.48,0:06:00.80,Default,,0000,0000,0000,,这里是i等于1。
Dialogue: 0,0:06:00.80,0:06:02.72,Default,,0000,0000,0000,,希望这样你就可以看出它是合理的了。
Dialogue: 0,0:06:02.72,0:06:04.88,Default,,0000,0000,0000,,第一个矩形的面积
Dialogue: 0,0:06:04.88,0:06:06.87,Default,,0000,0000,0000,,等于
Dialogue: 0,0:06:06.87,0:06:09.04,Default,,0000,0000,0000,,ln(2+5/n · 1)
Dialogue: 0,0:06:09.04,0:06:10.46,Default,,0000,0000,0000,,乘以5/n。
Dialogue: 0,0:06:12.20,0:06:13.56,Default,,0000,0000,0000,,然后第二个矩形的面积
Dialogue: 0,0:06:13.56,0:06:17.30,Default,,0000,0000,0000,,等于 ln(2+5/n · 2)
Dialogue: 0,0:06:18.90,0:06:20.32,Default,,0000,0000,0000,,乘以5/n。
Dialogue: 0,0:06:21.50,0:06:23.41,Default,,0000,0000,0000,,所以原始是在计算
Dialogue: 0,0:06:23.41,0:06:25.38,Default,,0000,0000,0000,,这些矩形的面积的和。
Dialogue: 0,0:06:25.38,0:06:28.26,Default,,0000,0000,0000,,但是它是在找当n趋向于无穷大时的极限，
Dialogue: 0,0:06:28.26,0:06:30.05,Default,,0000,0000,0000,,这样我们可以找到越来越准确的近似值，
Dialogue: 0,0:06:30.05,0:06:33.13,Default,,0000,0000,0000,,一直到准确的面积。