WEBVTT

00:00:00.760 --> 00:00:02.395
[讲师] 我们已知一个黎曼和，

00:00:02.395 --> 00:00:04.925
求在n趋向于无穷大时它的极限。

00:00:04.925 --> 00:00:06.157
这个视频的目标是

00:00:06.157 --> 00:00:08.137
看看我们能否将它改写

00:00:08.137 --> 00:00:09.756
为一个定积分。

00:00:09.756 --> 00:00:11.176
在这里鼓励你暂停这个视频，

00:00:11.176 --> 00:00:14.775
尝试看看你能不能独立解决这个问题。

00:00:14.775 --> 00:00:16.054
现在让我们回忆一下，

00:00:16.054 --> 00:00:20.428
定积分是如何与黎曼积分关联起来的。

00:00:20.428 --> 00:00:27.287
那么如果我有从a到b，

00:00:27.287 --> 00:00:34.030
对f(x)dx的定积分。

00:00:34.052 --> 00:00:36.391
我们在其它的视频中看过了，

00:00:36.391 --> 00:00:38.900
这就等于

00:00:38.900 --> 00:00:44.743
当n趋向于无穷时的极限，求和符号，

00:00:44.743 --> 00:00:47.918
从i等于1，到n，

00:00:47.918 --> 00:00:49.566
本质上来说我们要求

00:00:49.566 --> 00:00:51.720
多个矩形的面积的和，

00:00:51.720 --> 00:00:55.093
其中每一个矩形的宽度

00:00:55.093 --> 00:00:58.140
我们可以写作Δx。

00:00:58.142 --> 00:01:02.777
所以每个矩形宽度等于Δx，

00:01:02.777 --> 00:01:03.736
然后高度

00:01:03.736 --> 00:01:06.292
就等于这个函数

00:01:06.292 --> 00:01:08.434
在Δx某个部分的值。

00:01:08.434 --> 00:01:10.128
如果我们求右黎曼和，

00:01:10.128 --> 00:01:12.799
我们就可以取矩形的右边，

00:01:12.799 --> 00:01:14.412
或者说这个区间的最右边的点。

00:01:14.412 --> 00:01:18.580
所以，我们从下限a开始，

00:01:18.580 --> 00:01:23.751
然后我们在这之上加相应个数的Δx。

00:01:23.775 --> 00:01:25.198
如果i等于1，

00:01:25.198 --> 00:01:26.942
我们就加上一个Δx。

00:01:26.942 --> 00:01:28.962
也就是在第一个矩形的右边。

00:01:28.962 --> 00:01:31.356
如果i等于2，我们就加上两个Δx。

00:01:31.356 --> 00:01:34.630
所以这就是Δx

00:01:34.630 --> 00:01:37.058
乘以i。

00:01:37.058 --> 00:01:38.623
这就是我们的公式，

00:01:38.623 --> 00:01:40.649
以前也见过的，

00:01:40.649 --> 00:01:42.383
所以一种可能性是，

00:01:42.383 --> 00:01:44.373
在这里可以对号入座一下，

00:01:44.373 --> 00:01:47.406
我们的函数看起来像是自然对数函数，

00:01:47.406 --> 00:01:49.129
这里就是我们的f(x)，

00:01:49.129 --> 00:01:51.952
自然对数函数，

00:01:51.952 --> 00:01:53.330
我可以将它写成

00:01:53.330 --> 00:01:56.830
f(x)看起来就是ln(x)。

00:01:58.463 --> 00:02:00.079
我们还能看到什么？

00:02:00.079 --> 00:02:03.583
a，看上去是2。

00:02:03.583 --> 00:02:05.575
a等于2。

00:02:05.575 --> 00:02:08.110
我们的Δx等于什么？

00:02:08.110 --> 00:02:10.572
这里你可以看到，

00:02:10.572 --> 00:02:12.368
我们乘的这个项

00:02:12.368 --> 00:02:14.572
是被n除的，

00:02:14.572 --> 00:02:17.191
并且不是被i乘的，

00:02:17.191 --> 00:02:19.582
这个看起来就是我们的Δx。

00:02:19.582 --> 00:02:22.798
而这一项看起来是Δx乘以i。

00:02:22.798 --> 00:02:26.965
所以我们的Δx就等于5/n。

00:02:28.275 --> 00:02:30.816
所以我们已知的都有什么呢？

00:02:30.816 --> 00:02:33.469
我们可以说，这个式子，

00:02:33.469 --> 00:02:36.660
原式，就等于

00:02:36.660 --> 00:02:38.109
定积分，

00:02:38.109 --> 00:02:41.089
从下限2，

00:02:41.089 --> 00:02:43.148
到我们还不知道的一个上限，

00:02:43.148 --> 00:02:45.077
我们还不知道b是什么，

00:02:45.077 --> 00:02:48.638
但是我们的函数是

00:02:48.638 --> 00:02:53.580
ln(x)，然后写一个dx。

00:02:53.580 --> 00:02:55.199
所以想要完整的写出

00:02:55.199 --> 00:02:56.205
这个定积分，

00:02:56.205 --> 00:02:58.887
我需要能写出它的上限。

00:02:58.887 --> 00:03:00.553
找出这个上限的方法需要

00:03:00.553 --> 00:03:03.189
我们来看一下Δx。

00:03:03.189 --> 00:03:05.943
因为我们找到这个黎曼和

00:03:05.943 --> 00:03:08.481
的Δx的方法是

00:03:08.481 --> 00:03:11.391
我们可以说Δx等于

00:03:11.391 --> 00:03:15.304
上限和下限的差，除以我们要将其分成

00:03:15.304 --> 00:03:17.614
多少个部分，也就是除以n。

00:03:17.614 --> 00:03:21.891
也就是说，它等于b减a，

00:03:21.891 --> 00:03:29.141
b减a，除以n。

00:03:29.404 --> 00:03:31.102
所以，你就可以模式匹配一下，

00:03:31.102 --> 00:03:34.391
如果Δx等于b减a除以n...

00:03:34.391 --> 00:03:35.520
让我把它写下来。

00:03:35.520 --> 00:03:38.437
这就等于b，

00:03:38.514 --> 00:03:43.074
减去我们的a，也就是2，

00:03:43.137 --> 00:03:44.720
整体除以n。

00:03:45.845 --> 00:03:50.502
所以b减2

00:03:50.510 --> 00:03:52.523
就等于5。

00:03:52.523 --> 00:03:55.754
所以b就等于7。

00:03:55.754 --> 00:03:57.861
b等于7。

00:03:57.861 --> 00:03:58.699
这就行了。

00:03:58.699 --> 00:04:03.811
我们就把黎曼和的极限，

00:04:03.811 --> 00:04:05.551
或者说是我们的黎曼和的极限，

00:04:05.551 --> 00:04:08.654
改写为了一个定积分。

00:04:08.654 --> 00:04:09.623
我想再强调一下

00:04:09.623 --> 00:04:11.205
为什么这是合理的。

00:04:11.205 --> 00:04:13.182
如果我们想把它画出来，

00:04:13.182 --> 00:04:14.582
它看起来差不多是这样的。

00:04:14.582 --> 00:04:19.356
让我尝试手绘自然对数函数的图象，

00:04:19.356 --> 00:04:27.359
看起来差不多应该是这样的。

00:04:27.386 --> 00:04:30.258
这个点是1，

00:04:30.258 --> 00:04:33.211
这里是2，

00:04:33.211 --> 00:04:35.664
我们要看从2，到7，

00:04:35.664 --> 00:04:38.582
这个不完全正确。

00:04:38.582 --> 00:04:42.932
那么，我们的定积分，是找

00:04:42.932 --> 00:04:46.571
在2到7之间，曲线下的面积。

00:04:46.571 --> 00:04:48.154
所以这个黎曼和

00:04:48.154 --> 00:04:51.505
在n不趋向于无穷的时候可以看作是求它的近似值。

00:04:51.505 --> 00:04:52.538
在这里，

00:04:52.538 --> 00:04:55.085
当i等于1时，

00:04:55.085 --> 00:04:59.054
你的第一个矩形宽度是5/n，

00:04:59.054 --> 00:05:01.573
这也就是说，

00:05:01.573 --> 00:05:02.654
我们将2和7之间的差，

00:05:02.654 --> 00:05:04.273
也就是5，

00:05:04.273 --> 00:05:06.319
将它划分为n个矩形。

00:05:06.319 --> 00:05:11.804
第一个矩形，宽度为5/n，

00:05:11.804 --> 00:05:14.172
它的高度是多少？

00:05:14.172 --> 00:05:16.270
这是一个右黎曼和，

00:05:16.270 --> 00:05:19.966
所以我们要用最右点的函数值，

00:05:19.966 --> 00:05:22.298
在2加5/n的这个点。

00:05:22.298 --> 00:05:24.638
这里的值，

00:05:24.638 --> 00:05:26.788
就是

00:05:26.788 --> 00:05:32.158
ln(2+5/n)。

00:05:32.158 --> 00:05:33.996
因为这是第一个四边形，

00:05:33.996 --> 00:05:36.687
所以这里要乘以1。

00:05:36.687 --> 00:05:38.564
接下来，

00:05:38.564 --> 00:05:40.310
这个矩形，

00:05:40.310 --> 00:05:43.320
宽度和上一个一样，5/n，

00:05:43.320 --> 00:05:45.218
高度是什么呢？

00:05:45.218 --> 00:05:47.988
这里的高度

00:05:47.988 --> 00:05:49.561
就是

00:05:49.561 --> 00:05:55.101
ln(2+5/n · 2)。

00:05:55.150 --> 00:05:58.484
这是i等于2时的高度。

00:05:58.484 --> 00:06:00.800
这里是i等于1。

00:06:00.800 --> 00:06:02.725
希望这样你就可以看出它是合理的了。

00:06:02.725 --> 00:06:04.879
第一个矩形的面积

00:06:04.879 --> 00:06:06.866
等于

00:06:06.866 --> 00:06:09.038
ln(2+5/n · 1)

00:06:09.038 --> 00:06:10.455
乘以5/n。

00:06:12.201 --> 00:06:13.555
然后第二个矩形的面积

00:06:13.555 --> 00:06:17.305
等于 ln(2+5/n · 2)

00:06:18.905 --> 00:06:20.322
乘以5/n。

00:06:21.498 --> 00:06:23.414
所以原始是在计算

00:06:23.414 --> 00:06:25.384
这些矩形的面积的和。

00:06:25.384 --> 00:06:28.263
但是它是在找当n趋向于无穷大时的极限，

00:06:28.263 --> 00:06:30.046
这样我们可以找到越来越准确的近似值，

00:06:30.046 --> 00:06:33.129
一直到准确的面积。