En el último vídeo, vimos que si un campo vectorial puede ser
escrito como el gradiente de un campo escalar-- u otra
forma de decirlo es: esto sería igual a la derivada parcial de nuestra
F grande respecto a x multiplicado por i, más la derivada parcial de F grande, nuestro
campo escalar respecto a y multiplicado por j; y simplemente estoy escribiéndolo
en múltiples maneras para que recordéis lo que es el gradiente
--pero vimos que si nuestro campo vectorial es el gradiente de
un campo escalar, entonces lo llamamos conservativo.
Eso nos dice que f es un campo vectorial conservativo.
Y también nos dice, y ésta fue la parte mas importante respecto
al vídeo anterior, que la integral de línea de f entre dos
puntos-- permitidme dibujar dos puntos aquí; así que permitidme dibujar mis
coordenadas sólo para indicar que estamos en el plano xy.
Mis ejes: eje-x, eje-y.
Digamos que tengo un punto, tengo ese punto y ese punto,
y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos.
Así que tengo la trayectoria 1, que va como algo así, y le
llamaré c1 y va dirigido en esa dirección.
Y también tengo, quizá en otro tono de
verde, c2 que va de esta forma.
Los dos empiezan aquí y van allí.
Aprendimos en el último vídeo que la integral de línea
es independiente de la trayectoria entre dos puntos.
Así que en este caso la integral de línea a lo largo de c1 de f punto dr
va a ser igual a la integral de línea de c2, a lo largo de la
trayectoria c2, de f punto dr. Si tenemos un potencial en
la región, y podemos estar en todos puntos, entonces la integral
de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria.
Eso es lo bueno de un campo conservativo.
Ahora lo que quiero hacer en este vídeo es ser un poco
mas extensivo de lo que vimos en el último vídeo.
En realidad es una extensión muy importante; puede que ya
os parezca obvia.
Ya he escrito esto aquí; Podría reordenar
la ecuación un poco.
Permitidme hacerlo.
Permitidme reordenar esto.
Reescribiré esto en naranja.
Entonces la integral a lo largo de la trayectoria c1 de f punto dr menos-- Simplemente
resto esto de ambos lados --menos la integral c2 de
f punto dr va a ser igual a 0.
Todo lo que hecho es coger lo mas relevante del ultimo vídeo y
le resté esto en ambos lados.
Ahora bien, aprendimos hace unos cuantos vídeos que si restamos tratando con una
integral de línea de un campo vectorial-- no de un campo escalar
--con un campo vectorial, la dirección de la
trayectoria es importante.
Aprendimos que la integral de línea sobre, digamos, c2 de f producto punto
dr, es igual a menos la integral de línea de menos c2
de f punto dr, donde menos c2 denota la misma trayectoria que
c2, pero en dirección contraria.
Por ejemplo, menos c2 la escribiría algo así-- permitidme
hacerlo en distinto color --digamos entonces que esto es menos
c2, sería una trayectoria como c2-- voy a llamarla
menos c2 --pero en lugar de ir en esa dirección, voy ahora
en esa dirección.
Así que ignorad las antiguas flechas de c2.
Empezamos ahora allí y venimos hacia aquí.
Esto es menos c2.
O podríamos escribir, podríamos poner, el menos en el otro
lado y podríamos decir que la integral negativa de la c2
a lo largo de la trayectoria c2 de f punto dr es igual a
la integral de línea a lo largo de la trayectoria inversa de f punto dr. Todo lo que he hecho es
cambiar el menos al otro lado; multiplicar
ambos lados por menos 1.
Reemplacemos entonces-- en esta ecuación tenemos menos
de la trayectoria c2; tenemos eso ahí bien, y tenemos eso allí bien
--así que podríamos simplemente sustituir esto con
esto aquí mismo.
Permitidme hacer eso.
Escribiré primero esta parte.
La integral a lo largo de la curva c1 de f por dr, en lugar de
menos la integral de línea a lo largo de c2, voy a decir más la
integral a lo largo de menos c2.
Esto-- permitidme cambiar al verde --esto que hemos establecido
es lo mismo que esto.
Menos esta curva, o la integral a lo largo de este
camino, es lo mismo que la integral de línea, más la
integral de línea a lo largo del camino inverso.
Diremos que más la integral de línea de menos c2 de
f por dr es igual a 0.
Ahora hay algo interesante.
Miremos qué es la combinación de los caminos
c1 y menos c2.
c1 empieza por aquí.
Permitidme utilizar un color bonito, vibrante.
c1 empieza por aquí en este punto.
Se mueve desde este punto a lo largo de la curva c1
y llega a este punto.
Y entonces hacemos menos c2.
Menos c2 empieza en este punto y simplemente avanza y vuelve
al punto original; se completa una vuelta.
Por tanto esto es una integral a lo largo de una curva cerrada.
Si combinamos esto, podríamos reescribirlo así.
Recordad, es simplemente una vuelta.
Haciendo el inverso de esto, en lugar de tener dos chicos empezando aquí
y yendo allí, ahora puedo empezar aquí, ir por allí,
y entonces volver todo el camino por
el camino inverso de c2.
Por tanto esto es equivalente a la integral a lo largo de la línea cerrada.
Y es lo mismo que ella integral a lo largo de un camino cerrado.
Quiero decir, podríamos llamar al camino cerrado, quizás, c1 más
menos-c2, si quisiéramos ser precisos sobre
el camino cerrado.
Pero esto podría ser, señaló a c1 y c2 o menos c2 arbitrariamente;
esto podría ser cualquier camino cerrado donde nuestro vector de campo f tiene un
potencial, o donde es el gradiente de un campo escalar
o cuando sea conservador.
Y lo que este puede ser escrito como un camino cerrado de c1 más el
reverso de c2 de dr de punto f.
Eso es sólo una reescritura
de eso y eso va a ser igual a 0.
Y este es nuestro take away para este video.
Esto es, puede verlo como un corolario.
Es tipo de una conclusión de bajas que puede hacer
Después de esta conclusión.
Así que ahora sabemos que si tenemos un vector de campo que tiene el
gradiente de un campo escalar en alguna región, o tal vez sobre la
plano xy todo--y esto se llama el potencial de f;
Esta es una función potencial.
A menudo será el negativo de la misma, pero es fácil
se metiera con negativos--pero si tenemos un campo vectorial
el gradiente de un campo escalar, llamamos a ese vector
campo conservador.
Nos dice en cualquier punto de la región donde esto es
es válido, de la línea integral de un punto a otro
independiente de la trayectoria; eso es lo que recibimos de
el último video.
Y por eso, un bucle cerrado línea integral o una cerrada
línea integral, por lo que si tenemos algún otro lugar, si tomamos
cualquier otro integral de línea cerrada o tome la línea integral de
el campo vectorial en cualquier lazo cerrado, se convertirá en 0 porque
es independiente de la ruta de acceso.
Eso es puro llevar aquí, que si sabes que
Esto es conservador, si has visto algo como esto:
Si ves este dr de punto f y alguien le pide evaluar
Este dado que f es conservador, o dado que f
es el gradiente de otra función, o dado que f es
ruta independiente, puede ahora inmediatamente decir, que va
ser equivalente a 0, lo cual simplifica bastante el cálculo.