0:00:00.450,0:00:04.130
En el último vídeo, vimos que si un campo vectorial puede ser

0:00:04.130,0:00:12.580
escrito como el gradiente de un campo escalar-- u otra

0:00:12.580,0:00:17.080
forma de decirlo es: esto sería igual a la derivada parcial de nuestra

0:00:17.080,0:00:23.060
F grande respecto a x multiplicado por i, más la derivada parcial de F grande, nuestro

0:00:23.060,0:00:28.100
campo escalar respecto a y multiplicado por j; y simplemente estoy escribiéndolo

0:00:28.100,0:00:30.690
en múltiples maneras para que recordéis lo que es el gradiente

0:00:30.690,0:00:35.490
--pero vimos que si nuestro campo vectorial es el gradiente de

0:00:35.490,0:00:38.780
un campo escalar, entonces lo llamamos conservativo.

0:00:38.780,0:00:47.825
Eso nos dice que f es un campo vectorial conservativo.

0:00:50.510,0:00:54.140
Y también nos dice, y ésta fue la parte mas importante respecto

0:00:54.140,0:00:58.400
al vídeo anterior, que la integral de línea de f entre dos

0:00:58.400,0:01:05.900
puntos-- permitidme dibujar dos puntos aquí; así que permitidme dibujar mis

0:01:05.900,0:01:09.210
coordenadas sólo para indicar que estamos en el plano xy.

0:01:09.210,0:01:12.780
Mis ejes: eje-x, eje-y.

0:01:12.780,0:01:16.820
Digamos que tengo un punto, tengo ese punto y ese punto,

0:01:16.820,0:01:19.620
y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos.

0:01:19.620,0:01:24.190
Así que tengo la trayectoria 1, que va como algo así, y le

0:01:24.190,0:01:27.005
llamaré c1 y va dirigido en esa dirección.

0:01:30.270,0:01:32.380
Y también tengo, quizá en otro tono de

0:01:32.380,0:01:38.010
verde, c2 que va de esta forma.

0:01:38.010,0:01:41.010
Los dos empiezan aquí y van allí.

0:01:41.010,0:01:43.520
Aprendimos en el último vídeo que la integral de línea

0:01:43.520,0:01:48.330
es independiente de la trayectoria entre dos puntos.

0:01:48.330,0:01:57.930
Así que en este caso la integral de línea a lo largo de c1 de f punto dr

0:01:57.930,0:02:03.560
va a ser igual a la integral de línea de c2, a lo largo de la

0:02:03.560,0:02:10.870
trayectoria c2, de f punto dr. Si tenemos un potencial en

0:02:10.870,0:02:14.500
la región, y podemos estar en todos puntos, entonces la integral

0:02:14.500,0:02:17.590
de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria.

0:02:17.590,0:02:19.390
Eso es lo bueno de un campo conservativo.

0:02:19.390,0:02:21.190
Ahora lo que quiero hacer en este vídeo es ser un poco

0:02:21.190,0:02:23.680
mas extensivo de lo que vimos en el último vídeo.

0:02:23.680,0:02:25.710
En realidad es una extensión muy importante; puede que ya

0:02:25.710,0:02:27.540
os parezca obvia.

0:02:27.540,0:02:29.550
Ya he escrito esto aquí; Podría reordenar

0:02:29.550,0:02:31.410
la ecuación un poco.

0:02:31.410,0:02:32.745
Permitidme hacerlo.

0:02:32.745,0:02:35.310
Permitidme reordenar esto.

0:02:35.310,0:02:36.976
Reescribiré esto en naranja.

0:02:36.976,0:02:42.730
Entonces la integral a lo largo de la trayectoria c1 de f punto dr menos-- Simplemente

0:02:42.730,0:02:48.670
resto esto de ambos lados --menos la integral c2 de

0:02:48.670,0:02:53.110
f punto dr va a ser igual a 0.

0:02:53.110,0:02:55.610
Todo lo que hecho es coger lo mas relevante del ultimo vídeo y

0:02:55.610,0:02:58.430
le resté esto en ambos lados.

0:02:58.430,0:03:04.370
Ahora bien, aprendimos hace unos cuantos vídeos que si restamos tratando con una

0:03:04.370,0:03:08.560
integral de línea de un campo vectorial-- no de un campo escalar

0:03:08.560,0:03:10.690
--con un campo vectorial, la dirección de la

0:03:10.690,0:03:12.090
trayectoria es importante.

0:03:12.090,0:03:20.370
Aprendimos que la integral de línea sobre, digamos, c2 de f producto punto

0:03:20.370,0:03:26.580
dr, es igual a menos la integral de línea de menos c2

0:03:26.580,0:03:32.830
de f punto dr, donde menos c2 denota la misma trayectoria que

0:03:32.830,0:03:35.740
c2, pero en dirección contraria.

0:03:35.740,0:03:39.370
Por ejemplo, menos c2 la escribiría algo así-- permitidme

0:03:39.370,0:03:42.440
hacerlo en distinto color --digamos entonces que esto es menos

0:03:42.440,0:03:46.740
c2, sería una trayectoria como c2-- voy a llamarla

0:03:46.740,0:03:49.100
menos c2 --pero en lugar de ir en esa dirección, voy ahora

0:03:49.100,0:03:51.380
en esa dirección.

0:03:51.380,0:03:52.980
Así que ignorad las antiguas flechas de c2.

0:03:52.980,0:03:56.030
Empezamos ahora allí y venimos hacia aquí.

0:03:56.030,0:03:58.100
Esto es menos c2.

0:03:58.100,0:04:00.220
O podríamos escribir, podríamos poner, el menos en el otro

0:04:00.220,0:04:06.250
lado y podríamos decir que la integral negativa de la c2

0:04:06.250,0:04:13.770
a lo largo de la trayectoria c2 de f punto dr es igual a

0:04:13.770,0:04:19.510
la integral de línea a lo largo de la trayectoria inversa de f punto dr. Todo lo que he hecho es

0:04:19.510,0:04:21.630
cambiar el menos al otro lado; multiplicar

0:04:21.630,0:04:23.370
ambos lados por menos 1.

0:04:23.370,0:04:27.900
Reemplacemos entonces-- en esta ecuación tenemos menos

0:04:27.900,0:04:31.480
de la trayectoria c2; tenemos eso ahí bien, y tenemos eso allí bien

0:04:31.480,0:04:33.880
--así que podríamos simplemente sustituir esto con

0:04:33.880,0:04:34.800
esto aquí mismo.

0:04:34.800,0:04:35.670
Permitidme hacer eso.

0:04:35.670,0:04:37.670
Escribiré primero esta parte.

0:04:37.670,0:04:43.410
La integral a lo largo de la curva c1 de f por dr, en lugar de

0:04:43.410,0:04:49.200
menos la integral de línea a lo largo de c2, voy a decir más la

0:04:49.200,0:04:51.200
integral a lo largo de menos c2.

0:04:51.200,0:04:55.940
Esto-- permitidme cambiar al verde --esto que hemos establecido

0:04:55.940,0:04:57.480
es lo mismo que esto.

0:04:57.480,0:05:00.720
Menos esta curva, o la integral a lo largo de este

0:05:00.720,0:05:04.950
camino, es lo mismo que la integral de línea, más la

0:05:04.950,0:05:07.350
integral de línea a lo largo del camino inverso.

0:05:07.350,0:05:13.610
Diremos que más la integral de línea de menos c2 de

0:05:13.610,0:05:19.270
f por dr es igual a 0.

0:05:19.270,0:05:20.670
Ahora hay algo interesante.

0:05:20.670,0:05:23.550
Miremos qué es la combinación de los caminos

0:05:23.550,0:05:26.560
c1 y menos c2.

0:05:26.560,0:05:28.370
c1 empieza por aquí.

0:05:28.370,0:05:30.280
Permitidme utilizar un color bonito, vibrante.

0:05:30.280,0:05:32.580
c1 empieza por aquí en este punto.

0:05:32.580,0:05:36.540
Se mueve desde este punto a lo largo de la curva c1

0:05:36.540,0:05:38.020
y llega a este punto.

0:05:38.020,0:05:39.840
Y entonces hacemos menos c2.

0:05:39.840,0:05:43.590
Menos c2 empieza en este punto y simplemente avanza y vuelve

0:05:43.590,0:05:45.810
al punto original; se completa una vuelta.

0:05:45.810,0:05:48.270
Por tanto esto es una integral a lo largo de una curva cerrada.

0:05:48.270,0:05:52.440
Si combinamos esto, podríamos reescribirlo así.

0:05:52.440,0:05:53.660
Recordad, es simplemente una vuelta.

0:05:53.660,0:05:56.365
Haciendo el inverso de esto, en lugar de tener dos chicos empezando aquí

0:05:56.365,0:05:58.450
y yendo allí, ahora puedo empezar aquí, ir por allí,

0:05:58.450,0:06:00.660
y entonces volver todo el camino por

0:06:00.660,0:06:02.630
el camino inverso de c2.

0:06:02.630,0:06:06.880
Por tanto esto es equivalente a la integral a lo largo de la línea cerrada.

0:06:06.880,0:06:12.150
Y es lo mismo que ella integral a lo largo de un camino cerrado.

0:06:12.150,0:06:15.730
Quiero decir, podríamos llamar al camino cerrado, quizás, c1 más

0:06:15.730,0:06:18.200
menos-c2, si quisiéramos ser precisos sobre

0:06:18.200,0:06:18.900
el camino cerrado.

0:06:18.900,0:06:23.390
Pero esto podría ser, señaló a c1 y c2 o menos c2 arbitrariamente;

0:06:23.390,0:06:29.600
esto podría ser cualquier camino cerrado donde nuestro vector de campo f tiene un

0:06:29.600,0:06:33.000
potencial, o donde es el gradiente de un campo escalar

0:06:33.000,0:06:34.960
o cuando sea conservador.

0:06:34.960,0:06:38.620
Y lo que este puede ser escrito como un camino cerrado de c1 más el

0:06:38.620,0:06:45.930
reverso de c2 de dr de punto f.[br]Eso es sólo una reescritura

0:06:45.930,0:06:49.040
de eso y eso va a ser igual a 0.

0:06:49.040,0:06:53.050
Y este es nuestro take away para este video.

0:06:53.050,0:06:56.110
Esto es, puede verlo como un corolario.

0:06:56.110,0:06:59.160
Es tipo de una conclusión de bajas que puede hacer

0:06:59.160,0:07:01.610
Después de esta conclusión.

0:07:01.610,0:07:05.900
Así que ahora sabemos que si tenemos un vector de campo que tiene el

0:07:05.900,0:07:09.570
gradiente de un campo escalar en alguna región, o tal vez sobre la

0:07:09.570,0:07:13.440
plano xy todo--y esto se llama el potencial de f;

0:07:13.440,0:07:15.320
Esta es una función potencial.

0:07:15.320,0:07:17.370
A menudo será el negativo de la misma, pero es fácil

0:07:17.370,0:07:21.670
se metiera con negativos--pero si tenemos un campo vectorial

0:07:21.670,0:07:24.650
el gradiente de un campo escalar, llamamos a ese vector

0:07:24.650,0:07:26.100
campo conservador.

0:07:26.100,0:07:29.880
Nos dice en cualquier punto de la región donde esto es

0:07:29.880,0:07:33.860
es válido, de la línea integral de un punto a otro

0:07:33.860,0:07:36.150
independiente de la trayectoria; eso es lo que recibimos de

0:07:36.150,0:07:37.130
el último video.

0:07:37.130,0:07:42.890
Y por eso, un bucle cerrado línea integral o una cerrada

0:07:42.890,0:07:45.570
línea integral, por lo que si tenemos algún otro lugar, si tomamos

0:07:45.570,0:07:52.915
cualquier otro integral de línea cerrada o tome la línea integral de

0:07:52.915,0:07:57.490
el campo vectorial en cualquier lazo cerrado, se convertirá en 0 porque

0:07:57.490,0:07:58.740
es independiente de la ruta de acceso.

0:07:58.740,0:08:02.240
Eso es puro llevar aquí, que si sabes que

0:08:02.240,0:08:05.370
Esto es conservador, si has visto algo como esto:

0:08:05.370,0:08:10.580
Si ves este dr de punto f y alguien le pide evaluar

0:08:10.580,0:08:13.840
Este dado que f es conservador, o dado que f

0:08:13.840,0:08:16.710
es el gradiente de otra función, o dado que f es

0:08:16.710,0:08:19.960
ruta independiente, puede ahora inmediatamente decir, que va

0:08:19.960,0:08:24.170
ser equivalente a 0, lo cual simplifica bastante el cálculo.