1
00:00:00,450 --> 00:00:04,130
En el último vídeo, vimos que si un campo vectorial puede ser

2
00:00:04,130 --> 00:00:12,580
escrito como el gradiente de un campo escalar-- u otra

3
00:00:12,580 --> 00:00:17,080
forma de decirlo es: esto sería igual a la derivada parcial de nuestra

4
00:00:17,080 --> 00:00:23,060
F grande respecto a x multiplicado por i, más la derivada parcial de F grande, nuestro

5
00:00:23,060 --> 00:00:28,100
campo escalar respecto a y multiplicado por j; y simplemente estoy escribiéndolo

6
00:00:28,100 --> 00:00:30,690
en múltiples maneras para que recordéis lo que es el gradiente

7
00:00:30,690 --> 00:00:35,490
--pero vimos que si nuestro campo vectorial es el gradiente de

8
00:00:35,490 --> 00:00:38,780
un campo escalar, entonces lo llamamos conservativo.

9
00:00:38,780 --> 00:00:47,825
Eso nos dice que f es un campo vectorial conservativo.

10
00:00:50,510 --> 00:00:54,140
Y también nos dice, y ésta fue la parte mas importante respecto

11
00:00:54,140 --> 00:00:58,400
al vídeo anterior, que la integral de línea de f entre dos

12
00:00:58,400 --> 00:01:05,900
puntos-- permitidme dibujar dos puntos aquí; así que permitidme dibujar mis

13
00:01:05,900 --> 00:01:09,210
coordenadas sólo para indicar que estamos en el plano xy.

14
00:01:09,210 --> 00:01:12,780
Mis ejes: eje-x, eje-y.

15
00:01:12,780 --> 00:01:16,820
Digamos que tengo un punto, tengo ese punto y ese punto,

16
00:01:16,820 --> 00:01:19,620
y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos.

17
00:01:19,620 --> 00:01:24,190
Así que tengo la trayectoria 1, que va como algo así, y le

18
00:01:24,190 --> 00:01:27,005
llamaré c1 y va dirigido en esa dirección.

19
00:01:30,270 --> 00:01:32,380
Y también tengo, quizá en otro tono de

20
00:01:32,380 --> 00:01:38,010
verde, c2 que va de esta forma.

21
00:01:38,010 --> 00:01:41,010
Los dos empiezan aquí y van allí.

22
00:01:41,010 --> 00:01:43,520
Aprendimos en el último vídeo que la integral de línea

23
00:01:43,520 --> 00:01:48,330
es independiente de la trayectoria entre dos puntos.

24
00:01:48,330 --> 00:01:57,930
Así que en este caso la integral de línea a lo largo de c1 de f punto dr

25
00:01:57,930 --> 00:02:03,560
va a ser igual a la integral de línea de c2, a lo largo de la

26
00:02:03,560 --> 00:02:10,870
trayectoria c2, de f punto dr. Si tenemos un potencial en

27
00:02:10,870 --> 00:02:14,500
la región, y podemos estar en todos puntos, entonces la integral

28
00:02:14,500 --> 00:02:17,590
de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria.

29
00:02:17,590 --> 00:02:19,390
Eso es lo bueno de un campo conservativo.

30
00:02:19,390 --> 00:02:21,190
Ahora lo que quiero hacer en este vídeo es ser un poco

31
00:02:21,190 --> 00:02:23,680
mas extensivo de lo que vimos en el último vídeo.

32
00:02:23,680 --> 00:02:25,710
En realidad es una extensión muy importante; puede que ya

33
00:02:25,710 --> 00:02:27,540
os parezca obvia.

34
00:02:27,540 --> 00:02:29,550
Ya he escrito esto aquí; Podría reordenar

35
00:02:29,550 --> 00:02:31,410
la ecuación un poco.

36
00:02:31,410 --> 00:02:32,745
Permitidme hacerlo.

37
00:02:32,745 --> 00:02:35,310
Permitidme reordenar esto.

38
00:02:35,310 --> 00:02:36,976
Reescribiré esto en naranja.

39
00:02:36,976 --> 00:02:42,730
Entonces la integral a lo largo de la trayectoria c1 de f punto dr menos-- Simplemente

40
00:02:42,730 --> 00:02:48,670
resto esto de ambos lados --menos la integral c2 de

41
00:02:48,670 --> 00:02:53,110
f punto dr va a ser igual a 0.

42
00:02:53,110 --> 00:02:55,610
Todo lo que hecho es coger lo mas relevante del ultimo vídeo y

43
00:02:55,610 --> 00:02:58,430
le resté esto en ambos lados.

44
00:02:58,430 --> 00:03:04,370
Ahora bien, aprendimos hace unos cuantos vídeos que si restamos tratando con una

45
00:03:04,370 --> 00:03:08,560
integral de línea de un campo vectorial-- no de un campo escalar

46
00:03:08,560 --> 00:03:10,690
--con un campo vectorial, la dirección de la

47
00:03:10,690 --> 00:03:12,090
trayectoria es importante.

48
00:03:12,090 --> 00:03:20,370
Aprendimos que la integral de línea sobre, digamos, c2 de f producto punto

49
00:03:20,370 --> 00:03:26,580
dr, es igual a menos la integral de línea de menos c2

50
00:03:26,580 --> 00:03:32,830
de f punto dr, donde menos c2 denota la misma trayectoria que

51
00:03:32,830 --> 00:03:35,740
c2, pero en dirección contraria.

52
00:03:35,740 --> 00:03:39,370
Por ejemplo, menos c2 la escribiría algo así-- permitidme

53
00:03:39,370 --> 00:03:42,440
hacerlo en distinto color --digamos entonces que esto es menos

54
00:03:42,440 --> 00:03:46,740
c2, sería una trayectoria como c2-- voy a llamarla

55
00:03:46,740 --> 00:03:49,100
menos c2 --pero en lugar de ir en esa dirección, voy ahora

56
00:03:49,100 --> 00:03:51,380
en esa dirección.

57
00:03:51,380 --> 00:03:52,980
Así que ignorad las antiguas flechas de c2.

58
00:03:52,980 --> 00:03:56,030
Empezamos ahora allí y venimos hacia aquí.

59
00:03:56,030 --> 00:03:58,100
Esto es menos c2.

60
00:03:58,100 --> 00:04:00,220
O podríamos escribir, podríamos poner, el menos en el otro

61
00:04:00,220 --> 00:04:06,250
lado y podríamos decir que la integral negativa de la c2

62
00:04:06,250 --> 00:04:13,770
a lo largo de la trayectoria c2 de f punto dr es igual a

63
00:04:13,770 --> 00:04:19,510
la integral de línea a lo largo de la trayectoria inversa de f punto dr. Todo lo que he hecho es

64
00:04:19,510 --> 00:04:21,630
cambiar el menos al otro lado; multiplicar

65
00:04:21,630 --> 00:04:23,370
ambos lados por menos 1.

66
00:04:23,370 --> 00:04:27,900
Reemplacemos entonces-- en esta ecuación tenemos menos

67
00:04:27,900 --> 00:04:31,480
de la trayectoria c2; tenemos eso ahí bien, y tenemos eso allí bien

68
00:04:31,480 --> 00:04:33,880
--así que podríamos simplemente sustituir esto con

69
00:04:33,880 --> 00:04:34,800
esto aquí mismo.

70
00:04:34,800 --> 00:04:35,670
Permitidme hacer eso.

71
00:04:35,670 --> 00:04:37,670
Escribiré primero esta parte.

72
00:04:37,670 --> 00:04:43,410
La integral a lo largo de la curva c1 de f por dr, en lugar de

73
00:04:43,410 --> 00:04:49,200
menos la integral de línea a lo largo de c2, voy a decir más la

74
00:04:49,200 --> 00:04:51,200
integral a lo largo de menos c2.

75
00:04:51,200 --> 00:04:55,940
Esto-- permitidme cambiar al verde --esto que hemos establecido

76
00:04:55,940 --> 00:04:57,480
es lo mismo que esto.

77
00:04:57,480 --> 00:05:00,720
Menos esta curva, o la integral a lo largo de este

78
00:05:00,720 --> 00:05:04,950
camino, es lo mismo que la integral de línea, más la

79
00:05:04,950 --> 00:05:07,350
integral de línea a lo largo del camino inverso.

80
00:05:07,350 --> 00:05:13,610
Diremos que más la integral de línea de menos c2 de

81
00:05:13,610 --> 00:05:19,270
f por dr es igual a 0.

82
00:05:19,270 --> 00:05:20,670
Ahora hay algo interesante.

83
00:05:20,670 --> 00:05:23,550
Miremos qué es la combinación de los caminos

84
00:05:23,550 --> 00:05:26,560
c1 y menos c2.

85
00:05:26,560 --> 00:05:28,370
c1 empieza por aquí.

86
00:05:28,370 --> 00:05:30,280
Permitidme utilizar un color bonito, vibrante.

87
00:05:30,280 --> 00:05:32,580
c1 empieza por aquí en este punto.

88
00:05:32,580 --> 00:05:36,540
Se mueve desde este punto a lo largo de la curva c1

89
00:05:36,540 --> 00:05:38,020
y llega a este punto.

90
00:05:38,020 --> 00:05:39,840
Y entonces hacemos menos c2.

91
00:05:39,840 --> 00:05:43,590
Menos c2 empieza en este punto y simplemente avanza y vuelve

92
00:05:43,590 --> 00:05:45,810
al punto original; se completa una vuelta.

93
00:05:45,810 --> 00:05:48,270
Por tanto esto es una integral a lo largo de una curva cerrada.

94
00:05:48,270 --> 00:05:52,440
Si combinamos esto, podríamos reescribirlo así.

95
00:05:52,440 --> 00:05:53,660
Recordad, es simplemente una vuelta.

96
00:05:53,660 --> 00:05:56,365
Haciendo el inverso de esto, en lugar de tener dos chicos empezando aquí

97
00:05:56,365 --> 00:05:58,450
y yendo allí, ahora puedo empezar aquí, ir por allí,

98
00:05:58,450 --> 00:06:00,660
y entonces volver todo el camino por

99
00:06:00,660 --> 00:06:02,630
el camino inverso de c2.

100
00:06:02,630 --> 00:06:06,880
Por tanto esto es equivalente a la integral a lo largo de la línea cerrada.

101
00:06:06,880 --> 00:06:12,150
Y es lo mismo que ella integral a lo largo de un camino cerrado.

102
00:06:12,150 --> 00:06:15,730
Quiero decir, podríamos llamar al camino cerrado, quizás, c1 más

103
00:06:15,730 --> 00:06:18,200
menos-c2, si quisiéramos ser precisos sobre

104
00:06:18,200 --> 00:06:18,900
el camino cerrado.

105
00:06:18,900 --> 00:06:23,390
Pero esto podría ser, señaló a c1 y c2 o menos c2 arbitrariamente;

106
00:06:23,390 --> 00:06:29,600
esto podría ser cualquier camino cerrado donde nuestro vector de campo f tiene un

107
00:06:29,600 --> 00:06:33,000
potencial, o donde es el gradiente de un campo escalar

108
00:06:33,000 --> 00:06:34,960
o cuando sea conservador.

109
00:06:34,960 --> 00:06:38,620
Y lo que este puede ser escrito como un camino cerrado de c1 más el

110
00:06:38,620 --> 00:06:45,930
reverso de c2 de dr de punto f.
Eso es sólo una reescritura

111
00:06:45,930 --> 00:06:49,040
de eso y eso va a ser igual a 0.

112
00:06:49,040 --> 00:06:53,050
Y este es nuestro take away para este video.

113
00:06:53,050 --> 00:06:56,110
Esto es, puede verlo como un corolario.

114
00:06:56,110 --> 00:06:59,160
Es tipo de una conclusión de bajas que puede hacer

115
00:06:59,160 --> 00:07:01,610
Después de esta conclusión.

116
00:07:01,610 --> 00:07:05,900
Así que ahora sabemos que si tenemos un vector de campo que tiene el

117
00:07:05,900 --> 00:07:09,570
gradiente de un campo escalar en alguna región, o tal vez sobre la

118
00:07:09,570 --> 00:07:13,440
plano xy todo--y esto se llama el potencial de f;

119
00:07:13,440 --> 00:07:15,320
Esta es una función potencial.

120
00:07:15,320 --> 00:07:17,370
A menudo será el negativo de la misma, pero es fácil

121
00:07:17,370 --> 00:07:21,670
se metiera con negativos--pero si tenemos un campo vectorial

122
00:07:21,670 --> 00:07:24,650
el gradiente de un campo escalar, llamamos a ese vector

123
00:07:24,650 --> 00:07:26,100
campo conservador.

124
00:07:26,100 --> 00:07:29,880
Nos dice en cualquier punto de la región donde esto es

125
00:07:29,880 --> 00:07:33,860
es válido, de la línea integral de un punto a otro

126
00:07:33,860 --> 00:07:36,150
independiente de la trayectoria; eso es lo que recibimos de

127
00:07:36,150 --> 00:07:37,130
el último video.

128
00:07:37,130 --> 00:07:42,890
Y por eso, un bucle cerrado línea integral o una cerrada

129
00:07:42,890 --> 00:07:45,570
línea integral, por lo que si tenemos algún otro lugar, si tomamos

130
00:07:45,570 --> 00:07:52,915
cualquier otro integral de línea cerrada o tome la línea integral de

131
00:07:52,915 --> 00:07:57,490
el campo vectorial en cualquier lazo cerrado, se convertirá en 0 porque

132
00:07:57,490 --> 00:07:58,740
es independiente de la ruta de acceso.

133
00:07:58,740 --> 00:08:02,240
Eso es puro llevar aquí, que si sabes que

134
00:08:02,240 --> 00:08:05,370
Esto es conservador, si has visto algo como esto:

135
00:08:05,370 --> 00:08:10,580
Si ves este dr de punto f y alguien le pide evaluar

136
00:08:10,580 --> 00:08:13,840
Este dado que f es conservador, o dado que f

137
00:08:13,840 --> 00:08:16,710
es el gradiente de otra función, o dado que f es

138
00:08:16,710 --> 00:08:19,960
ruta independiente, puede ahora inmediatamente decir, que va

139
00:08:19,960 --> 00:08:24,170
ser equivalente a 0, lo cual simplifica bastante el cálculo.